彩票中的数学公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

彩票中数学队长：陈卫杰队友：黎志斌，贾锐目录一、问题重述……03二、问题分析……09三、模型准备……10四、用符号表示相关量……………14五、模型解答…………15六、模型优缺点……29七、写给彩民们……30一、问题重述近年来“彩票巨峰”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多人加到彩民行列，当前流行彩票主要有传统型和乐透型两种类型。

传统型采取“10选6+1”方案：先从6组0-9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0-4号球中摇出一个尤其号码，组成中奖号码，投注者从0-9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0-4中选一个尤其号码，组成一注，依据单注号码与中奖号码相符个数多少及次序确定中奖等级，以中奖号码“abcdef*g”为例说明中奖等级，以下表所表示（X为未选中号码）中奖等级10选6+1（6*1/10)基本号码…………尤其号码说明一等奖abcdef……g选7中（6*1)二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeX……Xbcdef选7中（5）四等奖abcdXX……XbcdeX……XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef选7中（3）六等奖abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX……XXXXef选7中（2）66“乐透型”有各种不一样形式，比如“33选7”方案：先从01-33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩下26个号码球中摇出一个尤其号码，投注者从01～33个号码中任选7个组中一注（不可重复），依据单注号码与中奖号码相符个数多少确定对应中奖等级，不考虑号码次序，又如“36选6+1”方案，先从01-36个号码中一个一个地摇出6个基本号码，再从剩下30个号码球中摇出一个尤其号码，从01～36个号码中任选7个作为一注（不可重复），依据单注号码与中奖号码相符个数多少确定对应中奖等级，不考虑号码次序。中奖等级以下表中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码……尤其号码说明基本号码……尤其号码说明一等奖。。。。。。。选7中7。。。。。。……★选7中（6+1）二等奖。。。。。。……★选7中（6+1）。。。。。。选7中6三等奖。。。。。。选7中6。。。。。……★选7中（5+1）四等奖。。。。。……★选7中（5+1）。。。。。选7中5五等奖。。。。。选7中5。。。。……★选7中（4+1）六等奖。。。。……★选7中（4+1）。。。。选7中4七等奖。。。。选7中4。。。……★选7中（3+1）以上两种类型总奖金百分比普通为销售总额50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别奖就不能再兼得低级别奖金，现在常见销售规则及对应奖金设置为下表，表中一、二、三等奖为高项奖，后面为低项奖，低项奖数额固定，高项奖按百分比分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额计算方法为：[（当期销售总额×总奖金百分比）-低项奖总额]×单项奖百分比

（1）依据这些方案详细情况，综合分析各种奖项出现可能性、奖项和奖金额设置以及对彩民吸引力等原因评价各方案合理性。

（2）设计一个“更加好”方案及对应算法，并据此给彩票管理部门提出提议。

（3）写一篇短文，供彩民参考序号奖项一等奖百分比二等奖百分比三等奖百分比四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注方案16*1/1050%20%30%50按序26*1/1060%20%20%300205按序36*1/1065%15%20%300205按序46*1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566*1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%5005010177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%2042无尤其号246*1/3675%10%15%500100105256*1/3680%10%10%50010010267/3670%15%15%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030问题分析既然是买彩票，虽说是为福利事业做贡献。但彩民们还是抱着能中奖心态来买。不然直接把钱捐给红十字会就行了。所以彩票对彩民吸引力应该与中奖概率相关。而判定一个彩票方案好与坏应该与该方案对彩民吸引力亲密相关。因为吸引力越强，投资就越多。至于吸引力，我们认为与中奖概率，中大奖取得金额，中小奖数学期望和中大奖概率，以及奖金标准差相关二、问题假设（1）假设彩票老板不出千，即开奖时开出号码是随机，相互独立。（2）假设彩票对彩民吸引力只与中奖概率和中小奖数学期望，中大奖概率，中大奖后拿到奖金数额以及奖金标准差相关。（3）各项彩票投资总额都远远超出120万元（不然若有市民中了一等奖根本赔不起）模型准备为了了解各原因对彩民吸引力，我们做了以下调查问卷，把问卷发到了baidu贴吧“彩票吧”。我们一共收到了232条回复。以下为问卷内容你买彩票动力是什么1.你认为中奖概率重不主要？（中奖就不会亏了，只要中奖，你就开心了）A.非常主要B.主要C.普通D.无所谓2.你认为中大奖概率中重不主要？（概率越高，你就越轻易取得一笔飞来横财）A.非常主要B.主要C.普通D.无所谓3.你认为中大奖取得奖金多少重不主要？（假如奖金足够多，你一个不好运中奖了，下半世殴蹩脚都唔使忧）A.非常主要B.主要C.普通D.无所谓4.你认为中小奖数学期望中不主要？（期望越高话，当你买了足够多注彩票后，就会赚多又或者说是捐给福利机构会少一点）A.非常主要B.主要C.普通D.无所谓5.假如各奖项奖金差距过大你会不会反感？A.简直要吐B.有点恶心C我想静静D没相关系我们搜集数据以下，我们选取了200组数据各选项人数以下：中奖概率：A24B122C43D11中大奖概率：A172B25C3D6中大奖取得奖金A107B41C46D6中小奖期望A11B6C84D99奖金标准差A12B47C102D39依据A4分、B3分、C2分D1分算出各原因分值分别为中奖概率559中大奖概率775中大奖取得奖金649中小奖期望329奖金标准差432各原因比值为1.700：2.356：1.973：1=1.7：2.4：2.0：1：1.3

所以假设彩票对彩民吸引力为1.7×中奖概率+2.4×中大奖概率+2×中大奖取得奖金+中小奖期望-1.3×大奖金方差三、用符号表示相关量（1）设传统型中奖概率为a(i)，乐透型33选7中奖概率为b(i)，乐透型33选6+1概率为c(i)（i是指中了几等奖，如a(1)是指中一等奖概率）（2）方案j大奖奖金额为A(j),方案j中奖率是B(j),方案j中低项奖数学期望为C(j)，个人中高项奖取得奖金总和为E(j)，各方案对彩民吸引力为F(j)，各方案大奖金标准差为D(j)（3）全体市民一共买了x注10选6+1，y注33选7，z注36选6+1四、模型解答问题一求解：先求出传统型和乐透型中奖概率吧a(1)=(1/10)×(1/5)=2×10传统型中奖表a(2)=(1/10)×(4/5)=8×10a(3)=(1/10)×(9/10)×2=1.8×10a(4)=(1/10)×[(9/10)×3+(9/10)×(1/10)×2]=2.61×10a(5)=(1/10)×[(9/10)×4]=3.24×10a(6)=(1/10)×(9/10)×5+(1/10)×(9/10)×12+(1/10)×(9/10)×5=4.1995×10总中奖率a(总)=4.5516×106-76-75-542-432342-3324-2-2乐透型33选7中奖概率b(1)=C/C=2.34080×10b(2)=[(C×C)/C]×(C/C)=1.63856×10b(3)=C×C/C×（25/26）=4.0964×10b(4)=[(C×C)/C]×(2C/C)=1.22892×10b(5)=(C×C)/C×(24/26)=1.47470×10b(6)=[(C×C)/C]×(3C/C)=2.45784×10b(7)=(C×C)/C×(23/26)=1.88434×10(没钱)总中奖率b(总)=4.09827×10(不算b(7))777337626133711261-6767526233711261-475263371262337-3742633371126174263337-2-3-5-7-3乐透型36选6+1中奖概率c(1)=(C/C)=1.19794×10c(2)=(C/C)×(29/30)=3.47402×10c(3)=(C×C/C)×(2×1/30)=2.08441×10c(4)=(C×C/C)×(28/30)=2.91817×10c(5)=(C×C/C)×(3×1/30)=7.29544×10c(6)=(C×C/C)×(27/30)=6.56590×10c(7)=(C×C/C)×(4×1/30)=8.75453×10c(总)=1.63662×107736776366-67529136675291366742923667429236673293366-5-4-4-3-3-7-2各方案理论上每期大奖奖金额A(1)=x-50x.a(4)=0.98695xA(2)=A(3)=A(4)=x-[300x.a(4)+20x.a(5)+5x.a(6)=0.64693xA(15)=x-[600x.b(4)+60x.b(5)+6x.b(6)]=0.82302xA(16)=x-[500x.b(4)+50x.b(5)+10x.b(6)]=0.84024xA(24)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)]=0.71230xA(25)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)+5x.c(7)]=0.66853x各方案理论上每期中奖率B(1)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=2.81×10B(2)=B(3)=B(4)=a(总)=4.5516×10B(15)=B(16)=b(总)=4.09827×10B(24)=7.61167×10B(25)=1.63662×10比值为B(1):B(2):B(3):B(4):B(14):B(15):B(24):B(25)=0.002:0.269:0.269:0.269:0.024:0.024:0.045:0.097-4-2-3-3-2各方案每期大奖中奖率B(1大)=B(2大)=B(3大)=B(4大)=1.9×10B(14大)=B(15大)=4.28366×10B(24大)=B(25大)=2.44379×10比值为B(1大):B(2大):B(3大):B(4大):B(14大):B(15大):B(24大):B(15大)=0.114:0.114:0.114:0.114:0.257:0.257:0.015:0.015-5-5-6各方案每期中奖数学期望依照公式中低项奖数学期望=Σ(中奖概率×得奖奖金)依次求得C(1)=50.a(1)=0.01305C(2)=C(3)=C(4)=0.35307C(15)=0.17698C(16)=0.15976 C(24)=0.28770C(25)=0.33147比值为C(1):C(2):C(3):C(4):C(14):C(15):C(24):C(25)=0.006:0.174:0.174:0.174:0.087:0.079:0.142:0.163预计个人中高项奖取得奖金总和E(j)=Σ(各高项奖奖金/得奖人数)E(1)=(0.98605x×50%)/(2×10x)+(0.98605x×20%)/(8×10x)+(0.98605x×30%)/(1.8×10x)=2465125(i)+246513(ii)+16434(iii)=2728072E(2)=1940790+161733+7188=2102523E(3)=2102523+121299+7188=2231010E(4)=2264255+121299+5391=2390495E(15)=2461184+50228+4018=2515430E(16)=2692156+51279+3077=2746512E(24)=4459541+20504+5126=4485171E(25)=4464531+19244+3207=4486982-7-7-5比值为E(1):E(2):E(3):E(4):E(14):E(15):E(24):E(25)=0.115:0.089:0.094:0.101:0.106:0.116:0.189:0.189然后各方案大奖金标准差为D(1)=1104096D(2)=877353D(3)=961982D(4)=1038597D(15)=1147582D(16)=1256436D(24)=2096216D(25)=2099318比值为D(1):D(2):D(3):D(4):D(15):D(16):D(24):D(25)=0.104:0.083:0.091:0.098:0.108:0.119:0.198:0.198各方案对彩民吸引力彩民吸引力F(j)=1.7B(j)+2.4B(j大)+2E(j)+C(j)-1.3D(j)所以F(1):F(2):F(3):F(4):F(15):F(16):F(24):F(25)=0.378:0.975:0.974:0.980:0.816:0.814:0.401:0.485所以，传统型奖项最好是方案4

乐透型33选7最好是方案15

乐透型36选6+1最好是方案25方案最差是1问题二求解

设计一个“更加好”方案及对应算法，并据此给彩票管理部门提出提议。这个问题其实是怎样设置奖金问题。设一至七等奖奖金分别为o(百分比),p(百分比),q(百分比),r,s,t,u，一至七等奖中奖概率分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，因为总中奖概率和中大奖概率已经确定，所以只要考虑中小奖期望C以及中大奖奖金A怎样分配给个人奖金E就能够了，这么就能够确定对彩民吸引力F，假如F越大，则方案越好。然而，由前面调查问卷可知，期望C影响力，能够说是微乎其微，所以C设计应该偏小一点。不过为了提升彩民主动性，我们认为：七等奖=5元，六等奖=10元，五等奖=50元，四等奖=200元。(没设七等奖六等奖5元，其它相同）这么经过奖金递进形式，能够促进销售。所以式子以下：C=rⅣ+sⅤ+tⅥ+uⅦ;①A=1-Cx②E=Ao/(Ⅰx)+Ap/(

Ⅱx)+Aq/(Ⅲx);③o+p+q=1;④MAX(F)=C/C总+2E/E(总)-1.3D/D(总);⑤把传统型和乐透型概率分别代入上面，用MATLAB求得最优解以下：奖金opqrstu彩票10选6+172.83%12.58%14.59%2005010533选77