中考数学-三角函数专题

-.z.三角函数1一．解答题〔共10小题〕1．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离*是多少？2．一种拉杆式旅行箱的示意图如下图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，〔点A、B、C在同一条直线上〕，在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，*一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．〔1〕求圆形滚轮的半径AD的长；〔2〕当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，*人的手自然下垂在点C处且拉杆到达最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小〔准确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19〕．3．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣〔不计宽度，记为点A〕组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长〔或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583〕4．*课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．〔1〕如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；〔2〕如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长．〔结果保存根号〕〔参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20〕5．如图1，*超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC〔准确到0.1米〕．〔参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕6．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全翻开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．〔结果准确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73〕7．*住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如下图．矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．请计算停车位所占道路的宽度EF〔结果准确到0.1米〕．参考数据：sin40°≈0.64cos40°≈0.77tan40°≈0.84．8．太阳能是可再生的绿色环保能源，太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式，如图是*地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图．房屋的金顶等腰△ABC中，屋面倾角∠B=21.8°，太阳能真空管MN=1.8m，可伸缩支架MA⊥BC，安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN．该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m，求符合安装要求的支架MA的长度．〔参考数据：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=〕9．如图是一种躺椅及其简化构造示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．〔1〕求两支架落点E、F之间的距离；〔2〕假设MN=60cm，求躺椅的高度〔点M到地面的距离，结果取整数〕．〔参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器〕10．图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架，现将其构造简化成图2所示的图形，制作过程为：首先将两根钢条OA和OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm，BC=EF=HG=IJ=60cm，焊接点E、G、I分别为BC、EF、HG的中点，钢条KL、CD的长均为30cm，所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直．〔1〕求证：L，J所在直线与直线OA平行；〔2〕求书架的高度．〔结果保存一位小数，〕三角函数1参考答案与试题解析一．解答题〔共10小题〕1．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离*是多少？【分析】根据角的度数，易求得∠BAC=∠BCA=30°，由此得BC=AB=3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由*=BF﹣EF求得汽车车头与斑马线的距离．【解答】解：如图：延长AB．∵CD∥AB，∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF=BC=1.5米；故*=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离*是0.7米．【点评】此题考察俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．2．一种拉杆式旅行箱的示意图如下图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，〔点A、B、C在同一条直线上〕，在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，*一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．〔1〕求圆形滚轮的半径AD的长；〔2〕当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，*人的手自然下垂在点C处且拉杆到达最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小〔准确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19〕．【分析】〔1〕作BH⊥AF于点G，交DM于点H，则△ABG∽△ACF，设圆形滚轮的半径AD的长是*cm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得*的值；〔2〕求得CF的长，然后在直角△ACF中，求得sin∠CAF，即可求得角的度数．【解答】解：〔1〕作BH⊥AF于点G，交DM于点H．则BG∥CF，△ABG∽△ACF．设圆形滚轮的半径AD的长是*cm．则=，即=，解得：*=8．则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；〔2〕CF=73.5﹣8=65.5〔m〕．则sin∠CAF==≈0.77，则∠CAF=50°．【点评】此题考察了三角函数的根本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．3．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣〔不计宽度，记为点A〕组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长〔或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583〕【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD=cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．【解答】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，∴BC=3cm．当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，∴A′D=A′C′=2cm，C′D=A′D=2cm．在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，∴BD==cm，∴CC′=C′D+BD﹣BC=2+﹣3，∵=1.732，=4.583，∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．故移动的距离即CC′的长约为5cm．【点评】此题考察了解直角三角形的应用，难度适中，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．4．*课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．〔1〕如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；〔2〕如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长．〔结果保存根号〕〔参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20〕【分析】〔1〕利用锐角三角函数关系得出sin24°=，进而求出即可；〔2〕利用锐角三角函数关系得出sin12°=，进而求出DE，AE的长，即可得出AD的长．【解答】解：〔1〕∵∠BAC=24°，CD⊥AB，∴sin24°=，∴CD=ACsin24°=30×0.40=12cm；∴支撑臂CD的长为12cm；〔2〕过点C作CE⊥AB，于点E，当∠BAC=12°时，∴sin12°==，∴CE=30×0.20=6cm，∵CD=12，∴DE=，∴AE==12cm，∴AD的长为〔12+6〕cm或〔12﹣6〕cm．【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数关系是解题关键．5．如图1，*超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC〔准确到0.1米〕．〔参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕【分析】延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．【解答】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．答：二楼的层高BC约为5.8米．【点评】此题考察仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．6．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全翻开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．〔结果准确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73〕【分析】作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦计算出BF≈48.28，则BC=BF+CF=≈90.3〔cm〕，再分别在Rt△BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定义用DQ表示出BQ和AQ，得BQ=，AQ=，则利用BQ+AQ=AB=43得到+=43，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的长．【解答】解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=，∴BF=≈48.28，∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3〔cm〕；在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ=，∴BQ=，在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=，∴AQ=，∵BQ+AQ=AB=43，∴+=43，解得DQ≈56.999，在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=，∴AD=≈58.2〔cm〕．答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．【点评】此题考察了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题〕．根据题目特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．*住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如下图．矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．请计算停车位所占道路的宽度EF〔结果准确到0.1米〕．参考数据：sin40°≈0.64cos40°≈0.77tan40°≈0.84．【分析】在直角三角形中，利用三角函数关系，由角度和边求得ED和DF，而求得EF的长．【解答】解：由题意知∠DFC=90°，∠DEA=90°∠DCF=40°又∵ABCD是矩形∴AB=CD=5.4米BC=AD=2.2米且∠ADC=90°∵∠DCF+∠CDF=90°且∠ADE+∠CDF=90°∴∠DCF=∠ADE=40°在Rt△DCF中，sin∠DCF=DF=CDsin∠DCF=5.4×sin40°≈5.4×0.64=3.456在Rt△DAE中，COS∠ADE=DE=ADcos∠ADE=2.2×cos40°≈2.2×0.77=1.694EF=DE+DF≈3.456+1.694=5.2∴停车位所占道路宽度EF约为5.2米．【点评】此题考察三角函数关系的利用，正弦和余弦的灵活利用，而求得．8．太阳能是可再生的绿色环保能源，太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式，如图是*地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图．房屋的金顶等腰△ABC中，屋面倾角∠B=21.8°，太阳能真空管MN=1.8m，可伸缩支架MA⊥BC，安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN．该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m，求符合安装要求的支架MA的长度．〔参考数据：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=〕【分析】如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，即使太阳光线垂直于DQ，利用等角的余角相等得到∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，利用三角函数的定义得到cos∠EDF=0.8，sin∠EDF=0.6，再根据相似的判定易得△MNH∽△DQE，则∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，根据三角函数的定义可计算出NH=1.44，MH=1.08；则在Rt△ANH中，利用正切的定义计算出AH=0.576，然后利用MA=MH﹣AH进展计算即可．【解答】解：如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，∴∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，cos∠EDF===0.8，sin∠EDF==0.6，∵△MNH∽△DQE，∴∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，∵cos∠MNH==0.8，sin∠MNH==0.6，∴NH=0.8×1.8=1.44，MH=0.6×1.8=1.08，在Rt△ANH中，∵tan∠ANH=tan21.8°=，∴AH=1.44×0.4=0.576，∴MA=MH﹣AH=1.08﹣0.576=0.504〔m〕．答：符合安装要求的支架MA的长度为0.504米．【点评】此题考察了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题〕，根据题目特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．9．如图是一种躺椅及其简化构造示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．〔1〕求两支架落点E、F之间的距离；〔2〕假设MN=60cm，求躺椅的高度〔点M到地面的距离，结果取整数〕．〔参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器〕【分析】〔1〕利用平行线分线段成比例定理得出，利用平行四边形的判定与性质进而求出即可；〔2〕利用四边形ONHE是平行四边形，进而得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°，利用MP=110sin60°求出即可．【解答】解：〔1〕连接EF．∵CD平行于地面，∴GD∥EF．∴．又∵AB∥EF，∴AB∥CD．而OE∥DM，则四边形OGDN是平行四边形．∴OG=DN，GD=ON．∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，∴GD=40cm，OG=GD=20cm，又EG=30cm，即，得EF=100cm．〔2〕延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．∵四边形ONHE是平行四边形，∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．由于MN=60cm，∴MH=110cm．在Rt△MHP中，MP=MH•sin∠MHP，即MP=110sin60°