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函数微分微分定义微分几何意义基本初等函数微分公式与微分运算法则微分在近似计算中应用微分近似计算误差预计基本初等函数微分公式和、差、积、商微分法则复合函数微分法则1第七节函数微分一.微分定义：1.实例——函数增量组成x0x0函数增量由两部分组成：22、微分定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，区间内，假如函数增量可表示为（1）其中是不依赖于常数，而是比高阶无穷小，那么称函数在点是可微，而叫做函数对应于自变量增量x微分，在点记作dy，即：及在这定义3设函数在点可微,则有(1)成立，即等式两端除以所以,假如函数在点可微，则在点也一定可导,且3、问题：函数可微条件是什么？于是,当时,由上式就得到依据极限与无穷小关系,上式可写为反之,假如在存在,可导,即4则故上式相当于(1)式,在点可微。则4.函数可微充要条件：如函数微分为显然，函数微分与和相关。函数在任意点微分,称为函数微分,记作即55、微分几何意义xyM0NPQx0TO当很小时，

6例1

求函数解函数例2

求函数解先求函数在任意点微分7通常把自变量增量称为自变量微分.记作即则函数微分又可记作：这表明,函数微分与自变量微分之商等于该函数导数.所以,导数也叫“微商”.导数（微商）即微分之商。8二.基本初等函数微分公式与微分运算法则1.基本初等函数微分公式导数公式微分公式92.函数和、差、积、商微分法则10函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商微分法则3.复合函数微分法则——微分公式形式不变性。由此可见，不论是自变量还是中间变量可微函数，微分形式保持不变。这一性质叫做微分形式不变性。114、利用微分公式形式不变性计算利用微分公式形式不变性，不但能够求函数微分，而且能够求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量微分，就能够得到函数导数。例3：122、分别按照dx、dy合并同类项。得到g1(x,y)dy=g2(x,y)dx利用微分公式形式不变性，求隐函数微分和导数步骤：1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行到dy、dx

。3、13在求复合函数微分时，也能够不写出中间变量。解解把2x+1看成中间变量u

，则例4求例5求14例7

在以下等式左端括号中填入适当函数，使等式成立。解:解应用积微分法则得：(1)因为例6求1516第八节微分在近似计算中应用解：例1：17解：例2：18利用上式可导出工程上惯用几个公式（）：假定很小在式中，取得19解解20绝对误差：相对误差：在实际工作中，因为某个量准确值往往是无法知道，所以绝对误差和相对误差无法求得。21绝对误差限：相对误差限：22解：通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。例5：23小结：4．近似计算公式5．工业上惯用几个近似公式6.绝对误差与相对误差定义及计算1．微分定义、公式2．微分几何意义3．基本初等函数微分公式

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