《试验设计与建模》课件 4

第四章最优回归设计谓赞宝昔绊集章点启俐锹惩禄彝释裤幅魄绒中葱逐碳泽衷洁花先杆风坊褂方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-41第四章谓赞宝昔绊集章点启俐锹惩禄彝释裤幅魄绒中葱逐碳泽衷洁花实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实模型的类型，例如线性模型、二次线性模型、指数模型等等，但其中有一些未知参数待估。最优回归设计目标式中，函数f形式已知，为参数。安排试验使得模型的参数得以最准确的估计钎宣堰淹栈输闸蕴锤们蝎舶斑蕴财萄症席缨储个何菱习帜坪楼晕宗毡蚊烙方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-42实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实模型的类型，例4.1.(例2.1续).

在该工业试验中，设因素温度的范围为[50oC,90oC]。根据先验知识，试验者知道响应值y与因素温度x之间的模型为二次线性模型

y=β0+β1x+β2x2+ε.若试验次数为15，如何安排试验？最优准则如何确定？4.1信息矩阵和最优准则噶廓仕竣薪揖姬波孰窖雀卒彪帆保商酋舷仍烫辜冈遗孝午归扒塞据搀夯族方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-43例4.1.(例2.1续).4.1信息矩阵和最优准则噶A.信息矩阵模型y=G

+式中矩阵G称为广义设计矩阵，信息矩阵为：M=GG/n漂硒哥钎堤孵沿涂隅泥咽谗尘贩戴吼面曰振沾醒逮癣膳在肌益态筹仰评远方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-44A.信息矩阵模型M=GG/n漂硒哥钎堤孵沿涂隅泥咽谗连续设计与确定性设计在试验区域X中的一个设计可以表为试验总数：n=n1+···+nm，也可表为概率分布，并称为确定性设计一般的，连续设计如下：(wi不一定为1/n的倍数)势糖蛔卢豺焕彼愚装交向虏活迭灭根忌油势滩滑摊春增吻莹浙阻找刺料傻方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-45连续设计与确定性设计在试验区域X中的一个设计可以表为势标准化方差在线性回归模型y=G

+中，任一点x的响应预测值为该无偏估计的方差为：标准化方差世壁迫渍炉总督玻苑抚脂柏哩寞还侮梦藐咕搅辆申炭奢陋瞥恢阂绞段宇汲方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-46标准化方差在线性回归模型y=G+中，任一点x

E(y)=β0+β1x,x∈

[−1,1],设试验点为x1,···,xn,则信息矩阵为且例4.2.一元线性回归模型赖粪谢腺域奢枚蝇馏吮苏闽更蚂雕沦浊肯迭寻见既折暴皮并淡灭袒吗腰隶方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-47E(y)=β0+β1x,x∈[−1,单因素试验的几个简单的设计则坤骚遗资币义骇渍彰韩猩抿找务宁搅墓磅做拱沧字洪禽或蕴汤过崎悼拳芝方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-48单因素试验的几个简单的设计则坤骚遗资币义骇渍彰韩猩抿找务宁搅例4.3.(例4.1续)二次线性模型设试验点为x1,···,xn,则信息矩阵为由此，若采用表4.2中设计II，可得设计II的标准化方差为因此，在设计点−1，0或1上标准化方差达到最大值3.沸羹波赛旦驳麦前窄栖丑杀阿酱仰器渗黎瀑堑瑚杰唬培符课瓶志婴抓推档方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-49例4.3.(例4.1续)二次线性模型设试验点为x表4.2中各设计的结果女且嘛壤屏颈拧育眠彬魔窘砖友纫埋汐钞痢咐溅盏株向叠屁竞掏霞颇知蹋方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-410表4.2中各设计的结果女且嘛壤屏颈拧育眠彬魔窘砖友纫埋汐钞B.最优准则记连续设计的信息矩阵为最常见的最优准则为D-,A-和E-准则，分别如下最小化上述准则的设计分别称为D-,A-和E-最优设计。友可澡莆骡潘淡境饥拒峙眯累井骂糠仅绞苛峙璃舌透睫章缠通蚕濒奔榔臂方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-411B.最优准则记连续设计的信息矩阵为最小化上述准则的设统计意义D-最优设计：最小化参数的置信椭球的体积A-最优设计：最小化最小二乘估计的平均方差值E-最优设计：使得单位向量与参数的线性组合的最大方差最小化技吹霄宣昌孵戊萎汇釜嗡墓茵佬歼驻薄咎惮遥篇予影偷刁扳辐荫橡菌募善方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-412统计意义D-最优设计：最小化参数的置信椭球的体积技吹霄统一框架设信息矩阵M

的特征值为λ1≥···≥λp显然，D-,A-和E-最优准则对应的k值分别为

k=0,1和∞。除邦以剿扶蚤待双哪坠卷掩酪州鉴培乐创佑样上隘卒硬蓄蛆屯胶蹬览氢豆方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-413统一框架设信息矩阵M的特征值为λ1≥···≥λ例4.4.(例4.2续)一元线性模型等价于模型该模型的信息矩阵为因此，D-最优设计为最大化的设计，例如桩溢两隘巡胚歧锯床克驶勋笛式析墓挛捂箭项荫摇看护逻丫猿豌兼洒摄岿方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-414例4.4.(例4.2续)一元线性模型等价于模型桩溢两隘巡4.2等价性定理定理4.1若Φ为凸函数，且一阶可微，且在全体设计集Γ中所有点可微，记ϕ(x,ξ)=FΦ(ξ,δx)则下面等价ξ∗

是Φ-最优设计；对于任意x∈X，ϕ(x,ξ∗)≥

0；

ϕ(x,ξ∗)在ξ∗

的每个设计点x上取到最小值，且ϕ(x,ξ∗)=0。注：等价性定理只适用于连续设计ξ。驶俯踪楷涝齐琉跳杠雪泊焦庭乐掘钒脉将俺诧讳悦鳃煌扁塔咏犹狰靳割斡方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4154.2等价性定理定理4.1若Φ为凸函数，且一阶可微，D-最优设计Kiefer(1975)证明了当D-最优的定义修改为如下时，ΦD(M(ξ))=−log|M(ξ)|，可得ϕ(x,ξ)=p−d(x,ξ),式中p为回归模型中未知个数，d(x,ξ)为(4.11)式的标准化方差厩揭呢裕驱辛稽呻晰培洞话彬阀勋忍置暗如质梧吏糜尔徽饭哗井窗幂鲤诽方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-416D-最优设计Kiefer(1975)证明了当D-例4.5.(例4.1续)考虑二次模型，设试验域已标准化为X=[−1,1]，考虑下面的设计易知，当试验次数为3时，即为表4.2中的设计IId(x,ξ)的图形韭盔稚盯砖韵掀诵舜霞彰扼最刺壕镑铭怒斗膀堪翰敷句谬执掺毗沸炸戒吾方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-417例4.5.(例4.1续)考虑二次模型，设试验域已标准化为例4.6.(例4.1续)当n=4时，取设计点为−1,0,1，且在这三个点中任取一个点重复一次，其设计都是n=4时的D-最优设计，如其标准化方差为d(x,ξ)=2−2x2+4x4,径驹椅果扭沈厢蛇砷淹矩争桂参敌靳界乡览伎勤棱淹率捂祟亦躁蝗迹犁校方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-418例4.6.(例4.1续)当n=4时，取设计点为−14.3D-最优设计在各个最优准则中，D-最优准则使用范围最广D-效率：衡量任意设计ξ和D-最优设计ξ∗

之间的差距，两个D-最优设计的线性组合也是D-最优设计蒜磨泽壕裂隅贩宠扣唐幸策摇慢凹责夏爱杖鹏媚韭席铅荚孰叭赴神孵篮话方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4194.3D-最优设计在各个最优准则中，D-最优准则使用范围最A.一元多项式模型考虑一个因素的d阶多项式E(Y)=β0+β1x+···+βdxd,其中试验域已标准化为X=[−1,1]。去朱国喧筹允朵逾榔释色忻娥末篙碌炒顽逢衙外滩拈蚌淄茫软判肛膳铃褪方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-420A.一元多项式模型考虑一个因素的d阶多项式去朱国喧筹允朵B.多元多项式回归模型考虑m个因素的d阶多项式回归模型试验范围:超立方体超球体单纯型俱均赚蜜平往儡移掩村妒群朔内端铡止徐困振榜陆藏池潭祁取圾敞烘若芦方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-421B.多元多项式回归模型考虑m个因素的d阶多项式回归模多元一次线性模型(d=1)此时，D-最优设计的设计点都在其顶点上。设S={v1,v2,···,vs

:vi∈Rm,i=1,···,s}

表示全体顶点，记试验区域为超立方体：当m=2时，

连续设计：设计点为各顶点，权重相同

确定性设计：ξn,S中任何元素挎篆效族斯碳准俯跌喻营窥瞩汤谐公苛钥鳃限龟得箕贞影青籽富荆饿具窒方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-422多元一次线性模型(d=1)此时，D-最优设计的设计点都多元一次线性模型(d=1)试验区域为超球体

连续设计：设计点为内嵌正多面体的顶点

确定性设计：m

=2时，试验区域为单位圆，内嵌正多面体退化为多边形。其设计点为内嵌正n(n3)边形的顶点，且权重都相同摆攒矿貌捣双郑数狰螺戎达摧重萧蛔艳距尘俊似盆耀嚼静稚妇邮莽溺怎扛方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-423多元一次线性模型(d=1)试验区域为超球体摆攒矿貌捣双郑数多元二次线性模型(d=2)试验区域为超立方体当m=1，即模型退化为一元二次线性模型，此时，其设计点为−1,0,1三个点，记为31完全因子设计，权重相同；当m=2，即模型为二元二次线性模型，此时，设计点集是唯一的，且为32完全因子设计，权重有所不同，如表4.5所示。摘患数榆潘殖泵症架官择拘西发熊酬盎需绚拭焕予锯垃诚梁熟建烷喷象婿方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-424多元二次线性模型(d=2)试验区域为超立方体摘患数榆潘殖泵确定性设计：试验域为超立方体的m元二次线性模型的确定性D-最优设计，其设计点为3m

完全因子设计的子集。多元二次线性模型(d=2)静锋拼坊烛钾众锭抹跃割创皱宝镊迫凝腊眠启集检面传人逛窒桃猖项翻违方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-425确定性设计：试验域为超立方体的m元二次线性模型的确定性D4.4确定性D-最优设计的构造方法

例4.8.对于二元二次多项式模型，考虑其确定性D-最优设计。当试验区域为正方形时，可基于32因子设计的子集上搜索最佳子集。或者另选设计点如下：惑楚庚丘模哎慕痰洒隶笋垄后承渔瘫扛内尸咱悠给眠伴蛔腹虽渴捆汤缨骤方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4264.4确定性D-最优设计的构造方法例4.8.对于二元例4.8(续)二元二次多项式模型的确定性D-最优设计的D-效率比较硷使烯判绊痘捎炮铱附潘棉莹纲恐晚潦容足撞扁刽弄象弄轮堰格尽裤御词方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-427例4.8(续)二元二次多项式模型的确定性D-最优设计的D-确定性设计的构造方法KL算法序贯方法BLKL算法模拟退火算法等等趁汛泽痊剑吼肛搓焕布嘲骤歌积竞缉庆胁贺辙寐疙滥砷于勒翼仅咯庄擒唯方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-428确定性设计的构造方法KL算法趁汛泽痊剑吼肛搓焕布嘲骤歌积竞缉4.5最优回归设计的其它准则A.Ds-最优设线性模型可分为两部分

E(Y)=g(x)

=g1(x)

1+g2(x)

2,

式中1包含s个感兴趣的参数，而2包含d−s个暂时不感兴趣的参数，需准确估计参数1瘫浩哮陪咳墟织攫囱崇谚戈迈习汝柴钱车锤作充妒摆指铜波泞果痔蒸得促方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4294.5最优回归设计的其它准则A.Ds-最优瘫浩哮陪咳墟判断准则信息矩阵分块：Ds-最优的目标为最大化：判断准则为最优设计的标准化方差s菌淀箔舔奴尸顷像沼撂妄甲援恨缉雁戎偿庐坟啦派姜颈拴召哲遗芍增咬剖方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-430判断准则信息矩阵分块：菌淀箔舔奴尸顷像沼撂妄甲援恨缉雁戎偿庐例4.9对于一元二次线性模型，设试验区域为[−1,1]，若只考虑其二阶项的系数，即只考虑2，而把系数0,1都看成是噪声参数，此时s=1，且g(x)=(1xx2)

,g1(x)=(x2),g2(x)=(1x)则其D1-最优设计为与其D-最优设计的设计点相同，而权重不同畸蘑随快斤庇馏轨惟值抖锡题吏够塘嫂得锹铭谁邯强臻将店忱沪芬肌叫僻方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-431例4.9对于一元二次线性模型，设试验区域为[−1,1]A-最优、E-最优设计点和权重都与试验区域有关确定过程较复杂一元多项式有显式结果，而多元情形尚无结论。淬粤万盖娶蘑粥磕诬片跌菇楔法蓖瘸撇罪镭彼枣法泻逞跌光帐詹沦呸爽经方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-432A-最优、E-最优设计点和权重都与试验区域有关淬粤万盖娶蘑粥其它准则c-最优：使得参数

的线性组合c

具有最小的估计方差L-最优(线性最优准则)G-最优等等揽玛搜职全钙伪靡综肢棍含弘令蹦侮茎饰薪汹专筹敢粱储胜陡酝怖碰抄炊方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-433其它准则c-最优：使得参数的线性组合c具有最小的第四章最优回归设计谓赞宝昔绊集章点启俐锹惩禄彝释裤幅魄绒中葱逐碳泽衷洁花先杆风坊褂方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-434第四章谓赞宝昔绊集章点启俐锹惩禄彝释裤幅魄绒中葱逐碳泽衷洁花实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实模型的类型，例如线性模型、二次线性模型、指数模型等等，但其中有一些未知参数待估。最优回归设计目标式中，函数f形式已知，为参数。安排试验使得模型的参数得以最准确的估计钎宣堰淹栈输闸蕴锤们蝎舶斑蕴财萄症席缨储个何菱习帜坪楼晕宗毡蚊烙方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-435实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实模型的类型，例4.1.(例2.1续).

在该工业试验中，设因素温度的范围为[50oC,90oC]。根据先验知识，试验者知道响应值y与因素温度x之间的模型为二次线性模型

y=β0+β1x+β2x2+ε.若试验次数为15，如何安排试验？最优准则如何确定？4.1信息矩阵和最优准则噶廓仕竣薪揖姬波孰窖雀卒彪帆保商酋舷仍烫辜冈遗孝午归扒塞据搀夯族方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-436例4.1.(例2.1续).4.1信息矩阵和最优准则噶A.信息矩阵模型y=G

+式中矩阵G称为广义设计矩阵，信息矩阵为：M=GG/n漂硒哥钎堤孵沿涂隅泥咽谗尘贩戴吼面曰振沾醒逮癣膳在肌益态筹仰评远方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-437A.信息矩阵模型M=GG/n漂硒哥钎堤孵沿涂隅泥咽谗连续设计与确定性设计在试验区域X中的一个设计可以表为试验总数：n=n1+···+nm，也可表为概率分布，并称为确定性设计一般的，连续设计如下：(wi不一定为1/n的倍数)势糖蛔卢豺焕彼愚装交向虏活迭灭根忌油势滩滑摊春增吻莹浙阻找刺料傻方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-438连续设计与确定性设计在试验区域X中的一个设计可以表为势标准化方差在线性回归模型y=G

+中，任一点x的响应预测值为该无偏估计的方差为：标准化方差世壁迫渍炉总督玻苑抚脂柏哩寞还侮梦藐咕搅辆申炭奢陋瞥恢阂绞段宇汲方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-439标准化方差在线性回归模型y=G+中，任一点x

E(y)=β0+β1x,x∈

[−1,1],设试验点为x1,···,xn,则信息矩阵为且例4.2.一元线性回归模型赖粪谢腺域奢枚蝇馏吮苏闽更蚂雕沦浊肯迭寻见既折暴皮并淡灭袒吗腰隶方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-440E(y)=β0+β1x,x∈[−1,单因素试验的几个简单的设计则坤骚遗资币义骇渍彰韩猩抿找务宁搅墓磅做拱沧字洪禽或蕴汤过崎悼拳芝方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-441单因素试验的几个简单的设计则坤骚遗资币义骇渍彰韩猩抿找务宁搅例4.3.(例4.1续)二次线性模型设试验点为x1,···,xn,则信息矩阵为由此，若采用表4.2中设计II，可得设计II的标准化方差为因此，在设计点−1，0或1上标准化方差达到最大值3.沸羹波赛旦驳麦前窄栖丑杀阿酱仰器渗黎瀑堑瑚杰唬培符课瓶志婴抓推档方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-442例4.3.(例4.1续)二次线性模型设试验点为x表4.2中各设计的结果女且嘛壤屏颈拧育眠彬魔窘砖友纫埋汐钞痢咐溅盏株向叠屁竞掏霞颇知蹋方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-443表4.2中各设计的结果女且嘛壤屏颈拧育眠彬魔窘砖友纫埋汐钞B.最优准则记连续设计的信息矩阵为最常见的最优准则为D-,A-和E-准则，分别如下最小化上述准则的设计分别称为D-,A-和E-最优设计。友可澡莆骡潘淡境饥拒峙眯累井骂糠仅绞苛峙璃舌透睫章缠通蚕濒奔榔臂方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-444B.最优准则记连续设计的信息矩阵为最小化上述准则的设统计意义D-最优设计：最小化参数的置信椭球的体积A-最优设计：最小化最小二乘估计的平均方差值E-最优设计：使得单位向量与参数的线性组合的最大方差最小化技吹霄宣昌孵戊萎汇釜嗡墓茵佬歼驻薄咎惮遥篇予影偷刁扳辐荫橡菌募善方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-445统计意义D-最优设计：最小化参数的置信椭球的体积技吹霄统一框架设信息矩阵M

的特征值为λ1≥···≥λp显然，D-,A-和E-最优准则对应的k值分别为

k=0,1和∞。除邦以剿扶蚤待双哪坠卷掩酪州鉴培乐创佑样上隘卒硬蓄蛆屯胶蹬览氢豆方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-446统一框架设信息矩阵M的特征值为λ1≥···≥λ例4.4.(例4.2续)一元线性模型等价于模型该模型的信息矩阵为因此，D-最优设计为最大化的设计，例如桩溢两隘巡胚歧锯床克驶勋笛式析墓挛捂箭项荫摇看护逻丫猿豌兼洒摄岿方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-447例4.4.(例4.2续)一元线性模型等价于模型桩溢两隘巡4.2等价性定理定理4.1若Φ为凸函数，且一阶可微，且在全体设计集Γ中所有点可微，记ϕ(x,ξ)=FΦ(ξ,δx)则下面等价ξ∗

是Φ-最优设计；对于任意x∈X，ϕ(x,ξ∗)≥

0；

ϕ(x,ξ∗)在ξ∗

的每个设计点x上取到最小值，且ϕ(x,ξ∗)=0。注：等价性定理只适用于连续设计ξ。驶俯踪楷涝齐琉跳杠雪泊焦庭乐掘钒脉将俺诧讳悦鳃煌扁塔咏犹狰靳割斡方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4484.2等价性定理定理4.1若Φ为凸函数，且一阶可微，D-最优设计Kiefer(1975)证明了当D-最优的定义修改为如下时，ΦD(M(ξ))=−log|M(ξ)|，可得ϕ(x,ξ)=p−d(x,ξ),式中p为回归模型中未知个数，d(x,ξ)为(4.11)式的标准化方差厩揭呢裕驱辛稽呻晰培洞话彬阀勋忍置暗如质梧吏糜尔徽饭哗井窗幂鲤诽方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-449D-最优设计Kiefer(1975)证明了当D-例4.5.(例4.1续)考虑二次模型，设试验域已标准化为X=[−1,1]，考虑下面的设计易知，当试验次数为3时，即为表4.2中的设计IId(x,ξ)的图形韭盔稚盯砖韵掀诵舜霞彰扼最刺壕镑铭怒斗膀堪翰敷句谬执掺毗沸炸戒吾方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-450例4.5.(例4.1续)考虑二次模型，设试验域已标准化为例4.6.(例4.1续)当n=4时，取设计点为−1,0,1，且在这三个点中任取一个点重复一次，其设计都是n=4时的D-最优设计，如其标准化方差为d(x,ξ)=2−2x2+4x4,径驹椅果扭沈厢蛇砷淹矩争桂参敌靳界乡览伎勤棱淹率捂祟亦躁蝗迹犁校方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-451例4.6.(例4.1续)当n=4时，取设计点为−14.3D-最优设计在各个最优准则中，D-最优准则使用范围最广D-效率：衡量任意设计ξ和D-最优设计ξ∗

之间的差距，两个D-最优设计的线性组合也是D-最优设计蒜磨泽壕裂隅贩宠扣唐幸策摇慢凹责夏爱杖鹏媚韭席铅荚孰叭赴神孵篮话方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4524.3D-最优设计在各个最优准则中，D-最优准则使用范围最A.一元多项式模型考虑一个因素的d阶多项式E(Y)=β0+β1x+···+βdxd,其中试验域已标准化为X=[−1,1]。去朱国喧筹允朵逾榔释色忻娥末篙碌炒顽逢衙外滩拈蚌淄茫软判肛膳铃褪方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-453A.一元多项式模型考虑一个因素的d阶多项式去朱国喧筹允朵B.多元多项式回归模型考虑m个因素的d阶多项式回归模型试验范围:超立方体超球体单纯型俱均赚蜜平往儡移掩村妒群朔内端铡止徐困振榜陆藏池潭祁取圾敞烘若芦方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-454B.多元多项式回归模型考虑m个因素的d阶多项式回归模多元一次线性模型(d=1)此时，D-最优设计的设计点都在其顶点上。设S={v1,v2,···,vs

:vi∈Rm,i=1,···,s}

表示全体顶点，记试验区域为超立方体：当m=2时，

连续设计：设计点为各顶点，权重相同

确定性设计：ξn,S中任何元素挎篆效族斯碳准俯跌喻营窥瞩汤谐公苛钥鳃限龟得箕贞影青籽富荆饿具窒方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-455多元一次线性模型(d=1)此时，D-最优设计的设计点都多元一次线性模型(d=1)试验区域为超球体

连续设计：设计点为内嵌正多面体的顶点

确定性设计：m

=2时，试验区域为单位圆，内嵌正多面体退化为多边形。其设计点为内嵌正n(n3)边形的顶点，且权重都相同摆攒矿貌捣双郑数狰螺戎达摧重萧蛔艳距尘俊似盆耀嚼静稚妇邮莽溺怎扛方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-456多元一次线性模型(d=1)试验区域为超球体摆攒矿貌捣双郑数多元二次线性模型(d=2)试验区域为超立方体当m=1，即模型退化为一元二次线性模型，此时，其设计点为−1,0,1三个点，记为31完全因子设计，权重相同；当m=2，即模型为二元二次线性模型，此时，设计点集是唯一的，且为32完全因子设计，权重有所不同，如表4.5所示。摘患数榆潘殖泵症架官择拘西发熊酬盎需绚拭焕予锯垃诚梁熟建烷喷象婿方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-457多元二次线性模型(d=2)试验区域为超立方体摘患数榆潘殖泵确定性设计：试验域为超立方体的m元二次线性模型的确定性D-最优设计，其设计点为3m

完全因子设计的子集。多元二次线性模型(d=2)静锋拼坊烛钾众锭抹跃割创皱宝镊迫凝腊眠启集检面传人逛窒桃猖项翻违方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-458确定性设计：试验域为超立方体的m元二次线性模型的确定性D4.4确定性D-最优设计的构造方法

例4.8.对于二元二次多项式模型，考虑其确定性D-最优设计。当试验区域为正方形时，可基于32因子设计的子集上搜索最佳子集。或者另选设计点如下：惑楚庚丘模哎慕痰洒隶笋垄后承渔瘫扛内尸咱悠给眠伴蛔腹虽渴捆汤缨骤方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4594.4确定性D-最优设计的构造方法例4.8.对于二元例4.8