2022年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则课后习题新人教A版选择性必修第二册

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7.求下列函数的导数:(1)y=5x(2)y=log2x2-log2x;(3)y=cosx(4)y=-2sinx21-2cos2x4.关键能力提升练8.如图,有一个图象是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,且a≠0)的导函数的图象,则f(-1)等于(A.13 B.-C.73 D.-9.(2021湖南长沙长郡中学高二期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f'(1)+g'(1)=()A.1 B.2 C.3 D.410.(2021江西新八校高三联考)若曲线y=ex-m的一条切线为y=1ex+n(e为自然对数的底数),其中m,n为正实数,则m+n的值是()A.e B.1e C.2e D11.(多选题)(2021河北高二联考)已知函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x),则()A.f'(x)为偶函数 B.f'(x)为奇函数C.f'(0)=1 D.fπ2+f'12.(多选题)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是()A.f(x)=x2 B.f(x)=e-xC.f(x)=lnx D.f(x)=tanx13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是14.已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出条f(x)图象的切线.

15.已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=lnx的切线,则a=,b=.

学科素养创新练16.(2021江苏如皋中学高二月考)法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下两个条件:(1)其图象在闭区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),其中ξ称为拉格朗日中值.函数g(x)=lnx+x在区间[1,2]上的拉格朗日中值ξ=.

17.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f'(0)=.

参考答案5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则1.ACD由(xα)'=αxα-1知,y=1x3=x-3,则y'=-3x-4=-3x4,y=3x=x13,则y'=1y=1x2=x-2,则y'=-2x-3,选项C由f(x)=3x知f'(x)=3,∴f'(1)=3,选项D正确.故选ACD.2.C由题意知,s'=1-tt2'+(2t2)'=t-2t3+4t,所以当t=2时的速度为s'|t=2=3.B∵f(x)=x2-2x-4lnx,∴f'(x)=2x-2-4x=2f'(x)=2x2-2x-4x>即(x-2)(x+1)>0,解得x>2.4.A设点P(x,y)是曲线y=sinx上的任意一点,则过点P的曲线y=sinx的切线的斜率是k=(sinx)'=cosx,由于x∈R,所以-1≤k≤1,即-1≤tanα≤1,又α∈[0,π),所以α∈0,π4∪3π4,π.5.BC因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cosx+2,所以f(0)=2-f'(0).因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sinx,所以f'(0)=f(0).故f'(0)=f(0)=1.故选BC.6.1∵f'(x)=-f'π4sinx+cosx,∴f'π4=-f'π4×22+22,得f'π4=2-1∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴fπ4=1.7.解(1)y'=x35'=35(2)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=1x(3)(方法1)y'=1x·cosx'=1x'cosx+1x(cosx)'=x-12'cosx-1xsinx=-12x-32cosx-1xsin(方法2)y'=cosxx'=(cosx)'x-(4)∵y=-2sinx21-2cos2x4=2sinx22cos2x4-1=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx)'=cos8.Bf'(x)=x2+2ax+a2-1,图①与图②中,抛物线的对称轴都是y轴,此时a=0,与题设不符合,故图③中的图象是函数f(x)的导函数的图象.由图③知f'(0)=0,即f'(0)=a2-1=0,得a2=1,又由图③得对称轴为-2a2=-a>0,则a<0,解得a=-故f(x)=13x3-x2+1,所以f(-1)=-19.C∵f(1)=1,∴f(1)+g(1)=0,g(1)=-1.∵f(x)+xg(x)=x2-1,∴f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x.∴f'(1)+g(1)+g'(1)=2,∴f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3.故选C.10.Cy=ex-m的导数为y'=ex,设切点坐标为(x0,y0),则ex0=1e,x0=-1,因此1e-m=-1e+n,11.AC因为函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x)=cosx-xsinx,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误;f'(0)=cos0-0sin0=1,故C正确;fπ2+f'π2=π2cosπ2+cosπ2−π2sinπ2=0+0-12.AC若f(x)=x2,则f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故A符合要求;若f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,B不符合要求;若f(x)=lnx,则f'(x)=1x,若lnx=1x,在同一直角坐标系内作出函数y=lnx与y=1x的图象可知两函数的图象有一个交点,可知方程有解若f(x)=tanx,则f'(x)=sinxcosx'=1cos2x,即sinxcosx=1,变形可得到sin2x=2,13.21∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),∴ak+1=12ak即数列{ak}是首项a1=16,公比q=12的等比数列∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.14.2设切点坐标为(x0,x03-4x由f(x)=x3-4x,得f'(x)=3x2-4.∴f'(x0)=3x02-4,因此切线方程为y-(x03-4x0)=(3x02-4)(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2x03+3x02=0,解得x0=0或x0=-32,所以过点15.18-1由y=lnx,得y'=1因为直线y=x+b是曲线y=lnx的切线,所以1x=1,解得x=1,所以y=ln1=0,即切点为(1,0),所以0=1+b,解得b=-1,即y=x+b=x-1由y=ax2+1,得y'=2ax,因为直线y=x-1是曲线y=ax2+1的切线,所以2ax=1,解得x=12a,所以y=14a+1,即切点为12a,14a+1,所以有14a/r/