2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程培优课椭圆的综合问题及应用课件新人教A版选择性必修第一册

培优课椭圆的综合问题及应用第三章内容索引01重难探究•能力素养全提升02学以致用•随堂检测全达标重难探究•能力素养全提升探究点一椭圆的中点弦问题【例1】

已知椭圆

=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.解

(方法1)易知直线AB的斜率k存在.设所求直线的方程为y-1=k(x-2),Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,故所求直线的方程为x+2y-4=0.(方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2).∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).∵A,B两点都在椭圆上,①-②,得x+2y-4=0.显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.规律方法

处理椭圆的中点弦问题的三种途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.变式训练1已知椭圆

=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为

.

探究点二直线与椭圆的位置关系规律方法

直线与椭圆位置关系的判断方法

变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.探究点三椭圆中的最值与范围问题【例3】

如图,点A,B分别是椭圆

=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.规律方法

解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法(1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解.(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围.变式训练3已知椭圆C:4x2+y2=1.(1)P(m,n)是椭圆C上一点,求m2+n2的取值范围;(2)设直线y=x+m与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.解

(1)m2+n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方,又∵P(m,n)是椭圆C上的一点,探究点四椭圆中的定点、定值问题O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上异于点A,B的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2.所以|AN|·|BM|=4.综上知,|AN|·|BM|为定值.规律方法

定点、定值问题的求法定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种:(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.(1)解

设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.本节要点归纳1.知识清单:(1)实际生活中的椭圆问题;(2)直线与椭圆的位置关系;(3)中点弦的求法.2.方法归纳:分类讨论法、点差法.3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.学以致用•随堂检测全达标答案C

2.若点O和点F分别为椭圆

+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案B

解析

依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为

+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.答案

10解析设椭圆的右焦点为F2,如图所示.因为|PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,当P点运动到P1的位置时,此时A,F2,P1三点共线,|PA|-|PF2|取得最大值为|AF2|==2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值为10.4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,则这条弦所在的直线方程为

.

答案

2x+3y-12=0解析

设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直线的斜率为k.∵P(3,2)为AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4.∵点A,B都在椭圆上,5.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属