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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.2.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.3.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.4.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则5.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知实数x,y满足,则的最小值等于()A. B. C. D.7.已知定义在上的函数在区间上单调递增,且的图象关于对称,若实数满足,则的取值范围是()A. B. C. D.8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸9.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.10.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A. B. C. D.111.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.12.定义在上的函数满足,则()A.-1 B.0 C.1 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数,其中为虚数单位,则的模为_______________.14.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_______.15.给出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,结果为的式子的序号是_____.16.动点到直线的距离和他到点距离相等,直线过且交点的轨迹于两点,则以为直径的圆必过_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点为线段上的点,过三点的平面与交于点.将①,②,③中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:(1)求平面将四棱锥分成两部分的体积比;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.20.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点.(1)若的最小值为,求实数的值;(2)设线段的中点为,其中为坐标原点,若,求的面积.22.(10分)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,求证:对于,恒成立;(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】
首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【题目详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【答案点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.2、A【答案解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【题目详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【答案点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.3、C【答案解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令
,可得
当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【题目详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得
,.
令
,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.故选:C.【答案点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.4、C【答案解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【题目详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【答案点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.5、A【答案解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系6、D【答案解析】
设,,去绝对值,根据余弦函数的性质即可求出.【题目详解】因为实数,满足,设,,,恒成立,,故则的最小值等于.故选:.【答案点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质,考查了运算能力和转化能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、C【答案解析】
根据题意,由函数的图象变换分析可得函数为偶函数,又由函数在区间上单调递增,分析可得,解可得的取值范围,即可得答案.【题目详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,由于函数的图象关于直线对称,则函数的图象关于轴对称,即函数为偶函数,由,得,函数在区间上单调递增,则,得,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式,注意分析函数的奇偶性,属于中等题.8、B【答案解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.9、B【答案解析】
解:当直线过点时,最大,故选B10、C【答案解析】试题分析:设,由题意,显然时不符合题意,故,则,可得:,当且仅当时取等号,故选C.考点:1.抛物线的简单几何性质;2.均值不等式.【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程,均值不等式的灵活运用,属于中档题.解题时一定要注意分析条件,根据条件,利用向量的运算可知,写出直线的斜率,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.11、A【答案解析】
根据或,验证交集后求得的值.【题目详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【答案点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.12、C【答案解析】
推导出,由此能求出的值.【题目详解】∵定义在上的函数满足,∴,故选C.【答案点睛】本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
利用复数模的计算公式求解即可.【题目详解】解:由,得,所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.14、【答案解析】
根据题意,由双曲线的渐近线方程可得,即a=2b,进而由双曲线的几何性质可得cb,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【题目详解】根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,即yx,则有,即a=2b,则cb,则该双曲线的离心率e;故答案为:.【答案点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键是分析a、b之间的关系,属于基础题.15、①②③【答案解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【题目详解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案为:①②③【答案点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.16、【答案解析】
利用动点到直线的距离和他到点距离相等,,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将,代入,利用韦达定理,可得,从而可知以为直径的圆经过原点O.【题目详解】设点,由题意可得,,,可得,设直线的方程为,代入抛物线可得,,,,以AB为直径的圆经过原点.故答案为:(0,0)【答案点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线和抛物线的交汇问题,同时考查了方程的思想和韦达定理,考查了运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见详解.【答案解析】
(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【题目详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【答案点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.18、(1);(2).【答案解析】
若补充②③根据已知可得平面,从而有,结合,可得平面,故有,而,得到,②③成立与①②相同,①③成立,可得,所以任意补充两个条件,结果都一样,以①②作为条件分析;(1)设,可得,进而求出梯形的面积,可求出,即可求出结论;(2),以为坐标原点,建立空间坐标系,求出坐标,由(1)得为平面的法向量,根据空间向量的线面角公式即可求解.【题目详解】第一种情况:若将①,②作为已知条件,解答如下:(1)设平面为平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又为中点.设,则.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面积,,,平面,,,∴,故,.(2)如图,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,设,则,由(1)得为平面的一个法向量,因为,所以直线与平面所成角的正弦值为.第二种情况:若将①,③作为已知条件,则由知平面,,又,所以平面,,又,故为中点,即,解答如上不变.第三种情况:若将②,③作为已知条件,由及第二种情况知,又,易知,解答仍如上不变.【答案点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,以及体积、直线与平面所成的角,考查计算求解能力,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2).【答案解析】
(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【题目详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.【答案点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题20、(1)(2)【答案解析】
(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用,可得,根据题意,得到,解得,得到函数的解析式,进而求得的值,利用三角函数恒等变换的应用可求的值.【题目详解】(1)由题意,根据正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因为,则,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函数的图象的一条对称轴方程为,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【答案点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.21、(1)的值为或.(2)【答案解析】
(1)分类讨论,当时,线段与抛物线没有公共点,设点在抛物线准线上的射影为,当三点共线时,能取得最小值,利用抛物线的焦半径公式即可求解;当时,线段与抛物线有公共点,利用两点间的距离公式即可求解.(2)由题意可得轴且设,则,代入抛物线方程求出,再利用三角形的面积公式即可求解.【题目详解】由题,,若线段与抛物线没有公共点,即时,设点在抛物线准线上的射影为,则三点共线时,的最小值为,此时若线段与抛物线有公共点,即时,则三点共线时
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