2020年湖南省郴州市中考数学试卷

第第29页(共27页)S的面积为Sc，求^1的最大值；2S2②如图22②如图2,抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF丄BC，垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在,【分析(1)把A(-1,0)，B(3,0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3,0)，C的坐标代入即可求解；(2)①设点D的坐标为(m,-m+3)，利用待定系数法求得直线AD的表达式-m+3-m+3-m+3y=x+—m+1m+1a-b+3=09a+3b+3=0解得a=-1b=2求得点P的横坐标为m+1，解方程也土3x+-m^3=-x2+2x+3,

m求得点P的横坐标为m+14m-m利用平行线分线段成比例定理求得身=汕=PD=MN=如土1=-m2+3m，设SSDAAMm+1(m+1)22AADC=t，则t=-m2+3m，整理得(t+1)m2+⑵-3)m+1=0，根据△0，即可解决问题.S(m+1)22②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为(2,1)，分EF为边和号为对角线两种情况讨论，即可求解.'解答】解：(1)把A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,点C坐标为(0,3)，把B(3,0)，C(0,3)代入y=kx+n得：j3k+n=0In=3'解得〔n=-1直线BC的表达式为y=-x+3.

(2)①PA交直线BC于点D,:.设点D的坐标为(m,-m+3),设直线AD的表达式为y=kx+b,11-k+b=011mk+b=-m+311,-m+3k=解得，1m+1解得，,-m+3b=、im+1直线AD直线AD的表达式,-m+3-m+3y=x+—m+1m+1如3x+如如3x+如3=-x2+2x+3,m+1整理得，(x--)(x+1)=0m+1解得x=如或-1(不合题意，舍去),m+1.•.点D的横坐标为m，点P的横坐标为m+1分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中:图1图14m.DM//PN，OM4m.DM//PN，OM=m，ON=，OA=1，m+14mSSPDMN-m-m2+3m=APDC====SSDAAMm+1(m+1)2AADC-m2+3m(m+1)2整理得，(t+1)m2+(2t-3)m+t=0，■■■△0，/.(2t—3)2—4t(t+1)0，2解得t112

^S1有最大值，最大值为—.S162y=-x2+2x+3的对称轴为x=1,OE=1,~(3,0),C(0,3).OC=OB=3，又ZCOB=90。,OCB是等腰直角三角形，ZEFB=90。,BE=OB—OE=2,•••△EFB是等腰直角三角形，.FG=GB=EG=1,.；点F的坐标为(2,1),当EF为边时，■■-四边形EFPQ为平行四边形，QE=PF,QE//PF//y轴，...点P的横坐标与点F的横坐标同为2,当x=2时,y=-22+2x2+3=3,点P的坐标为(2,3),.QE=PF=3-1=2点Q的坐标为(1,2),根据对称性当P(0,3)时，Q(1,4)时，四边形EFQP也是平行四边形.当EF为对角线时，如图3中，■■-四边形peqf为平行四边形，qe=pf,qe//pf//y轴，同理求得：点P的坐标为(2,3),QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,-2)；综上，点P的坐标为(2,3)