2019全国I卷理科数学高考真题-新

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1•已知集合M={x|-4<x<2},N={xx2-x-6<0}，则M「|N={x—4<x<3}b.{x|-4<x<-2}c.{x|-2<x<2}d.{x|2<x<3}2•设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝ijA.(x+l)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1》=13.已知a=log0.2,b=2o.2,c=O.2o.3，则2A.a<bA.a<b<ca<c<bc<a<bb<c<a4•古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是申(寻1"0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此•此外，最美人体的头顶至咽5-1喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是——•若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是165cm175cm185cm190cm165cm175cm185cm190cmsinx+x「.5•函数f(x)=COE在E刃的图像大致为卦恰有3个阳爻的概率是A．7．51121—B.C・D163232已知非零向量a,b满足Ia1=21卦恰有3个阳爻的概率是A．7．51121—B.C・D163232已知非零向量a,b满足Ia1=21bI，且(a-b)丄b,则a与b的夹角为1116A．nB.-32nC.—5nD.68.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入2否是输出/W+1A.A=B.A=2+-AC.A=D.A=1+12A9.记S为等差数列｛a｝的前n项和.已知S=0,a=5，则nn45A.a=2nA.a=2n-5nB.a=3n-10nC.S=2n2-8nn1D.S=n2一2nn21°•已知椭圆C的焦点为F1(-1)，卩0),过F2的直线与C交于A,B两点.若1化=2|F2BLIABl=lBFI，则C的方程为1x2yx2y2B.丁+亍=1x2y2CW+丁二1x2y2D丁+才二111.关于函数f(x)=sinlxI+IsinxI有下述四个结论:①f(x)是偶函数①f(x)是偶函数②f(x)在区间(一2)单调递增③f(x)在［—兀,兀］有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球0的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，ZCEF=90。，则球0的体积为B.4J6兀A.B.4J6兀二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.记S为等比数列｛a｝的前n项和.若a=；，a2=a，贝卩S二.nn1346515．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.x2y2已知双曲线C：—厂=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与C的两条a2b2121渐近线分别交于A,B两点.若FA=AB，FB•FB=0，则C的离心率为.112三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB一sinC)2=sin2A一sinBsinC.求A；若迈a+b=2c，求sinC.(12分)如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形，AA=4,AB=2,ZBAD=60°，E,M,N分别是BC，BB,111111AD的中点.1证明：MN〃平面CDE；1求二面角A-MA-N的正弦值.1(12分)已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为2的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.2若|AF|+|BF|=4,求l的方程；若AP=3PB，求|AB|.(12分)已知函数f(x)=sinx-ln(l+x),f(x)为f(x)的导数•证明：兀广(x)在区间(j，2)存在唯一极大值点；f(x)有且仅有2个零点.(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分•甲、乙两种药的治愈率分别记为a和B,—轮试验中甲药的得分记为X.求X的分布列；若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p.(i=0，1，-，8)表示“甲药的累计得分为i时，最i终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P=0，P=1，P=aP+bp+cp(i=^2，…，7)，08ii-1ii+1其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设a=0.5，P=0・8.证明：{P―P}(i=0丄2,…,7)为等比数列；i+1i求PA，并根据PA的值解释这种试验方案的合理性.44(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。1122．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系xOy中,x=在直角坐标系xOy中,x=曲线C的参数方程为＜y=1-121+12

4t1+12t为参数）以坐标原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcos0+J3psin0+11二0.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知a,b,c为正数，且满足abc=l.证明:1111)abc+—+—<a2+b2+c21)abc(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1.C2.C3.4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D1.C2.C3.4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D、填空题13.y=3x13.y=3x12114.15.0.1816.2三、解答题17.解：(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bcb2+c2-a212bc由余弦定理得cosA=2bc因为0°<A<180°，所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C，由题设及正弦定理得<2sinA+sin(l20o-C)=2sinC,即#+中0sC+2sinC=2sinC，可得cos°+60°)=-#・由于0。<由于0。<C<120。，所以sinG+6。。）=¥sinC=sin+60。一60。=sin（C+60。）cos60。—cos（C+60。）sin60。18•解：（1）连结BC,ME.1因为M,E分别为BB,BC的中点,11所以ME〃BC,且ME二BC.1211又因为N为AD的中点，所以ND二AD.2由题设知AB=DC,可得BC=AD,故ME=ND,因此四边形MNDE为平行四边形，MN〃ED.又MN乞平面EDC,所以MN〃平面CDE.11（2）由已知可得DE丄DA.以D以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A（2,0,0）‘A®0,4）,M（炕2），N（1，0,2），孚=（0Q-4），AM="-2），AN=（—1,0,—2）,MN=（0,-丁3,0）.m•AM=0设m=（x，y,z）为平面A1MA的法向量’则J•匕=0

n-MN二0,n-~AN二0.所以fX+V'ly—22二0可取mn-MN二0,n-~AN二0.设n=(p,q,r)为平面A』N的法向量，则<—\3q=0,/cc1、所以］cc可取n=(2，°，—1).—p—2r-0.于是cos〈m,n〉m-nIm于是cos〈m,n〉m-nImilnI所以二面角A-MA1-N的正弦值为19.解：3设直线1:y_2x+t，AW”,BgU(3\(1)由题设得F-,0k4丿故IAFI+1BFI_x+x+3,122由题设可得Xi+X23y_—x+1由十2，可得9x2+12(t—1)x+4t2_0,y2_3x12(t—1)则叫严_—厂从而12(t—1)_5

—~92'37所以1的方程为y_x——28⑵由AP_3丽可得人_-3打.3y_—x+1小小小由\2，可得y2—2y+2t_0.y2_3x所以y+y_2.从而—3y+y_2，故y_—1,y_3.122221代入C的方程得x_3,x_.123…i4屈故1AB|_—.1120.解：(1)设g(x)_f'(x)，则g(x)_cosx—，g'(x)_—sinx+当xef-1,彳］时,k当xef-1,彳］时,k2丿g'(x)单调递减，而g'(0)>0,g‘(〒)<0，可得g'(x)在—厅有唯一零点,2k2丿则当xe(-1,d)时，g'(x)>0；当xe所以g(x)在(-则当xe(-1,d)时，g'(x)>0；当xe所以g(x)在(-1,a)单调递增，在a，牙时，g'(x)<0.k2丿a,£单调递减，故g(x)在-1£存在唯一极大值k2丿2丿(2)f(x)的定义域为(—1,+a).(i)当xe(-1,0］时，由⑴知,f'(x)在(-1,0)单调递增，而f'(0)=0，所以当xe(-1,0)时，f'(x)<0，故f(x)在(-1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x=0是f(x)在(-1,0］的唯一零点.-1单调递减，而f'(0)=02丿，(-1(-f'-<0，所以存在0ea，彳k2丿-1单调递减，而f'(0)=02丿，(-1(-f'-<0，所以存在0ea，彳k2丿k2，使得f'(0)=0，且当xe(0,0)时，f'(x)>0；当xefp,彳丿时，f'(x)<0•故f(x)在(0,0)单调递增,k2丿(-1(-1二1-lnk2丿k2丿又f(0)=0，f>又f(0)=0，f>0，-I所以当xe0二时，f(x)>0.从而，f(x)在0,没有零点.(iii)当xe((iii)当xe(k2,:时，f'(x)<0，所以f(x)在［2,k2丿单调递减•而ff-K0，f(兀)<o,所以f(x)在［韦,-k2有唯一零点.(iv)当xe(兀,+8)时，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(兀,+a)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21•解：X的所有可能取值为一1，0，1.P(X=-1)二(1-a)0，P(X二0)二a0+(1-a)(1-0)，P(X二1)二a(1-0)，所以X的分布列为(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c—0」因此p=0.4p+0.5p+0.1p，故0.1(pii-1ii+1ip-p—4(p-p).i+1iii-1i+1-p)—0.4(p-p)，即iii-1又因为p-p=p丰0,101(ii)由(》可得所以｛p+i-p}(,=°'12...'7)为公比为4,首项为Pi的等比数列.P=p-p+p-p++p-p+p88776100—(p-p)+(p877-P6)+・.・+(p-p)=4~1p1031由于p8=l，故匕-占，所以p4—(pp4—(p-p)+(p-p)+(p-p)+(p-p)—4332211044-13p11257p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙41药治愈率为0・8时，认为甲药更有效的概