2019-2020学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷

俯视图俯视图第1页(共17页)2019-2020学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(4分)已知集合A{x|2x1},B{x|x0}，则集合AUB()A．(2,1)B．(0,1)C．(0,)D．(2,)(4分)在复平面内，复数i(i1)对应的点位于()A•第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(4分)已知命题p:xR，lnx0，那么命题p为()lnx0D.xR，lnxlnx0D.xR，lnx04.(4分)设a,b，cR，且ab，则()A.acbcB.11abC.a2b2A.xRlnx0B.xR，lnx0C.xR5.(4分)已知函数f(x)的图象与函数yD.a3b32x的图象关于x轴对称，则f(x)A.2xB.2xC.logxD.logx22(4分)已知向量着(1,3),b(1,0),c(T3,k).若舌2匕与舌共线，则实数k()TOC\o"1-5"\h\zA.0B.1C.-3D.3(4分)已知双曲线聖y21的离心率为.3,则m()mA.1B.1C.辺D.2422(4分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()侧视图侧视图A.-B.4C.2込D.433rrrrrrrr（4分）设m,n为非零向量，则“m二九n,九—1”是“丨m+n1=1mI—In丨”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（4分）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A，B，C，D四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现,需要将发送给A，B，C，D四个派送点的商品数调整为40，45,54,61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（）A•最少需要16次调动，有2种可行方案B•最少需要15次调动，有1种可行方案C•最少需要16次调动，有1种可行方案D•最少需要15次调动，有2种可行方案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（5分）在（x—2）5的展开式中，x3的系数为—.（用数字作答）TOC\o"1-5"\h\z（5分）各项均为正数的等比数列｛a｝中，a=1，a+a=6，则弟=.n123S3（5分）抛物线y2=2px上一点M到焦点F（1,0）的距离等于4,则p=；点M的坐标为—.（5分）在AABC中，a=\;2b，sinC=”3sinB，则cosB=.15．（5分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加．现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位．在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两第2页（共17页）第第20页(共17页)若函数f(x)的最小正周期为2,求W的值;若函数f(x)在区间［0,|］上的最大值为3，求o的取值范围.【解答】解：(I)因为函数f(x)=\；3sincos*+sin2号,oxoxoxcos+sm2-222因为f(x)的最小正周期为2，即T=竺=2,o(II)因为0剟x巴,o>0,2兀兀^0兀兀所以-—剟ox--—,6626若f(x)在区间［0,-］上取到最大值3，只需竺-巴..2,22262所以o...3(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,CD丄AD,AD=CD=2BC=2，平面PAD丄平面ABCD,PA丄PD,PA=PD.求证：CD丄PA；求二面角C-PA-D的余弦值；在棱PC上是否存在点M，使得BM丄平面PCD?若存在，求的值？若不存在,PC说明理由.说明理由.【解答】解：(I)在四棱锥P-ABCD中，因为平面PAD丄平面ABCD，平面PADn平面ABCD=AD,第12页(共17页)

又因为CD丄AD,CD在平面ABCD内，所以CD丄平面PAD,因为PA在平面PAD内，所以CD丄PA；(II)取AD中点O，连接OP,OB,因为PA=AD,所以PO丄AD，因为平面PAD丄平面ABCD，平面PADn平面ABCD=AD,因为PO在平面PAD内，所以PO丄平面ABCD，所以PO丄OA，PO丄OB，因为CD丄AD，BC//AD，AD=2BC，所以BC//OD，BC=OD，所以四边形OBCD是平行四边形.所以OB丄AD，如图建立空间直角坐标系O-xyz，则0（0，0，0），A（l,0，0），B（0，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），uuuruuurruuurngAC二一2x+2y=0rruuurngAC二一2x+2y=0ruuurngAP=-x+z=0r设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),r则可取n=（1,1,1）,uuur因为平面PAD的法向量OB=(0,2,0),

iniiiniiobiruuur所以cos<n,OB>—由图可知，二面角C-PA-D为锐二面角，所以二面角C-PA-D的余弦值为込;3(III)因为AP丄PD,AP丄CD,CDIPD—D,所以PA丄平面PCD,因为PA在平面PAC内，所以平面PAC丄平面PCD，因为平面PACc平面PCD—PC，若在棱PC上存在点M，使得BM丄平面PCD，则BM在平面PAC内，因为B不在平面PAC内，所以BM不在平面PAC，所以在棱PC上不存在点M，使得BM丄平面PCD.(13分)已知椭圆C:兰+兰—1(a>b>0)的离心率为点M(0,<2)在椭圆C上,a2b22焦点为F,F，圆O的直径为FF.1212求椭圆C及圆O的标准方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于A,B两点.记在椭圆C上，在椭圆C上，/.b二人/.b二人'2,^又a2—b2+c2,c2—6所以椭圆C的方程为兰+兰—1•82因为焦点在x轴上，所以椭圆C的焦点为F(-总0),F6-'6,0).12所以直径为FF的圆O的方程为X2+y2—6.12(II)由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P,设直线l的斜截式方程为y—kx+m(k<0,m>0).因为直线l与圆O相切，所以点O到直线l的距离为d—型=—柘.1+k2艮卩m2—6k2+6，因为直线l与椭圆C相交A，B两点，{y—kx+，整理得(1+4k2)X2+8kmx+4m2—8—0，x2+4y2—8y2)，则设A(x，y)，By2)，则112x1+x1+x21+4k24m2—XX—121+4k2因为△—(8km)2—4x(1+4k2)(4m2—8)—16x(8k2—m2+2).又m2—6k2+6，所以△—32(k2—2)>0.所以k2>2．又因k<0，所以k<-込.QIAB1八1+k2|x-xI—4云1+k2,121+4k2

•••S=-\AB\gd=AOAB2：(1+k2)(k2—2)(1+4k2)2设1+4k2—t，则t>9，则SAOAB—SAOAB—4<3xgg八3X〕—27—6+1.12t16t2令u—1,0<u<1,t9贝yS—扼X\—Zlu2—6u+1.AOAB14设h(u)--27u2-6u+1--27(u+9)2+3'Qh(u)在(0,1)上单调递减,所以h(u)<1.所以s<-」3.AOAB22．(13分)已知函数f(x)—x—x2+3lnx．求曲线y—f(x)的斜率为2的切线方程;证明：f(x)„2x—2；确定实数k的取值范围，使得存在x°>1，当xe(1%)时，恒有f(x)..k(x—1).【解答】解：(I)函数f(x)的定义域为(0,+Q，3Q广(x)—1—2x+，x33令广(x)—1—2x+—2可得x—1或x--—(舍)，x2又f(1)—0，所以曲线y—f(x)的斜率为2的切线方程为y—2x—2，(II)设g(x)—f(x)—(2x—2)—3lnx—x+2—x2，则g，(x)—3—2x—1——(2x+3)(x—1)，xx当0<x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以g(x)„g(1)=0•所以f(x)„2(x-1)•(III)由(II)可知，当k=2时，f(x)„2(x-1),所以不存在x>1，当xe(1疥)时，恒有f(x)..2(x-1),00所以k=2不符合题意，当k>2时，对于x>1，f(x)„2(x—1)<k(x—1)，所以不存在/