(完整版)导数讲义(学生新版)(可编辑修改word版)

8/8导数一、导数的概念函数y二f(x),如果自变量x在x0处有增量Ax,那么函数y相应地有增量y=f(xTOC\o"1-5"\h\z+Ax)—f(x),比值心叫做函数y二f(x)在x到x+Ax之间的平均变化率，00Ax00即Ay=f(%+心)—f(%)。如果当AxT0时，今有极限，我们就说函数y=f(x)AxAxAx在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f'(X)或丫'I000°f'(x0)=limAy=limf(x0+Ax)-f(x0)ox=x0Axt0AxAxt0Ax例、若limf(x0+Ax)-f(x0)=k，则hmf(%+23-f(%)等于()AxT0Ax1AxT0AxA.2kB.kC.kD.以上都不是2变式训练：设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值.limf(xo-Ax)-f(xo)；Axt0Ax'limf(x0+h)-f(x0-h).若0f(x)=2，则limf(x0-k)-f(x0)=?二导数的几何意叉2k函数y二f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x，f(x)000处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x，f(x)处的切线的00斜率是f'(x0)o切线方程为y－y切线方程为y－y=f/(x)(x－x)o000三、导数的运算1．1．基本函的导数公式:①C=0;(C为常数)②(xn)=nxn-1；③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=—sinx;⑤(ex)'=ex;^⑥(ax)=axIna;⑦(inx)'=1;x⑧(logax)'=_loge-xa习题：求下列函数的导数：(8分钟独立完成)(1)f(x)=(2)f(x)=x4(3)f(x)=Jx⑷f(x)=sinx(5)f(1)f(x)=(2)f(x)=x4(3)f(x)=Jx⑷f(x)=sinx(5)f(x)=—cosx(9)f(x)=Inx(6)f(x)=3x(10)f(x)=1x(7)f(x)=ex⑻f(x)=log2x1y=_+_cosx4(11)(12)y=—(1+x2、导数的四则运算法则：[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)(13)y=lgx—ex(14)y=x3cosx[f(x)—g(x)]'=f'(x)—g'(x)(x)处可导，则复合函数=[f(x)g(x)]'=f'(x)处可导，则复合函数=1=1=f'(x)g(x)—f(x)g'(x)(1)y=x2+2x；(2)y=、.x—lnx；(3)y=■、；xsinx；(4)y=xlnx。(5)sinxy=x(6)x2y=。lnx如果函数(x)在点X处可导,函数f(u)在点u=g2(x)练习：求下列函数的导数:3、复合函数求导：f(u=f［(x)］在点x处也可导，并且例、求下列函数的导数例、求下列函数的导数(1)y=1-2xcosx练习：求下列函数的导数(2)y=ln(X+寸1+x2)⑴y⑴y=1(3x-1)2(2)y二sin(3X+_)4常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y=e_x上点P处的切线平行于直线2x+y+i=o,则点P的坐标是例2、曲线y=xex—i在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1例3、［2014•新课标全国卷II］设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=()A.0B.1C.2D.3类型二、求切线方程已知切点坐标，求切线方程例1.曲线y=X3-3x2+1在点(,-1)处的切线方程已知切点斜率，求切线方程例2与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=X2的切线方程已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)且与曲线y=丄相切的直线方程.x)已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4求过曲线y=X3-2X上的点(1-1)的切线方程.变式训练：1、［2014•广东卷］曲线y=—5ex+3在点(0,2、［2014•江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+xa,b为常数)过点P(2,—5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平彳亍，则a+b的值是.

3、与直线x-y+1=0平行，且与曲线y^-2-1相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.变式1.函数y=xlnx的单调递减区间是()A.(e-1,+s)B.(-8,e-1)C.(0,e-1)D.(e,+s)2(05年广东高考题)函数f(x)=X3-3x2+1是减函数的区间为()(A)(2,+8)(B)(-8,2)(C)(-8,0)(D)(0,2)考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数f(x)=Lx2-mlnx+(m-1)x,meR.当m<0时，讨论函数2f(x)的单调性.例2、设函数f(x)=2x3—3(a-1)x2+1,其中a>1.求f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>—1,求f(x)的单调区间。变式训练：x-11、[2014・ft东卷]设函数f(x)=alnx+‘•，其中a为常数.x＋1⑴若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.2、【2014安徽卷】设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0.讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范一考点三：利用单调区间求未知参数取值范一PM

-匚■例1、[2014新课标全国卷n]若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+^)单调递增，则k的取值范围是()A.(-g,—2]B.(-g,—1]C.[2,+x)D.[1,+x)例2.[2014全国新课标卷I]已知函数f(x)=a>3-3X2+1,若f(x)存在唯一的零点X，且x>0,则a的取值范围是()00A.(2,+^)B.(1,+^)C.(—8,—2)D.(—8,—1)例3、[2014辽宁卷]当xw[—2,l]时，不等式ax3—X2+4X+3三0恒成立，则实数a的取值范围是(厂)]A.[一5，—3]B.一6，—98C.[—6,—2]D.[—4,—3]变式训练：(ft东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题(数学文)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4)曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(I)求实数a,b的值；(II)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:⑴确定函数的定义域，求导数f'(x)-求方程f'(x)=0的根.用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成.表格检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.注:可导函数y=f(x)在x=xo处取得极值是广(xo)=0的充分不必要条件.例h已知函数f(x)=2ax-+4Inx在x=[与工=1处都取得极值.x3(1)求a、b的值；变式训练：设x=1,x=2是f(x)=alnx+bx+x函数的两个极值点.试确定常数a和b的值；试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例2、(06安徽卷)设函数f(x)=x3+bx2+cx(xeR)，已矢口g(x)=f(x)-f，(x)是奇函数。(I)求b、c的值。

求g(x)的单调区间与极值。例3、已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图所示.求c,d的值；若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f(x)的解析式；在(II)的条件下，函数y=f(x)与y=1广(x)+5x+m的图象有二个不同3的交点，求m的取值范围.例4、［2014•江西卷］已知函数f(x)=(x2+bx+b)\i—2x(bwR)()当b=4时，求f(X)的极值；若f(x)在区间。，技上单调递增，求b的取值范围.变式训练：1、已知函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+3x+2的图象相切，记F(x)=f(x)g(x).求实数b的值及函数F(x)的极值；若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.2、(2011全国n文20)已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(aeR)(I)证明：曲线y=f(x)4x=0的切线过点(2,2)求。的取值范围.(II)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0e(1,3)求。的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在［a，b］上最值的步骤：(1)求出f(x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值f(a),f(b).(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例】、(2010年■庆卷)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a，b$R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间［1,2］上的最大值与最小值.例2、设函数f(x)=ax3+bx+c(aH0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x—6y—7=0垂直，导函数f'(x)的最小值为一12.⑴求a，b，c的值；⑵求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在［—1,3］上的最大值和最小值.例3、已知函数f(x)=x2+aInx,g(x)=(a+1)x,aH-1.2(I)若函数f(x),g(x)在区间［1,3］上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II)若ae(1,e](e=2.71828)，设F(x)=f(x)-g(x)(II)若ae(1,12时，不等式IF(x)-F(x)1<1成立.例4、[2014安徽卷]设函数f(x)=i+(i+a)x—X2—X3，其中a>0.讨论f(x)在其定义域上的单调性；当xe[o,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、m>f(x)在xeD上恒成立om>[f(x)]max思路2、m<f(x)在xeD上恒成立om<[f(x)]min例1.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值•求a、b的值；若对于任意的xe[0,3],都有f(x)<c2成立，求C的取值范围.例2、已知函数fO="x3—3x2+(a+1)x+1，其中a为实数。32已知不等式广(x)>x2-x-a+1对任意ae(0,+小都成立，求实数x的取值范围例3、设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b,(xeR)，其中a,beR。若对于任意的ae[-2,2],不等式f(x)<1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。例4、若实数a>0且a丰2，函数f(x)=1ax3—1(a+2)x2+2x+1。32证明函数f(x)在x=1处取极值，并求出函数f(x)的单调区间。若在区间(0,+^)上至少存在一点x0，使得f(x0)<1，求实数a的取值范围。变式训练：1、(2010辽宁文)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.讨论函数f(x)的单调性；设a<-2，证明：对任意x,xe(0,+s)，If(x)-f(x)>4Ix-xI.1212122、已知函数f(x)=x3+3|x—a|(a>0).若广&)在[—1,1]上的最小值记为g(a).求g(a)；证明：当xe[—1,1]时，恒有f(x)Wg(a)+4.3、设函数f(x)=(x-a)2x,aeR.(I)若x=1为函数y=f(x)的极值点，求实数a；(II)求实数a的取值范围，使得对任意的/r/