圆的切线的证明与计算中考复习课件

中考数学专题

复习圆的切线的证明与计算中考数学专题复习圆的切线的证明与计算2一、本课主要知识梳理1.定义：与圆只有一个________的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过______的半径.3.切线的判定定理：经过半径的外端并且______于这条半径的直线是圆的切线.4.证明一条直线是圆的切线方法：主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于______，二是利用切线的__________，即常作的辅助线是：已知切点，________证______或未知切点，作______证______.公共点切点垂直半径判定定理连半径垂直垂直半径2一、本课主要知识梳理1.定义：与圆只有一个_______3例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆

围成的圆环的面积．(结果保留π)二、例题讲解3例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且4解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E.∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC.∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA.∴BC所在直线是小圆的切线二、例题讲解例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与

大圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；4解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如下：过圆心O作OE5解：AC＋AD＝BC.理由如下：连接OD.∵AC

切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，

∴CE＝CA.∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，

OA＝OE，OD＝OB，

∠OAD＝∠OEB＝90°，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)．

∴EB＝AD.∵BC＝CE＋EB

∴BC＝AC＋AD例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与

大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，

并说明理由；5解：AC＋AD＝BC.理由如下：连接OD.∵AC例1、如图6解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD，∴AD＝BC－AC＝4.∵圆环的面积S＝πOD2－πOA2＝π(OD2－OA2)，∵OD2－OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π(cm2)例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面

积。(结果保留π)

6解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，例1、如图，7例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，

直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的MB，

连DM并延长交x轴于点C.

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与

小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)回顾与思考7例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两8小试牛刀1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4，

求OD的长。8小试牛刀1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，91、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；证明：过点O作OE⊥PC于点E，

∵PA⊥AB，CD⊥PO,∠AOP=∠COD,

∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO,

∴∠OPA=∠DPC,

∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA,

∴PC是⊙O的切线;小试牛刀91、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥101、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延

长线于点D，且∠DPC=∠DCO。（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4,求OD的长。解：∵PA⊥AB，OA是⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线，

∵PE是⊙O的切线，

∴PE=PA=6，在Rt△PCA中，

tan∠PCA=3/4，PA=6，

∴AC=8，∴PC=10，∴CE=4，

在Rt△OCE中，tan∠ECO=3/4，CE=4，

∴OE=3，OC=5，在Rt△POA中，OP==3

∵△ODC∽△OAP,即

，∴OD=小试牛刀101、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA111、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4，求OD的长。回顾与思考111、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，P12二、例题讲解例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝

，

求⊙O的半径．12二、例题讲解例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙13例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆

围成的圆环的面积．(结果保留π)比一比13例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，14解：(1)证明：如答图，连结OD.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，

∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∵D在圆上，∴DE与⊙O相切；例2、AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.

(1)求证：DE与⊙O相切；14解：(1)证明：如答图，连结OD.例2、AB是⊙O的直径15例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB是等腰三角形，∴HD＝

＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5，答：⊙O的半径是5.15例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝16回顾与思考例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；16回顾与思考例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O17课堂小结：1、证明相切的基本思路：已知半径-------直接证直线与半径垂直；常用方法：证平行、证全等、计算角度、运用角平分线的性质……2、根据切线的性质，构造相似三角形，利

用相似三角形对应边成比例的性质，建

立方程求解，（如练习1，练习2），运

用勾股定理，三角函数，射影定理等……17课堂小结：常用方法：18作业布置：测评练习18作业布置：测评练习同学们，再见！同学们，再见！中考数学专题

复习圆的切线的证明与计算中考数学专题复习圆的切线的证明与计算21一、本课主要知识梳理1.定义：与圆只有一个________的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过______的半径.3.切线的判定定理：经过半径的外端并且______于这条半径的直线是圆的切线.4.证明一条直线是圆的切线方法：主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于______，二是利用切线的__________，即常作的辅助线是：已知切点，________证______或未知切点，作______证______.公共点切点垂直半径判定定理连半径垂直垂直半径2一、本课主要知识梳理1.定义：与圆只有一个_______22例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆

围成的圆环的面积．(结果保留π)二、例题讲解3例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且23解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E.∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC.∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA.∴BC所在直线是小圆的切线二、例题讲解例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与

大圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；4解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如下：过圆心O作OE24解：AC＋AD＝BC.理由如下：连接OD.∵AC

切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，

∴CE＝CA.∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，

OA＝OE，OD＝OB，

∠OAD＝∠OEB＝90°，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)．

∴EB＝AD.∵BC＝CE＋EB

∴BC＝AC＋AD例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与

大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，

并说明理由；5解：AC＋AD＝BC.理由如下：连接OD.∵AC例1、如图25解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD，∴AD＝BC－AC＝4.∵圆环的面积S＝πOD2－πOA2＝π(OD2－OA2)，∵OD2－OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π(cm2)例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面

积。(结果保留π)

6解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，例1、如图，26例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，

直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的MB，

连DM并延长交x轴于点C.

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与

小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)回顾与思考7例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两27小试牛刀1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4，

求OD的长。8小试牛刀1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，281、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；证明：过点O作OE⊥PC于点E，

∵PA⊥AB，CD⊥PO,∠AOP=∠COD,

∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO,

∴∠OPA=∠DPC,

∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA,

∴PC是⊙O的切线;小试牛刀91、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥291、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延

长线于点D，且∠DPC=∠DCO。（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4,求OD的长。解：∵PA⊥AB，OA是⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线，

∵PE是⊙O的切线，

∴PE=PA=6，在Rt△PCA中，

tan∠PCA=3/4，PA=6，

∴AC=8，∴PC=10，∴CE=4，

在Rt△OCE中，tan∠ECO=3/4，CE=4，

∴OE=3，OC=5，在Rt△POA中，OP==3

∵△ODC∽△OAP,即

，∴OD=小试牛刀101、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA301、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB，

延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D，

且∠DPC=∠DCO。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4，求OD的长。回顾与思考111、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，P31二、例题讲解例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，

点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝

，

求⊙O的半径．12二、例题讲解例2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙32例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且

与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大

圆相交于点D，且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆

围成的圆环的面积．(结果保留π)比一比13例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，33解：(1)证明：如答图，连结OD.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，

∴∠