北师大版 九年级上册第四章《45相似三角形判定定理证明》课件

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似4.5相似三角形定理证明北师大版数学九年级上册第四章图形的相似1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．学习目标1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．回顾旧知我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成知识模块一相似三角形判定定理的证明(一)自主探究如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，

，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝_______，作DE∥______，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝______，证△A1B1C1______△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.A1B1BCA1C1≌探究新知知识模块一相似三角形判定定理的证明(一)自主探究如图，已知定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC∽△A'B'C'．A′B′C′ABC(二)合作探究定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△AB证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',AE=A'C'，连结DE。ABCA'

C'

B'

DE∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔADE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA'B'C'∽ΔABC证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',A如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ACEDB定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC∴C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

∴C′B′A′证明:过点D作DE∥BC交AC于点知识模块二相似三角形判定定理的应用1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(一)自主探究③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(

)A．1组B．2组C．3组

D．4组C知识模块二相似三角形判定定理的应用1．在△ABC与△A′B2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F例已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或

以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．例已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，分析：由已证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴△DBE∽△ABC.∴∠DBE＝∠ABC且证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，在△DBE练习1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.答：相似．证明：△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.练习1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的平分线角AC于E点，且AE=AB.求证AE2＝AD·AC.证明：∵BE为∠DBC平分线，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∵AB＝AE，即AE2＝AD·AC.∴△ABD∽△ACB.2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）课堂练习A．一定相似B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断A1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=

BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对C2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，3．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：

，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件！）∠C=∠23．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，A4．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是

．①②4．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.∴AB2＝BD·BC.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，而∠ABD＝∠CBA.7.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边行动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度4cm/s，如果P,Q两动点同时运动，那么何时△PBQ与△ABC相似？7.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，①△PBQ∽△ABC，解得t＝2s.②当△PBQ∽△CBA，解得t＝0.8s.答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，解得t＝2s.②当△PB相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.总结新知相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似再见再见北师大版数学九年级上册第四章图形的相似4.5相似三角形定理证明北师大版数学九年级上册第四章图形的相似1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．学习目标1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．回顾旧知我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成知识模块一相似三角形判定定理的证明(一)自主探究如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，

，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝_______，作DE∥______，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝______，证△A1B1C1______△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.A1B1BCA1C1≌探究新知知识模块一相似三角形判定定理的证明(一)自主探究如图，已知定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC∽△A'B'C'．A′B′C′ABC(二)合作探究定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△AB证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',AE=A'C'，连结DE。ABCA'

C'

B'

DE∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔADE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA'B'C'∽ΔABC证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',A如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ACEDB定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC∴C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

∴C′B′A′证明:过点D作DE∥BC交AC于点知识模块二相似三角形判定定理的应用1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(一)自主探究③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(

)A．1组B．2组C．3组

D．4组C知识模块二相似三角形判定定理的应用1．在△ABC与△A′B2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F例已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或

以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．例已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，分析：由已证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴△DBE∽△ABC.∴∠DBE＝∠ABC且证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，在△DBE练习1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.答：相似．证明：△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.练习1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的平分线角AC于E点，且AE=AB.求证AE2＝AD·AC.证明：∵BE为∠DBC平分线，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∵AB＝AE，即AE2＝AD·AC.∴△ABD∽△ACB.2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）课堂练习A．一定相似B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断A1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=

BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对C2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，3．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：

，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件！）∠C=∠23．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，A4．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：