等比数列前n项和课件

开始等比数列前n项和开始等比数列前n项和学点一学点二学点一学点二1.等比数列的前n项和公式，当q≠1时，Sn=

或；当q=1时，Sn=

.2.等比数列的前n项和公式的推导方法：设Sn=a1+a2+…+an,则qSn=a1q+a2q+a3q+…+an-1q+anq=a2+a3+…+an+anq,

两式相减得(1-q)Sn=a1-anq,当q≠1时，

,这一方法通常称为

.乘公比错位相减法返回1.等比数列的前n项和公式，当q≠1时，Sn=返回返回（1）求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和；（2）在等比数列{an}中，已知a3=,S3=，求a1与q.

【解析】

（1）解法一：∵a1=1,q=2,∴a5=a·q4=1×24=16，a10=a1·q9=1×29=512.∴a5+a6+…+a10==1008.解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.∴a5+a6+…+a10=S10-S5+a5=

=1008.学点一等比数列的前n项和公式

【分析】利用前n项和公式.返回（1）求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和；【解解法三：由题意知a1=1,q=2,a5+a6+…+a10=S10-S4==1023-15=1008.（2）∵a3=,S3=,当q=1时，a1=a3=,S3=3a1=3×=,∴符合题意;当q≠1时，由通项公式及前n项和公式得返回解法三：由题意知a1=1,q=2,返回综上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.

【评析】在等比数列{an}中，若已知五个量a1,an,q,n,Sn中的三个量，则应用等比数列的通项公式和前n项和公式可以求出其他两个量.返回综上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3,S2成等差数列.（1）求｛an｝的公比q;（2）若a1-a3=3,求Sn.解返回等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3,S2成等差学点二用乘公比错位相减法求和求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和.

【分析】讨论a是否为1.当a=1时，数列为等差数列，当a≠1时，数列较复杂，利用乘公比错位相减法求Sn.

【解析当a=1时，数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),

则

当a≠1时，有

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②返回学点二用乘公比错位相减法求和求数列1,3a,5a2,7a3

①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,

(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)

=1-(2n-1)an+2·

=1-(2n-1)an+

又∵1-a≠0,

∴

.返回①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2a

【评析】（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用本题解法——乘公比错位相减法.要善于识别题目类型，特别是当等比数列公比为负数的情形更值得注意.

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

（3）应用等比数列求和公式时，必须注意公比q≠1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.返回【评析】（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.（1）求{an},{bn}的通项公式；（2）求数列

的前n项和Sn.解:返回设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a返回返回返回返回

等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？

或这两种形式的公式本质是相同的，只不过第一种形式中所含的四个量为Sn,n,a1,q，第二种形式中所含的五个量为Sn,n,q,a1,an.

无论等比数列的前n项和公式以哪种表现形式出现，在Sn,n,a1,an,q这五个量中，只要给出其中的三个量便可以求出另外的两个量.

无论这两种表现形式中的哪一个，当q=1时，等比数列的前n项和都是一种形式Sn=na1.因为当q=1时，这个等比数列是各项均为a1的常数列.返回等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？返回

在弄不清一个等比数列的公比q是不是等于1时，要分两种情况分别讨论，这种情况经常发生在公比q用字母表示时.

q=1时，不能用公式Sn=

及Sn=

求和;q≠1时,也不能用公式Sn=na1求和.返回在弄不清一个等比数列的公比q是不是等于1时，要分两种1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：

a1,an,n,q,Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.2.前n项和公式的应用中，要注意前n项和公式需分类讨论，即当q≠1和q=1时不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.返回1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：返回

必须准确的理解和掌握等比数列的概念，掌握通项公式，通项公式an=a1qn-1的四个基本量a1,n,q,an以及各个量的作用，在解决实际问题时，能够熟练地找到基本量，用它们表示出an，或者用an含基本量a1,q构造方程、方程组，最后求得a1及q，也正是高考中要考查的函数思想、方程思想和公式的灵活运用.

必须准确的理解和掌握等比数列的概念，掌握通项公式，通项公返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同学们学习上天天有进步！祝同学们学习上天天有进步！开始等比数列前n项和开始等比数列前n项和学点一学点二学点一学点二1.等比数列的前n项和公式，当q≠1时，Sn=

或；当q=1时，Sn=

.2.等比数列的前n项和公式的推导方法：设Sn=a1+a2+…+an,则qSn=a1q+a2q+a3q+…+an-1q+anq=a2+a3+…+an+anq,

两式相减得(1-q)Sn=a1-anq,当q≠1时，

,这一方法通常称为

.乘公比错位相减法返回1.等比数列的前n项和公式，当q≠1时，Sn=返回返回（1）求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和；（2）在等比数列{an}中，已知a3=,S3=，求a1与q.

【解析】

（1）解法一：∵a1=1,q=2,∴a5=a·q4=1×24=16，a10=a1·q9=1×29=512.∴a5+a6+…+a10==1008.解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.∴a5+a6+…+a10=S10-S5+a5=

=1008.学点一等比数列的前n项和公式

【分析】利用前n项和公式.返回（1）求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和；【解解法三：由题意知a1=1,q=2,a5+a6+…+a10=S10-S4==1023-15=1008.（2）∵a3=,S3=,当q=1时，a1=a3=,S3=3a1=3×=,∴符合题意;当q≠1时，由通项公式及前n项和公式得返回解法三：由题意知a1=1,q=2,返回综上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.

【评析】在等比数列{an}中，若已知五个量a1,an,q,n,Sn中的三个量，则应用等比数列的通项公式和前n项和公式可以求出其他两个量.返回综上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3,S2成等差数列.（1）求｛an｝的公比q;（2）若a1-a3=3,求Sn.解返回等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3,S2成等差学点二用乘公比错位相减法求和求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和.

【分析】讨论a是否为1.当a=1时，数列为等差数列，当a≠1时，数列较复杂，利用乘公比错位相减法求Sn.

【解析当a=1时，数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),

则

当a≠1时，有

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②返回学点二用乘公比错位相减法求和求数列1,3a,5a2,7a3

①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,

(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)

=1-(2n-1)an+2·

=1-(2n-1)an+

又∵1-a≠0,

∴

.返回①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2a

【评析】（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用本题解法——乘公比错位相减法.要善于识别题目类型，特别是当等比数列公比为负数的情形更值得注意.

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

（3）应用等比数列求和公式时，必须注意公比q≠1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.返回【评析】（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.（1）求{an},{bn}的通项公式；（2）求数列

的前n项和Sn.解:返回设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a返回返回返回返回

等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？

或这两种形式的公式本质是相同的，只不过第一种形式中所含的四个量为Sn,n,a1,q，第二种形式中所含的五个量为Sn,n,q,a1,an.

无论等比数列的前n项和公式以哪种表现形式出现，在Sn,n,a1,an,q这五个量中，只要给出其中的三个量便可以求出另外的两个量.

无论这两种表现形式中的哪一个，当q=1时，等比数列的前n项和都是一种形式Sn=na1.因为当q=1时，这个等比数列是各项均为a1的常数列.返回等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？返回

在弄不清一个等比数列的公比q是不是等于1时，要分两种情况分别讨论，这种情况经常发生在公比q用字母表示时.

q=1时，