第36讲 动态专题(旋转、翻折问题) 2020届广东九年级数学中考总复习课件 共PP

第二部分专题提升第36讲动态专题(2)(旋转、翻折问题)第二部分专题提升第36讲动态专题(2)(旋转、翻近五年广东中考情况近五年广东中考情况知识梳理轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观几年的数学试卷，虽然广东中考考翻折和旋转综合题比较少，但是我们还是要重视.此类问题涉及几何、函数、方程、相似等多方面的知识点，其解题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式或具体的值.知识梳理轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观考点突破考点一：旋转问题1.（2018天津）如图2-36-1，在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0）,点B（0,3）.以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O，B，C的对应点分别为D，E，F.（1）如图2-36-1①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；考点突破考点一：旋转问题（2）如图2-36-1②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H，连接AB.①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标.（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积,求S的取值范围.（直接写出结果即可）（2）如图2-36-1②，当点D落在线段BE上时，AD与BC解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3.∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5.在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1.∴D（1，3）.（2）①由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°.∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°.由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）.解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m.在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2.②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.（3）如答图2-36-1，a.当点D在线段BK上时，△KDE的面积最小，最小值b.当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大值综上所述，S的取值范围为（3）如答图2-36-1，a.当点D在线段BK上时，△KDE变式诊断2.（2019内江）两条抛物线C1：y1＝3x2-6x-1与C2：y2＝x2-mx+n的顶点相同.（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（-1,-4),问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式诊断2.（2019内江）两条抛物线C1：y1＝3x2-6解：（1）y1＝3x2-6x-1的顶点为（1，-4），∵抛物线C1：y1＝3x2-6x-1与C2：y2＝x2-mx+n的顶点相同,∴m＝2，n＝-3.∴抛物线C2的解析式为y2＝x2-2x-3.（2）如答图2-36-2，设A（a，a2-2a-3）.∵点A在第四象限，∴0＜a＜3.∴AP＝-a2+2a+3，PO＝a.∴AP+OP＝-a2+3a+3＝∵0＜a＜3，∴AP+OP的最大值为解：（1）y1＝3x2-6x-1的顶点为（1，-4），（2）（3）假设C2的对称轴l上存在点Q，如答图2-36-3，过点B′作B′D⊥l于点D.∴∠B′DQ＝90°.①当点Q在顶点C的下方时，∵B（-1，-4）,C（1，-4）,抛物线的对称轴为x＝1,∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°.（3）假设C2的对称轴l上存在点Q，①当点Q在顶点C的下方时∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC.设点Q（1，b），∴B′D＝CQ＝-4-b，QD＝BC＝2，可知B′（-3-b，2+b），又点B′在抛物线C2上，∴（-3-b）2-2（-3-b）-3＝2+b.∴b2+7b+10＝0.∴b＝-2或b＝-5.∵b＜-4，∴Q（1，-5）.②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，-2）.综上所述，点Q的坐标为（1，-5）或（1，-2）.∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC考点突破考点二：翻折问题3.已知：如图2-36-2①,在△ABC中，AB=6，AC=33,BC=3，过边AC上的动点E（点E不与点A，C重合）作EF⊥AB于点F，将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A′EF，设CE=x，折叠后的△A′EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S.（1）如图2-36-2②,当点A′与顶点B重合时,求AE的长;（2）如图2-36-2③，当点A′落在△ABC的外部时，A′E与BC相交于点D，求证：△A′BD是等腰三角形；考点突破考点二：翻折问题（3）试用含x的式子表示S，并求出S的最大值.（3）试用含x的式子表示S，并求出S的最大值.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2=36，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.当点A′与顶点B重合时，AF=FB=3，（2）由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，∴∠A′=∠A′DB=30°.∴BA′=BD.∴△BDA′是等腰三角形.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2（3）①如图2-36-2③，当0＜x＜时，重叠部分是四边形EFBD，S=S△EFA′-S△BDA′（3）①如图2-36-2③，当0＜x＜时，重叠部分是四②如图2-36-2①，≤x＜时，重叠部分是△EFA′，②如图2-36-2①，≤x＜时，重叠部分是△EF4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长.小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长.4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-3，在△ABC中，∠B（1）证明：由题意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC.∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.∴四边形AEGF是矩形.又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF.∴矩形AEGF是正方形.（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝6，DC＝4，∴BE＝6，CF＝4.∴BG＝x-6,CG＝x-4.在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴（x-6）2+（x-4）2＝102.化简，得x2-10x-24＝0.解得x1＝12，x2＝-2（舍去）.∴AD＝x＝12.（1）证明：由题意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF分层训练A组5.（2019桂林）如图2-36-4，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）和B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小.若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.分层训练A组解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（1,0),∴交点式为y＝-（x+2）（x-1）＝-（x2+x-2）.∴抛物线的表达式为y＝-x2-x+2.（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小.如答图2-36-4，延长CA到C′，使AC′＝AC，连接BC′,BC′与AD交点即为满足条件的点H.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（1,0),∵x＝0时，y＝-x2-x+2＝2，∴C（0，2）.∴OA＝OC＝2.∴∠CAO＝45°，直线AC的解析式为y＝x+2.∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD，∴∠CAD＝90°.∴∠OAD＝∠CAD-∠CAO＝45°.∴直线AD的解析式为y＝-x-2.∵AC′＝AC，AD⊥CC′，∴C′（-4，-2），AD垂直平分CC′.∴CH＝C′H.∴当C′，H，B在同一直线上时，△CHB的周长为CH+BH+BC＝C′H+BH+BC＝BC′+BC，此时周长最小.∵x＝0时，y＝-x2-x+2＝2，设直线BC′的解析式为y＝kx+a，∴直线BC′的解析式为.联立直线A′D与直线BC′的解析式，得设直线BC′的解析式为y＝kx+a，∴直线BC′的解析式为B组6.（2018烟台）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图2-36-5①，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下两种思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．B组【类比探究】如图2-36-5②,若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1，PC=，求∠APB的度数．【类比探究】解：【问题解决】思路一，如答图2-36-5，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3.在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°.根据勾股定理，得PP′=∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9.∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2.解：【问题解决】思路一，如答图2-36-5，将△BPC绕点B∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°.思路二同思路一的方法.【类比探究】如答图2-36-6，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=∠ABC=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.思路二同思路在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°.根据勾股定理，得PP′=BP=.∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11.∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′-∠BPP′=90°-45°=45°．在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°.C组7.如图2-36-6，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与射线DC相交于点Q.过点P作AD的平行线交于边AB于点M，交于CD于点N，设AP＝x.C组（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系？并证明；（2）是否存在点P（P不与A重合），使△PCQ为等腰三角形？若存在，请求出相应的x值；若不存在，请说明理由；（3）设以点B，C，P，Q为顶点的多边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式.（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系解：（1）PQ＝PB.证明：如答图2-36-7，过P点作MN∥BC分别交AB，DC于点M，N，在正方形ABCD中，AC为对角线，∴AM＝PM.又∵AB＝MN，∴MB＝PN.∵∠BPQ＝90°，∴∠BPM+∠NPQ＝90°.又∵∠MBP+∠BPM＝90°，∴∠MBP＝∠NPQ.解：（1）PQ＝PB.在Rt△MBP与Rt△NPQ中，∴Rt△MBP≌Rt△NPQ.∴PB＝PQ.（2）存在.如答图2-36-8，当点Q在DC的延长线上,且CP＝CQ时，在Rt△MBP与Rt△NPQ中，∴Rt△MBP≌Rt△NPQ（3）①如答图2-36-7，当点Q在线段CD上时，S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ.（3）①如答图2-36-7，当点Q在线段CD上时，②当点Q在DC的延长线上时，如答图2-36-8.S四边形PCQB＝S△PBC+S△BCQ②当点Q在DC的延长线上时，如答图2-36-8.第二部分专题提升第36讲动态专题(2)(旋转、翻折问题)第二部分专题提升第36讲动态专题(2)(旋转、翻近五年广东中考情况近五年广东中考情况知识梳理轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观几年的数学试卷，虽然广东中考考翻折和旋转综合题比较少，但是我们还是要重视.此类问题涉及几何、函数、方程、相似等多方面的知识点，其解题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式或具体的值.知识梳理轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观考点突破考点一：旋转问题1.（2018天津）如图2-36-1，在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0）,点B（0,3）.以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O，B，C的对应点分别为D，E，F.（1）如图2-36-1①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；考点突破考点一：旋转问题（2）如图2-36-1②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H，连接AB.①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标.（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积,求S的取值范围.（直接写出结果即可）（2）如图2-36-1②，当点D落在线段BE上时，AD与BC解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3.∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5.在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1.∴D（1，3）.（2）①由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°.∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°.由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）.解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m.在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2.②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.（3）如答图2-36-1，a.当点D在线段BK上时，△KDE的面积最小，最小值b.当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大值综上所述，S的取值范围为（3）如答图2-36-1，a.当点D在线段BK上时，△KDE变式诊断2.（2019内江）两条抛物线C1：y1＝3x2-6x-1与C2：y2＝x2-mx+n的顶点相同.（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（-1,-4),问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式诊断2.（2019内江）两条抛物线C1：y1＝3x2-6解：（1）y1＝3x2-6x-1的顶点为（1，-4），∵抛物线C1：y1＝3x2-6x-1与C2：y2＝x2-mx+n的顶点相同,∴m＝2，n＝-3.∴抛物线C2的解析式为y2＝x2-2x-3.（2）如答图2-36-2，设A（a，a2-2a-3）.∵点A在第四象限，∴0＜a＜3.∴AP＝-a2+2a+3，PO＝a.∴AP+OP＝-a2+3a+3＝∵0＜a＜3，∴AP+OP的最大值为解：（1）y1＝3x2-6x-1的顶点为（1，-4），（2）（3）假设C2的对称轴l上存在点Q，如答图2-36-3，过点B′作B′D⊥l于点D.∴∠B′DQ＝90°.①当点Q在顶点C的下方时，∵B（-1，-4）,C（1，-4）,抛物线的对称轴为x＝1,∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°.（3）假设C2的对称轴l上存在点Q，①当点Q在顶点C的下方时∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC.设点Q（1，b），∴B′D＝CQ＝-4-b，QD＝BC＝2，可知B′（-3-b，2+b），又点B′在抛物线C2上，∴（-3-b）2-2（-3-b）-3＝2+b.∴b2+7b+10＝0.∴b＝-2或b＝-5.∵b＜-4，∴Q（1，-5）.②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，-2）.综上所述，点Q的坐标为（1，-5）或（1，-2）.∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC考点突破考点二：翻折问题3.已知：如图2-36-2①,在△ABC中，AB=6，AC=33,BC=3，过边AC上的动点E（点E不与点A，C重合）作EF⊥AB于点F，将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A′EF，设CE=x，折叠后的△A′EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S.（1）如图2-36-2②,当点A′与顶点B重合时,求AE的长;（2）如图2-36-2③，当点A′落在△ABC的外部时，A′E与BC相交于点D，求证：△A′BD是等腰三角形；考点突破考点二：翻折问题（3）试用含x的式子表示S，并求出S的最大值.（3）试用含x的式子表示S，并求出S的最大值.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2=36，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.当点A′与顶点B重合时，AF=FB=3，（2）由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，∴∠A′=∠A′DB=30°.∴BA′=BD.∴△BDA′是等腰三角形.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2（3）①如图2-36-2③，当0＜x＜时，重叠部分是四边形EFBD，S=S△EFA′-S△BDA′（3）①如图2-36-2③，当0＜x＜时，重叠部分是四②如图2-36-2①，≤x＜时，重叠部分是△EFA′，②如图2-36-2①，≤x＜时，重叠部分是△EF4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长.小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长.4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-3，在△ABC中，∠B（1）证明：由题意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC.∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.∴四边形AEGF是矩形.又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF.∴矩形AEGF是正方形.（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝6，DC＝4，∴BE＝6，CF＝4.∴BG＝x-6,CG＝x-4.在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴（x-6）2+（x-4）2＝102.化简，得x2-10x-24＝0.解得x1＝12，x2＝-2（舍去）.∴AD＝x＝12.（1）证明：由题意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF分层训练A组5.（2019桂林）如图2-36-4，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）和B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小.若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.分层训练A组解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（1,0),∴交点式为y＝-（x+2）（x-1）＝-（x2+x-2）.∴抛物线的表达式为y＝-x2-x+2.（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小.如答图2-36-4，延长CA到C′，使AC′＝AC，连接BC′,BC′与AD交点即为满足条件的点H.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（1,0),∵x＝0时，y＝-x2-x+2＝2，∴C（0，2）.∴OA＝OC＝2.∴∠CAO＝45°，直线AC的解析式为y＝x+2.∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD，∴∠CAD＝90°.∴∠OAD＝∠CAD-∠CAO＝45°.∴直线AD的解析式为y＝-x-2.∵AC′＝AC，AD⊥CC′，∴C′（-4，-2），AD垂直平分CC′.∴CH＝C′H.∴当C′，H，B在同一直线上时，△CHB的周长为CH+BH+BC＝C′H+BH+BC＝BC′+BC，此时周长最小.∵x＝0时，y＝-x2-x+2＝2，设直线BC′的解析式为y＝kx+a，∴直线BC′的解析式为.联立直线A′D与直线BC′的解析式，得设直线BC′的解析式为y＝kx+a，∴直线BC′的解析式为B组6.（2018烟台）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图2-36-5①，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下两种思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．B组【类比探究】如图2-36-5②,若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1，PC=，求∠APB的度数．【类比探究】解：【问题解决】思路一，如答图2-36-5，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3.在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°.根据勾股定理，得PP′=∵AP=1，∴AP2+PP′2=1