矩阵与变换教学课件

选修4-2“矩阵与变换”教材解析选修4-2“矩阵与变换”教材解析内容解析教学建议内容解析内容解析内容解析

通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。主要内容主要内容2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用学习总结报告具体内容2.1二阶矩阵与平面向量具体内容定位

低起点——以初中数学知识为基础；低维度——以二阶矩阵为研究对象；形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。意图

在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。

本专题的定位和意图定位意图本专题的定位和意图主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。重点

通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。难点

切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本专题重点、难点及主要数学思想主要数学思想重点难点本专题重点、难点及主要数学思主线

通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩阵的意义和作用。

技术与内容的整合

（1）几何变换；（2）变换与矩阵的乘法；（3）逆矩阵。几何画板、Excel教学要点

从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循从具体到一般，从直观到抽象的教学原则。本专题的教学思路主线技术与内容的整合教学要点本专题的教学思路2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量建议课时:2课时教育目标:1.了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题.2.了解矩阵的相关知识.3.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.4.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.2.1二阶矩阵与平面向量建议课时:2课时教育目标:2.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如:1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:两行两列2.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如2.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法.如:某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。

城市A城市B城市C甲矿区

乙矿区2.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵的概念——从表、网络图、2.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示.5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:2.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通常用大写黑体字母表示.2.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.8.二元一次方程组可以表示为系数矩阵2.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.2几种常见的平面变换建议课时:6课时教育目标:1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换.2.掌握恒等伸压反射旋转投影切变变换的矩阵表示及其几何意义.3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,并证明二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线.2.2几种常见的平面变换建议课时:6课时教育目标:2.2几种常见的平面变换1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变为自己.2.2几种常见的平面变换2.恒等变换是指对平面上任何一点2.2几种常见的平面变换3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上的点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.2.2几种常见的平面变换伸压变换不是简单地把平面上的点(2.2几种常见的平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.2.2几种常见的平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变2.2几种常见的平面变换5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点2.2几种常见的平面变换5.一般地,二阶非零矩阵对应的变2.2几种常见的平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.2.2几种常见的平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围2.2几种常见的平面变换2.2几种常见的平面变换2.2几种常见的平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.2.2几种常见的平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投2.2几种常见的平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.2.2几种常见的平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌2.2几种常见的平面变换9.切变变换矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移个单位.10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.2.2几种常见的平面变换9.切变变换矩阵把矩阵与变换教学课件旋转矩阵旋转矩阵矩阵与变换教学课件2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.3变换的复合与矩阵的乘法建议课时:2课时教育目标:1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法.2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来两个矩阵对应的连续两次变换.3.通过几何变换,使学生理解一般情况下,矩阵乘法不满足交换率.4.会验证矩阵乘法满足结合率.5.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去率.2.3变换的复合与矩阵的乘法建议课时:2课时教育目标:2.3变换的复合与矩阵的乘法1.矩阵乘法的法则是:2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.2.3变换的复合与矩阵的乘法1.矩阵乘法的法则是:2.矩矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件2.3变换的复合与矩阵的乘法4.要求学生从几何变换角度理解AB.5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率.2.3变换的复合与矩阵的乘法4.要求学生从几何变换角度理矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件2.3变换的复合与矩阵的乘法6.有关转移矩阵.假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴的概率为,阴的概率为,若今天阴则明天晴的概率为,阴的概率为,这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报报告今天阴的概率为,那么明天的天气预报会是什么?后天呢?2.3变换的复合与矩阵的乘法6.有关转移矩阵.假设某市的2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法7.转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.2.3变换的复合与矩阵的乘法7.转移矩阵每列的元素的和2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.4逆变换与逆矩阵建议课时:2课时教育目标:1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质.3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率.5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.2.4逆变换与逆矩阵建议课时:2课时教育目标:2.4逆变换与逆矩阵教育目标:6.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的含义.7.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组.8.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性.2.4逆变换与逆矩阵教育目标:2.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中引入了逆矩阵和逆变换．这样安排让学生在轻松氛围中掌握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同．也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺利解决打下基础．3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.2.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”的生2.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更贴近学生实际．5．矩阵的行列式为,则如果则矩阵存在逆矩阵.6.矩阵是否可逆的判断

2.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什2.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解．

8.矩阵的逆矩阵为

2.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解．8.矩阵的逆矩阵2.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生可能会出现的认知障碍．学生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率．11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.2.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱2.4逆变换与逆矩阵12.2.4逆变换与逆矩阵12.2.4逆变换与逆矩阵12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.2.4逆变换与逆矩阵12.AX=BX=A-1B132.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.2.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.5特征值与特征向量建议课时:2课时教育目标:1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量.3.利用矩阵A的特征值,特征向量给出Anα的简单表示.2.5特征值与特征向量建议课时:2课时教育目标:2.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础．2.3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式．课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具．2.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个2.5特征值与特征向量4.5.2.5特征值与特征向量4.5.2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算多次变换的结果.2.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量投影变换2.5特征值与特征向量投影变换2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.6矩阵的简单应用建议课时:2课时教育目标:1.初步了解高阶矩阵.2.了解矩阵的简单应用.2.6矩阵的简单应用建议课时:2课时教育目标:2.6矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的应用.2.6矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认2.6矩阵的简单应用5.课本介绍了“七桥问题”,这个问题的解决既符合学生的实际,又能够引导学生了解更多的数学史内容(选修3-1)4.课本介绍了网络图、一级路矩阵和二级路矩阵,意图在于介绍高阶矩阵和激发学生学习图论的兴趣,为其它选修专题的开设打下基础.2.6矩阵的简单应用5.课本介绍了“七桥问题”,这个问题2.6矩阵的简单应用6.本节的难点在于种群问题的解决.(例6)2.6矩阵的简单应用6.本节的难点在于种群问题的解决.(2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用

学习总结报告主要内容2.1二阶矩阵与平面向量主要内容学习总结报告报告分三个方面的内容:1.知识的总结.理解本专题的整体思路、结构和内容.进一步认识变换的思想.2.拓展.通过查阅资料、调查报告、访问求教、独立思考,对矩阵及其应用作进一步探讨.3.学习本专题的感受和体会.学习总结报告报告分三个方面的内容:教学建议教学建议1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩阵以及(aij)形式的矩阵.教学建议2.矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率.1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议5.应通过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换,这样会让学生感到生动,单纯的平面几何变换比较抽象.6.可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来,体现知识的螺旋上升.7.注意伸压变换和伸缩变换的异同.4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议5.应8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学生可能会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关知识.自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地理解线性变换把直线变成直线(或点).教学建议9.切变变换从几何上可以这样理解:保持图形面积大小不变,而点间距离和线间角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换.这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形,用书上的方式直观描述.8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学10.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.教学建议11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工具来使用，不作为重点，不应展开讨论．12.对二元一次方程组来说，用求逆矩阵的方法来解方程组并不简便，这里强调的是其思想，无需做大量练习．13.从具体伸压变换引入“不变性”不可缺少，只有在建立感性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式地理解特征值和特征向量．10.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.教学建议教学建议14.课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的一个工具使用，不需要展开讨论．但是对如何得到这个公式要作出解释，即要向学生说明为何有不全为零的解时要D=0．15.将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题．教学建议14.课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的教学建议16.网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学习选修4-8，在此不要展开与扩充有关知识．对于例5，我们也可以引导有兴趣的学生去学习选修4-6中的公开密钥．17.讲解例6种群问题时可以适当变换问题背景（例如两个商场间的顾客量等），通过这个变化来说明特征值和特征向量应用的多样性、多方位．教学建议16.网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学矩阵与变换教学课件羚羊谷巨人堤波浪岩布莱斯峡谷羚羊谷巨人堤波浪岩布莱斯峡谷地壳的物质组成地壳的物质组成课程要求基本要求：了解地壳的物质组成，矿物和岩石的关系。理解三大类岩石的成因及典型特征运用示意图说明地壳内部物质组成课程要求基本要求：运用示意图说明地壳内部物质组成地壳中含量最多的元素是氧，含量最多的金属元素是铝。地壳中含量最多的元素是氧，含量最多的金属元素是铝。什么是矿物？地壳中的化学元素，在一定的地质条件下结合而成的天然化合物或单质；是化学元素在岩石圈存在的基本单元。什么是矿物？地壳中的化学元素，在一定的地质条件下结合而成的天探究活动1.怎样区分磁铁矿、赤铁矿？2.怎样区分滑石、石膏、方解石、萤石和石英？探究活动1.怎样区分磁铁矿、赤铁矿？2.怎样区分滑石、石膏、磁铁矿赤铁矿颜色、与磁铁的反应磁铁矿赤铁矿颜色、与磁铁的反应滑石方解石滑石方解石磷灰石长石石英黄玉磷灰石长石石英黄玉刚玉金刚石硬度、结晶形态、透明度等刚玉金刚石硬度、结晶形态、透明度等矿物和矿产的区别?能够被我们利用的矿物，在自然界富集到有开发价值的时就被称做矿产。

矿物矿产矿物有用矿物在地壳中或地表富集达到工农业利用要求并能被开采矿产矿物和矿产的区别?能够被我们利用的矿物，在自然界富集到有开发二.岩石自主学习，完成自学笔记，然后交流展示。二.岩石自主学习，完成自学笔记，类型形成常见岩石主要特征岩浆岩侵入岩喷出岩沉积岩变质岩地下岩浆在内压力的作用下，侵入地壳上部，冷凝形成石灰岩花岗岩有气孔在高温、高压条件下，原来成分、结构发生改变而形成新的岩石地下岩浆在内压力的作用下，沿地壳薄弱带喷出地表冷凝而成在风化、侵蚀、搬运等外力作用下，堆积固结形成新岩石大理岩紧密玄武岩层理结构，有化石致密、坚硬类型形成常见岩石主要特征地下岩浆在内压力矩阵与变换教学课件小结：矿产矿物集合体岩石有用矿物在地壳中或地表富集达到工农业利用要求元素结合成单质或化合物小结：矿产矿物集合体岩石有用矿物在地壳中或地表元素结合成单质1.下列物质组成排列中正确的一组是：A.地壳化学元素岩石矿物B.矿物地壳化学元素岩石C.地壳矿物化学元素岩石D.化学元素矿物岩石地壳2.有关矿物的叙述，正确的是：A.组成矿物的成分均为天然化合物B.石英、铁都是天然矿物C.矿物必定是矿产D.岩石由矿物组成3.被称作地球历史的“书页“和”文字“的岩石是：A.岩浆岩B.沉积岩C.变质岩DBD1.下列物质组成排列中正确的一组是：2.有关矿物的叙述，正确读古诗并回答：千锤万造出深山，烈火焚烧只等闲粉身碎骨浑不怕，只留清白在人间1、诗中描述的岩石是

，按成因属于

岩。2、在这种岩石是否可能找到生物化石

。3、这种岩石经变质作用后形成的岩石叫

。4、以该岩石为主的山区常形成

地貌。石灰岩沉积是大理岩喀斯特（石灰,溶洞)读古诗并回答：石灰岩沉积是大理岩喀斯特（石灰,溶洞)选修4-2“矩阵与变换”教材解析选修4-2“矩阵与变换”教材解析内容解析教学建议内容解析内容解析内容解析

通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。主要内容主要内容2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用学习总结报告具体内容2.1二阶矩阵与平面向量具体内容定位

低起点——以初中数学知识为基础；低维度——以二阶矩阵为研究对象；形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。意图

在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。

本专题的定位和意图定位意图本专题的定位和意图主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。重点

通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。难点

切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本专题重点、难点及主要数学思想主要数学思想重点难点本专题重点、难点及主要数学思主线

通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩阵的意义和作用。

技术与内容的整合

（1）几何变换；（2）变换与矩阵的乘法；（3）逆矩阵。几何画板、Excel教学要点

从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循从具体到一般，从直观到抽象的教学原则。本专题的教学思路主线技术与内容的整合教学要点本专题的教学思路2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量建议课时:2课时教育目标:1.了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题.2.了解矩阵的相关知识.3.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.4.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.2.1二阶矩阵与平面向量建议课时:2课时教育目标:2.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如:1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:两行两列2.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如2.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法.如:某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。

城市A城市B城市C甲矿区

乙矿区2.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵的概念——从表、网络图、2.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示.5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:2.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通常用大写黑体字母表示.2.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.8.二元一次方程组可以表示为系数矩阵2.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.2几种常见的平面变换建议课时:6课时教育目标:1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换.2.掌握恒等伸压反射旋转投影切变变换的矩阵表示及其几何意义.3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,并证明二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线.2.2几种常见的平面变换建议课时:6课时教育目标:2.2几种常见的平面变换1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变为自己.2.2几种常见的平面变换2.恒等变换是指对平面上任何一点2.2几种常见的平面变换3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上的点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.2.2几种常见的平面变换伸压变换不是简单地把平面上的点(2.2几种常见的平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.2.2几种常见的平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变2.2几种常见的平面变换5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点2.2几种常见的平面变换5.一般地,二阶非零矩阵对应的变2.2几种常见的平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.2.2几种常见的平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围2.2几种常见的平面变换2.2几种常见的平面变换2.2几种常见的平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.2.2几种常见的平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投2.2几种常见的平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.2.2几种常见的平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌2.2几种常见的平面变换9.切变变换矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移个单位.10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.2.2几种常见的平面变换9.切变变换矩阵把矩阵与变换教学课件旋转矩阵旋转矩阵矩阵与变换教学课件2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.3变换的复合与矩阵的乘法建议课时:2课时教育目标:1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法.2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来两个矩阵对应的连续两次变换.3.通过几何变换,使学生理解一般情况下,矩阵乘法不满足交换率.4.会验证矩阵乘法满足结合率.5.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去率.2.3变换的复合与矩阵的乘法建议课时:2课时教育目标:2.3变换的复合与矩阵的乘法1.矩阵乘法的法则是:2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.2.3变换的复合与矩阵的乘法1.矩阵乘法的法则是:2.矩矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件2.3变换的复合与矩阵的乘法4.要求学生从几何变换角度理解AB.5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率.2.3变换的复合与矩阵的乘法4.要求学生从几何变换角度理矩阵与变换教学课件矩阵与变换教学课件2.3变换的复合与矩阵的乘法6.有关转移矩阵.假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴的概率为,阴的概率为,若今天阴则明天晴的概率为,阴的概率为,这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报报告今天阴的概率为,那么明天的天气预报会是什么?后天呢?2.3变换的复合与矩阵的乘法6.有关转移矩阵.假设某市的2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3变换的复合与矩阵的乘法7.转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.2.3变换的复合与矩阵的乘法7.转移矩阵每列的元素的和2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.4逆变换与逆矩阵建议课时:2课时教育目标:1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质.3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率.5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.2.4逆变换与逆矩阵建议课时:2课时教育目标:2.4逆变换与逆矩阵教育目标:6.能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的含义.7.会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组.8.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性.2.4逆变换与逆矩阵教育目标:2.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中引入了逆矩阵和逆变换．这样安排让学生在轻松氛围中掌握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同．也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺利解决打下基础．3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.2.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”的生2.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更贴近学生实际．5．矩阵的行列式为,则如果则矩阵存在逆矩阵.6.矩阵是否可逆的判断

2.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什2.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解．

8.矩阵的逆矩阵为

2.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解．8.矩阵的逆矩阵2.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生可能会出现的认知障碍．学生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率．11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.2.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱2.4逆变换与逆矩阵12.2.4逆变换与逆矩阵12.2.4逆变换与逆矩阵12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.2.4逆变换与逆矩阵12.AX=BX=A-1B132.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.2.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.5特征值与特征向量建议课时:2课时教育目标:1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量.3.利用矩阵A的特征值,特征向量给出Anα的简单表示.2.5特征值与特征向量建议课时:2课时教育目标:2.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础．2.3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式．课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具．2.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个2.5特征值与特征向量4.5.2.5特征值与特征向量4.5.2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算多次变换的结果.2.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量2.5特征值与特征向量投影变换2.5特征值与特征向量投影变换2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析2.1二阶矩阵与平面向量具体内容解析2.6矩阵的简单应用建议课时:2课时教育目标:1.初步了解高阶矩阵.2.了解矩阵的简单应用.2.6矩阵的简单应用建议课时:2课时教育目标:2.6矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的应用.2.6矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认2.6矩阵的简单应用5.课本介绍了“七桥问题”,这个问题的解决既符合学生的实际,又能够引导学生了解更多的数学史内容(选修3-1)4.课本介绍了网络图、一级路矩阵和二级路矩阵,意图在于介绍高阶矩阵和激发学生学习图论的兴趣,为其它选修专题的开设打下基础.2.6矩阵的简单应用5.课本介绍了“七桥问题”,这个问题2.6矩阵的简单应用6.本节的难点在于种群问题的解决.(例6)2.6矩阵的简单应用6.本节的难点在于种群问题的解决.(2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.6矩阵的简单应用2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用

学习总结报告主要内容2.1二阶矩阵与平面向量主要内容学习总结报告报告分三个方面的内容:1.知识的总结.理解本专题的整体思路、结构和内容.进一步认识变换的思想.2.拓展.通过查阅资料、调查报告、访问求教、独立思考,对矩阵及其应用作进一步探讨.3.学习本专题的感受和体会.学习总结报告报告分三个方面的内容:教学建议教学建议1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩阵以及(aij)形式的矩阵.教学建议2.矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率.1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议5.应通过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换,这样会让学生感到生动,单纯的平面几何变换比较抽象.6.可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来,体现知识的螺旋上升.7.注意伸压变换和伸缩变换的异同.4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议5.应8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学生可能会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关知识.自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地理解线性变换把直线变成直线(或点).教学建议9.切变变换从几何上可以这样理解:保持图形面积大小不变,而点间距离和线间角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换.这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形,用书上的方式直观描述.8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学10.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.教学建议11.行