数概-第五六章6-习题课

重

点正态总体某些常用统计量的分布.三个分布的定义、性质、分位点.总体样本o用统计量的分布分位点概率密度函数二、主要内容统计量常用统计量性质t

分布F

分布

2

分布关于样本和方差的定理21,,21,,的一个样本

,g,

若g中一个统是统计量设21

n不含未知参数

,

则称计量.是21基本概念：总体、简单随机抽样、简单随机样本、样本容量常用统计量(1)样本平均值:i

1innX

1

X

.(2)样本方差:i

1S

2

ni(

X

X

)21n

1(3)样本标准差:1ni

1S

2S

iX

X

2

.n

122

1

1nn

1iX

nX

.常用统计量(4)样本

k

阶(原点)矩:

Ak

X

,

k

1,

2,

.1nn

kii

1(5)样本k

阶中心矩:,

k

2,

3,

.(

X

X

)1nBk

ni

1ki常用统计量的分布(一)服从n

是来自总体N(0，1)的样本

2分布设则称统计量（3.1）2n，记为2

~2

(n).212

2分布的性质性质1

(

2分布的可加性)设

2

~

2

(n

),

2

~

2

(n

),

并且

2

,

2

独1

1

2

2

1

2性质2

(

2分布的数学期望和方差)若

2

~

2

(n),

则

E(2

)

n,

D(2

)

2n.立,则2

2

~

2

(n

n

).1

2

1

2常用统计量的分布(二)t

分布设

X

~

N

(0,

1),

Y

~

2

(n),

且

X

,

Y

独立,

则t

分布又称学生氏(Student)分布.服从

度为

的tn分布,/

nY称随 量

t

记为t

~

t(n).X常用统计量的分布(三)F分布设U

~

2

(n

),

V

~

2

(n

),

且U

,

V

独立,

则称1

2布,

记为F

~

F

(n1

,

n2

).服从

度为

),(

Fn分n随 量

F

21/

n2V/

n1UF分布的性质性质1

若F

~

F

(n1

,

n2

),性质2

F

分布的上分位点具有如下性质2

1F则

1

~

F

(n

,

n

)..F

(n2

,

n1

)1F

(n

,

n

)

1

1

2常用统计量的概率密度函数

2

(n)分布的概率密度为y

0,

0

2

22

n

f

(

y)

其他.e1y

2

y2

,n1n,

t

.

2

2h(t

)

2t

2

n1n

1

n

1πn

n

t(n)分布的概率密度函数为常用统计量的概率密度函数F

(n1

,n2

)分布的概率密度为,

y

0,

(

y)

0,1

1其他.2221 2

2

2

1

n

y

n1

n1

n2

n2

n1

n2

n1

2

n

n

y

2n1n常用统计量的概率密度函数常用统计量的分布的分位点的点2

(n)为2

(n)分布的上分位点.P{2

2

(n)}2f

(

y)dy

(

n)

2

分布的分位点对于给定的正数

, 0

1,

称满足条件常用统计量的分布的分位点(布的上分位点.的点

为

nP{t

t(n)}

(

n)

h(t

)dt

t

分布的分位点对于给定的, 0

1,

称满足条件的点F(n1

,n2

)为F

(n1

,n2

)分布的上分位点.F分布的上分位点具有如下性质:.F

(n2

,

n1

)1F

(n

,

n

)

1

1

2常用统计量的分布的分位点P{F

F(n1

,

n2

)}

F

分布的分位点对于给定的, 0

1,(

n1

,

n2

)(

y)dy

称满足条件关于正态总体的样本和方差的定理定理一2

),(设的样本,21

,,

来自正态总体

NX

是样本均值

,

则有X

~

N

(,2

/

n).(1)n

X

~

N

(

0,

1)定理二设

21

,,

总体

N2

的样本,),((n

1)S

2(1)2~

(n

1);2(2)

X

与S

2

独立.X

,

S

2

分别是样本均值和样本方差,则有(2)定理三S

/

nX

~

t(n

1).X

,

S

2

分别是样本均值和样本方差,

则有的样本,)2设

21

,,

总体

N

(3)分别是这两个样本的方差,

则有定理四设1

2n

与

21

,,Y,,n,Y,

Y

具有21

1相同方差的两正态总体

N

(,2

),

N

(

,2

的样21本,

且这两个样本互相独立,

设

X

11

i

1iX

,n1n2

iY

分别是这两个样本的均值,Y

n2

i

112

X

)

,2n1n1

1

i

1S1

(

Xi1222S

2

1nn

1

i

i(Y

Y

)

1

2~

F

(n1

1,

n2

1);1

2S

2

/

S

22

/2(2)1

12

n

2),

(6)1~

t(n1

221nnSw

)12(

X

Y

)

((3)

当

2

2

2

时,,21

1

1

2

2n

n

2(n

1)S

2

(n

1)S

22w其中

S

wwS

S

2

.n1

n22

2(

X

Y

)

(1

2

)

~

N

(0,1)

1

2(1)(4)(5)三、典型例题试决定常数C

,使得CY

服从2

分布.来自总体0))(,,例1

设

服从X

的简单随机样本,21解根据正态分布的性质,321

N

0,654

N

0,2321()(~

N

(0,1),则

33~

N

(0,1),

632

6323

3

2

(2),3C

1的容量)例2

设

X1

和

X

2

是来自正态总体

N

2解

X1

~

N

,

n

,

2

2

X

2

~

N

,

n

,,22

则

X1

X

2

~

N

0,n2

X

}10.01

P{

X2

n

1

2

X

X2

/

nP的样本均值,试确定n,使得这两个样本均值之差超过的概率大约为0.01.1211

1n

2221为n

的两样本

和1

221

2

X

X n

P2

/

n2

n

1

P1

2X

X2

/

n2

n

有

0.995,

查标准正态分布表知20.01

n

P{2X.58,X于是n}

2

21

n

n

2

2

2

n

0.01,14.设总体

X

~

N

(,2

),

从此总体中取一个容例322

212

n(2)

Pn

ii

1X

X

.22

212

n(1)

P

ni

1i(

X

)

2

;16

),

求概率量为n

16

的样本(设总体

X

~

N

(,2

),

从此总体中取一个容解(1)

因为2112

22ni(

X

) ~

(n),i

1例32,来自正态总体的样本2

212

n(1)

P

ni

1i(

X

)

2

;16

),

求概率量为n

16

的样本(22

212

n所以于是

Pni

1i(

X

)

2

1P

8162

ii

1(

X

)

322

1P

8

162

ii

1(

X

)

322P{8

2

(16)

32}P{2

(16)

32}

P{2

(16)

8}[1

P{2

(16)

32}]

[1

P{2

(16)

8}