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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()A. B. C. D.2.已知集合,则()A. B.C. D.3.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.4.已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有.则不等式的解集为().A. B.C.或 D.或5.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.86.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.7.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.8.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为A. B. C. D.9.设等差数列的前项和为,若,则()A.23 B.25 C.28 D.2910.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤11.已知复数满足,且,则()A.3 B. C. D.12.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2=____.14.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为15.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)16.若向量满足,则实数的取值范围是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)若,,求实数的值.(2)若,,求正实数的取值范围.18.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求边上的高.19.(12分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.20.(12分)随着现代社会的发展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,若至少有2套系统监测出排放超标,则立即检查污染源处理系统;若有且只有1套系统监测出排放超标,则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为,且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由.21.(12分)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求B;(2)若,AD为BC边上的中线,当的面积取得最大值时,求AD的长.22.(10分)表示,中的最大值,如,己知函数,.(1)设,求函数在上的零点个数;(2)试探讨是否存在实数,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数,再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况,由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有:种,3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有:,共种,所以目标事件的概率.故选:C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合,涉及到背景文化知识,难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析;当情况数较多时,可考虑用排列数、组合数去计算.2、C【解析】
由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.3、D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.4、D【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.5、D【解析】
画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选:D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.6、C【解析】
由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴,得,再结合关系求解即可【详解】因为,所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,所以,即,则,故.故选:C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.7、D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8、C【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,因为函数的图象的一条对称轴是,所以,即,所以,又,所以的最小值为.故选C.9、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【详解】解:是等差数列,又,公差为,,故选:D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.10、A【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.11、C【解析】
设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.12、C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解:(2x-1)7的展开式通式为:当时,,则.故答案为:【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数,是基础题.14、【解析】
根据向量共线定理得A,B,C三点共线,再根据点斜式得结果【详解】因为,且α+β=1,所以A,B,C三点共线,因此点C的轨迹为直线AB:【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属中档题.15、②【解析】
根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.16、【解析】
根据题意计算,解得答案.【详解】,故,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令导数求得函数的单调性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用导数求得的单调性,转化为,令(),利用导数得到的单调性,分类讨论,即可求解.解法二:可利用导数,先证明不等式,,,,令(),利用导数,分类讨论得出函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由题意,得,,由,…①,得,令,则,因为,所以在单调递增,又,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,当且仅当时等号成立.故方程①有且仅有唯一解,实数的值为1.(2)解法一:令(),则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.令(),则.(i)若时,,在单调递增,所以,满足题意.(ii)若时,,满足题意.(iii)若时,,在单调递减,所以.不满足题意.综上述:.解法二:先证明不等式,,,…(*).令,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.变形得,,所以时,,所以当时,.又由上式得,当时,,,.因此不等式(*)均成立.令(),则,(i)若时,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.(ii)若时,,在单调递增,所以.因此,①当时,此时,,,则需由(*)知,,(当且仅当时等号成立),所以.②当时,此时,,则当时,(由(*)知);当时,(由(*)知).故对于任意,.综上述:.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.18、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理将边化成角,可得,展开并整理可得,从而可求出角;(2)由余弦定理得,进而可得,由,可求出的值,设边上的高为,可得的面积为,从而可求出.【详解】(1)由题意,由正弦定理得.因为,所以,所以,展开得,整理得.因为,所以,故,即.(2)由余弦定理得,则,得,故,故的面积为.设边上的高为,有,故,所以边上的高为.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用,考查三角形的面积公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.19、(1)①见解析,②见解析;(2)见解析【解析】
(1)①把代入函数解析式,求出函数的导函数得到,再求出,利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程;②令,利用导数研究函数的单调性,可得当时,;当时,;当时,.(2)由题意,,在上有唯一零点.利用导数可得当时,在上单调递减,当,时,在,上单调递增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,则,再由在上恒成立,得在上单调递减,进一步得到在上单调递增,由此可得.【详解】解:(1)①当时,,,,又,切线方程为,即;②令,则,在上单调递减.又,当时,,即;当时,,即;当时,,即.证明:(2)由题意,,而,令,解得.,,在上有唯一零点.当时,,在上单调递减,当,时,,在,上单调递增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,则,在上恒成立,在上单调递减,又,,.在上单调递增,.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.20、(1);(2)不会超过预算,理由见解析【解析】
(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为,可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.求得,,求得其分布列和期望,对其求导,研究函数的单调性,可得期望的最大值,从而得出结论.【详解】(1)某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.,令,则当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,的最大值为,实施此方案,最高费用为(万元),,故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望,及运用求导函数研究期望的最值,由根据期望值确定方案,此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量,属于中档题.21、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理及可得,从而得到;(2)在中,利用余弦定可得,,而,故当时,的面积取得最大值,此时,,在中,再利用余弦定理即可解决.【详解】(1)由正弦定理及已知得,结合,得,因为,所以,由,得.(2)在中,由余弦定得,因为,所以,当且仅当时,的面积取得最大值,此时.在中,由余弦定理得.即.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能
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