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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-132.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.3.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.函数的大致图像为()A. B.C. D.5.设集合,,则集合A. B. C. D.6.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.7.已知,且,则在方向上的投影为()A. B. C. D.8.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.29.集合,,则()A. B. C. D.10.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数11.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为A. B.C. D.12.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y均为正数,且,则的最小值为________.14.展开式中的系数为_______________.15.双曲线的焦距为__________,渐近线方程为________.16.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.18.(12分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)购买一辆某品牌新能源汽车,在行驶三年后,政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者,就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查,其样本频率分布直方图如图所示.(1)估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)将频率视为概率,从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人,记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为,求的分布列和数学期望;(3)统计最近个月该品牌汽车的市场销售量,得其频数分布表如下:月份销售量(万辆)试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆?附:对于一组样本数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.20.(12分)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线Γ上一点,且在第一象限,满足(2,2)(1)求抛物线Γ的方程;(2)已知经过点A(3,﹣2)的直线交抛物线Γ于M,N两点,经过定点B(3,﹣6)和M的直线与抛物线Γ交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.21.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.(1)求抛物线E的方程;(2)求△ABC面积的最大值.22.(10分)已知函数,.(1)求的值;(2)令在上最小值为,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.2、D【解析】
试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.3、C【解析】
将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、D【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为,当时,,排除B和C;当时,,排除A.故选:D.【点睛】本题考查图象的判断,取特殊值排除选项是基本手段,属中档题.5、B【解析】
先求出集合和它的补集,然后求得集合的解集,最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A,,解得或,故.对于集合B,,解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是:先将二次项系数化为正数,且不等号的另一边化为,然后通过因式分解,求得对应的一元二次方程的两个根,再利用“大于在两边,小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.6、D【解析】
首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果.【详解】,令,得,.其单调性及极值情况如下:x0+0_0+极大值极小值若存在,使得,则(如图1)或(如图2).(图1)(图2)于是可得,故选:D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.7、C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定义计算.【详解】由可得,因为,所以.故在方向上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.8、B【解析】
化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.9、A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.10、C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.11、D【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以,该金字塔的侧棱长为,所以需要灯带的总长度约为,故选D.12、A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一:,当且仅当时取等.方法二:因为,所以,所以,当且仅当时取等.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.14、【解析】
把按照二项式定理展开,可得的展开式中的系数.【详解】解:,故它的展开式中的系数为,故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15、6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.16、0或6【解析】
计算得到圆心,半径,根据得到,利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】,即,圆心,半径.,故圆心到直线的距离为,即,故或.故答案为:或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)增区间为,减区间为;极小值,无极大值;(2)【解析】
(1)求出f(x)的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;(2)由题意可得,,求出的表达式,,求出h(t)的最小值即可.【详解】(1)将代入中,得到,求导,得到,结合,当得到:增区间为,当,得减区间为且在时有极小值,无极大值.(2)将解析式代入,得,求导得到,令,得到,,,,,,,,因为,所以设,令,则所以在单调递减,又因为所以,所以或又因为,所以所以,所以的最小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值的意义,考查转化思想与减元意识,是一道综合题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)由已知可得,结合,由直线与平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,则,,两两互相垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,设,0,,由二面角的余弦值为求解,再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:因为四边形是等腰梯形,,,所以.又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中点,连接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以为二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因为,所以,所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为所以,即,令,则,,则平面的法向量,,设直线与平面所成角为,则【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,属于中档题.19、(1)1.7;(2),见解析;(2)2.【解析】
(1)平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和;(2)易得,由二项分布列的期望公式计算;(3)利用所给公式计算出回归直线即可解决.【详解】(1)由频率分布直方图可知,消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为,所以方差的估计值为;(2)由频率分布直方图可知,消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的频率为,则,所以的分布列为,数学期望;(3)将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1,2,3,4,5,记,,,,,,由散点图可知,5组样本数据呈线性相关关系,因为,,,,则,,所以回归直线方程为,当时,,预计该品牌汽车在年月份的销售量约为2万辆.【点睛】本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用,是一个概率与统计的综合题,本题是一道中档题.20、(1)y2=4x;;(2)直线NL恒过定点(﹣3,0),理由见解析.【解析】
(1)根据抛物线的方程,求得焦点F(,0),利用(2,2),表示点P的坐标,再代入抛物线方程求解.(2)设M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因为A(3,﹣2),B(3,﹣6)在这两条直线上,分别代入两直线的方程可得y1y2=12,然后表示直线NL的方程为:y﹣y1(x),代入化简求解.【详解】(1)由抛物线的方程可得焦点F(,0),满足(2,2)的P的坐标为(2,2),P在抛物线上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)设M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,直线MN的斜率kMN,则直线MN的方程为:y﹣y0(x),即y①,同理可得直线ML的方程整理可得y②,将A(3,﹣2),B(3,﹣6)分别代入①,②的方程可得,消y0可得y1y2=12,易知直线kNL,则直线NL的方程为:y﹣y1(x),即yx,故yx,所以y(x+3),因此直线NL恒过定点(﹣3,0).【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,直线过定点问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.21、(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根据抛物线定义,写出焦点坐标和准线方程,列方程即可得解;(2)根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离,得出面积,利用均值不等式求解最大值.【详解】(1)抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F(,0)到准线x的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为y2=6x;(2)设线段AB的中点为M(x0,y0),则,y0,kAB,则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一个解,所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点,且点C(5,0),由①可得直线AB的方程为y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由题意y1,y2是方程③的两个实根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到线段AB的距离h=|CM|,所以S△ABC|AB|h•,当且仅
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