【七年级数学培优竞赛专题】专题19 巧设未知数【含答案】

专题19巧设未知数知识解读1.间接设未知数在列方程解决实际问题时，有时根据题目需要，将要求的量以外的其他量设为未知数，更易于解决问题。2.设辅助未知数（参数）有些实际问题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便于解决问题.典例示范1.间接设未知数例1如图19-1，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，求这个长方形色块图的面积.【提示】如果直接设长方形的面积，难度很大.因此间接设未知数，不妨设正方形D的边长为，则可根据题意表示出另外四个正方形的边长，并列出方程.【技巧点评】在直接设未知数列方程有困难时，通常后退一两步，设其他量为未知数，以便于根据题意列方程求解.跟踪训练新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元.为了发展农业科技，乙种书送到乡下共卖得1350元.若按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利25%，乙种书籍亏本10%，问该书店这一天共盈利（或亏本）多少元？2.设辅助未知数（参数）例2一个农场有两块草地，大块的面积是小块的两倍，上午半天农夫们在大块地里劳动，下午分成两组，一半人继续留在大块地里，到下工时正好完工.另一半人去小块地里劳动，到下工时还剩一点点没有做完，没有做完的农活恰好需要一个农夫做一天.问该农场有几个农夫？【提示】设农场有农夫人，每人每天可劳动面积是，用含,的式子分别表示出大块地和小块地的面积.【技巧点评】在列方程解决实际问题时，如果题中的量过多，可设多个未知数，方便列方程，而在解的过程中利用等式性质将辅助未知数消去。跟踪训练2某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元。为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价一成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？

培优训练直击中考1.★家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；（4）下山用1个小时；根据上面信息，他作出如下计划：（1）在山顶游览1个小时；（2）中午12：00回到家吃午饭.若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？2.★（2017·湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包.那么这批书共有多少本？3．★（2017·呼和浩特）某专卖店有A,B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A,B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？4．★（2016·江苏连云港）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．假设店主李三公将客房进行改造后，房间数增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？5．★★【背景资料】一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保．经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35千克/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1千克棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．【问题解决】（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少千克？（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇用的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人自带采棉机采摘，的人手工采摘．两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总量是多少千克？6．某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车前进，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行驶的速度都不变（分别用u1，u2表示），求电车每隔几分钟（用t表示）从车站开出一部？挑战竞赛1．（希望杯试题）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由地河流至乙地，需小时．2．（全国初中联赛试题）某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来进价降低了6．4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率． 3．（全国通讯赛试题）有一片牧场，某每天都匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的．问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 4．（江苏省竞赛试题）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量/