卓第十章计算机控制系统

XiXo×G2H

G1×-

Y

s控制器第十章计算机控制系统计算机控制系统概述采样过程与采样定理Z变换及其反变换Z传递函数线性离散系统的稳定性分析

连续时间系统：系统中所有的信号均是时间t

的连续函数。

离散时间系统：系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码。——数字控制系统、采样控制系统§10.1

计算机控制系统概述10.1.1

计算机控制系统的组成离散系统与连续系统相比，具有的优点：计算机运算速度快，运算程序易于改变，从而使控制系统的信息处理和校正更具柔性。采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统的 能力。允许采用高灵敏度的控制元件来提高系统的控制精度。可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率，经济性好。对于具有传输延时，特别是大延迟的控制系统，可以通过引入采样来提高其稳定性。线性离散系统的数学描述和分析方法§10.1

计算机控制系统概述10.1.2

计算机内信号的处理和传递过程1.采样每隔一定的时间间隔T将连续信号x(t)通过采样器抽样成离散信号x*(t)的过程。x*

(t)

x(kT

)

(t

kT

)k

0采样周期T采样时间间隔T为采样周期，为采样持续的时间。●●●●●

●采样频率fs采样周期T的倒数。sf

1T采样角频率wsw

2sT采样脉冲序列连续时间函数经采样后变成周期为T的时间序列。采样定理(

定理）若采样角频率ws大于或等于连续信号最高角频率

wh的2倍，则采样离散信号能无失真地恢复为原来的连续信号。2.

信号量化-AD转换器工作原理、精度、速度、接口方式等量化单位量化误差3.信号保持将离散模拟信号—脉冲序列转成模拟信号的过程。用于这种转换的元件称为保持器。常用：零阶保持器零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器。把前一个采样时刻kT的采样值e(kT)不变的一直保持到下一个采样时刻(k+1)T到来前的一瞬间。零阶保持器的时域特性gh

(t)

1(t)

1(t

T)Gh

(s)

零阶保持器传递函数1

eTss零阶保持器频域特性

jwT

/2sin(wT

/

2)Gh

(

jw)

wT

/

21

e

jwT

Tejw§10.1

计算机控制系统概述10.1.3

计算机控制系统理论包括：离散系统理论、采样系统理论、数字系统理论。§10.2

线性离散系统的数学模型线性常系数差分方程Z变换Z变换的定义

Z变换的方法典型序列的Z变换Z变换的性质和定理

Z反变换用Z变换求解差分方程10.2.1

线性常系数差分方程1.线性常系数差分方程的表达式10.2.1

线性常系数差分方程1.

线性常系数差分方程的解法：——迭代法、古典法、变换法迭代法：已知差分方程、输入序列、输出初始值迭代法优点：便于计算机计算，但无法得到数学解析式古典法：：无重根有重根：通式：古典法4个步骤10.2.2

Z变换1.Z变换的定义采样信号的表达式：y*

(t)

y(kT

)

(t

kT

)k

0Z变换的定义：Y

(z)

Y

*

(s)

y(kT

)zkk

000

k

0Y

*

(s)

y(kT

)

(t

kT

)e

st

dtk

0

st

dt

y(kT

)

(t

kT

)e

y(kT

)e

skTk

0z

esT

y(kT

)zkk

02.Z变换的方法级数求和法部分分式法Y

(z)

Z[

y(kT

)]

y(kT

)zkk

0级数求和法展开Y

(z)

y(0)

y(T)z1

y(2T)z2

y(kT)zk如果上式能写成闭式，则可求得相应函数的Z变换。k

0根据Z变换的定义，将Y

(z)

y(kT

)zk例1

试求单位阶跃函数的Z变换解：单位阶跃函数1(t)采样后的离散信号为单位阶跃序列，在各个采样时刻的采样值均为1，即1(kT)=1，因此Z[1(kT

)]

1(kT

)Z

k

1

z1

z2

zk

k

0得到1(t)的Z变换为z1若

1，则该级数收敛，利用等比级数求和公式，可1(z)

1

z1

z

11z例2

试求衰减指数函数e-at的Z变换解：指数函数采样后所得的脉冲序列为y(kT)

eakTZ[

y(kT)]

1

eaT

z1

e2aT

z2

ekaT

zk

1

，则该级数收敛，利用等比级数求和公式，可得到e-at的Z变换为若eat

z11Z[eat

]

1

eaT

z1zz

eaT部分分式法基本思路：先求出已知连续时间函数y(t)的拉氏变换Y(s)，然后将有理分式函数Y(s)展开成部分分式之和的形式，再进行拉氏反变换，使每一部分分式对应简单的时间函数，若其相应的z变换是可知的，便可方便地求出Y(s)对应的

z变换Y(z)。例3

已知连续函数的拉氏变换为

Y

(s)

相应的Z变换。,试求s(s

a)a解：首先将Y(s)展开成部分分式和的形式

1

a

1Y

(s)

s(s

a)

s s

a对上式进行拉氏反变换得到：y(t)

1

eatz[1(t)]

z

1z

zz[e

at

]

z

e

aTz(1

eaT

)aTz2

(1

eaT

)z

ezzaTY

(z)

z

1

z

e例4

试求正弦函数e(t)=sinwt的Z变换。解：对e(t)=sinwt取拉氏变换，得到：s2

w2E(s)

w展成部分分式，即

E(s)

1

[11]2

j s

jws

jwz2

2z

cos

wT

1E(z)

1

[z

sin

wT]

2

j z

e

jwTzz

e

jwTz3.典型时间序列的Z变换单位脉冲时间序列单位阶跃时间序列单位斜坡时间序列指数序列正弦、余弦序列单位脉冲序列的Z变换单位样值信号

(n)

1(n

0)0 (n

0)(n

n0

)00

(n

n

)

10(n

n

)

1

(z

0)Z[

(kZ[

(kT

)]

(kT

)zkk

0)]

(kk

0)zk

zn单位阶跃序列的Z变换单位阶跃信号

zk

Z[1(kT

)]

1(kT

)zk

1

z1

z2k

01(z)

1

z1

z1

z

11(kT

)

1(k

0)0 (k

0)单位斜坡序列的Z变换单位斜坡信号y(kT

)

kTTz1(1

z1

)2kZ[

y(kT

)]

T

kzk

0指数序列的Z变换指数信号y(kT

)

ak

1

z

1

az1

z

aZ[

y(kT

)]

k

0ak

zk正弦序列的Z变换正弦信号y(kT

)

sin

wkTZ[e

jwt

]

zz

e

jwTZ[e

jwt

]

zz

e

jwTz2)

/

2

jz

sin

wT

2z

cos

wT

1zz

e

jwTzZ[sin

wt]

Z[(e

jwt

e

jwt

)

/

2

j]

(z

e

jwT余弦序列的Z变换余弦信号y(kT

)

cos

wkTZ[e

jwt

]

zz

e

jwTZ[e

jwt

]

zz

e

jwTz2z2)

/

2

z

cos

wT

2z

cos

wT

1zZ[cos

wt]

Z[(e

jwt

e

jwt

)

/

2]

(z

e

jwTzz

e

jwT4.Z变换的性质和定理线性性质位移性质：滞后和超前微分定理初值定理终值定理线性性质Z[ax(t)]

aX

(z)Z[a1

x1

(t)

a2

x2

(t)]

a1

X1

(z)

a2

X

2

(z)位移性质－滞后Z[

y(kt

T

)]

z1Y

(z)证明：设k<0时，y(kT)=0，即y(kT)=0为单边序列。

Z[

y(kT

T

)]

y(kT

T

)zk

y(kT

T

)zkk

0

k

1

j

0

y(

jT

)z

j

1

z1

y(

jT

)z

j)]

znY

(z)j

0

z1Y

(z)推广到滞后n

步序列，可得：Z[y(k例6

用位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的z变换。解：Z[1(t

T

)]

z1Z[1(t)]

z1z

1z

1

z

1例7

计算延迟一个采样周期T的指数函数e-at的z变换。解：Z[e

a

(t

T

)]

z1Z[e

at

]

z1z

1z

eaT

z

eaT位移性质－超前Z[

y(kt

T

)]

zY

(z)

zy(0)证明：

Z[

y(kT

T

)]

y(kT

T

)z

k

z

y(kT

T

)z

k

1k

0

k

0

z

y(

jT

)z

j

z

y(

jT

)z

j

zy(0)

zy(0)j

1

j

1

z

y(

jT

)z

j

zy(0)

zY

(z)

zy(0)j

0Z[

y(k)]

znY

(z)

zn

y(0)

zn1

y(T)

zy(nT

T)微分定理Z[ty(t)]

Tz

dY

(z)dz例8

已知y(t)=t3，求Y(z)。解：查表10-2T

2

z(z

1)2(z

1)3Z

(t

)

T

2

z(z

1)T

3

z(z2

4z

1)(z

1)3Z

(t3

)

Tz(z

1)4ddz初值定理存在，则有z设函数y(t)的z变换为Y(z)，且lim证明：Y

(z)

y(kT

)zkk

0zY

(z)

y(0)

y(T)z1

y(2T)z2

y(kT)zk可得y(0)

limY

(z)zy(0)

limY

(z)终值定理设连续时间函数y(t)的z变换为Y(z)，不含z=1的二重以上极点，在单位圆外无极点，则有lim

y(t)

lim[(z

1)Y

(z)]t

z1=

Y

(z)k

0证明：Z[y(kT

)]

y(kT

)zkZ[

y(kT

-

T

)]

y(kT

-

T

)zk

z1Y

(z)k

0Y

(z)

z1Y

(z)

[

y(kT)-

y(kT

-

T

)]zkk

0lim

y(kT)

lim[(z

1)Y

(z)]k

z1例9

设Z变换函数为0.792z2(z

1)(z2

0.416z

0.208)E(z)

使用终值定理确定e(nT0)的终值。0n

z1解：lim

e(nT

)

lim(z

1)E(z)0.792z2z1

lim(z

1)(z

1)(z2

0.416z

0.208)

15.

Z反变换由Y(z)求出相应的离散时间序列y(kT)称为z反变换，记作：y(kT

)

Z

1[Y

(z)]长除法部分分式法长除法例10求Y

(z)的z反变换。z

1z解：用长除法得Y

(z)

1+

z-1

z-2

z

1z由z

变换定义，得：y(kT

)

长除法只能求得离散的时间序列，得不到y*(t)的解析式。部分分式法将x(z)/z展开成部分分式；查表求出乘以z的展开式中每一项对应的时间序列x(T)；将x(T)转换成采样信号x*(T)。例11

求

X

(z)

的z反变换。(z

1)(z

0.5)0.5z

0.5

1

1解：

X

(z)

z

(z

1)(z

0.5)z

1

z

0.5X

(z)

z

z

z

1

z

0.5x(kT

)

1

0.5k6.用Z变换求解差分方程对差分方程作Z变换，应用线性性质和位移定理；利用已知条件或迭代法求出y(0)，y(T)等代入Z变换式；由Z变换式求出Y(z)；对Y(z)取Z反变换，得到差分方程的解y(kT)。例12

已知差分方程y(kT

2T

)

3y(kT

T

)

2

y(kT

)

0初始条件为y(0)=0，y(1)=1。解：对差分方程两端取z变换，得z2Y

(z)

z2

y(0)

zy(T)

3zY

(z)

3zy(0)

2Y

(z)

0将已知条件代入差分方程，并化简得z2

3z

2Y

(z)

zy(kT)

(1)k

(2)k(k

0,1,

2)Y

(z)

1

1z z

1

z

2§10.4Z

传递函数Z传递函数的定义连续环节(或系统)的离散化Z传递函数的性质1.Z

传递函数的定义在零初始条件下，系统输出脉冲序列的Z变换Y(z)与输入脉冲序列的Z变换U(z)之比，也称为脉冲传递函数。G(z)

Z[

y(kT

)]

Y

(z)Z[u(kT

)]

U

(z)脉冲传递函数：12G(z)

(n

m)nY

(z)

a

a

z1

a

z2

a

zm

0

1

2

m

U

(z)

1

b

z1

b

z2

b

zn2.脉冲传递函数的求法冲激不变法原理：连续系统的传递函数等于单位脉冲函数g(t)的拉氏变换。离散系统的Z传递函数等于单位冲激响应g(kT)的Z变换。步骤：利用拉氏反变换由连续传递函数G(s)确定脉冲过渡函数g(t)；按采样周期T，对g(t)采样，得到单位冲激响应g(kT);对g(kT)求Z变换，确定与G(s)相对应的G(z)。直接对系统连续部分的传递函数G(s)进行Z变换。例13已知某连续系统的传递函数G(s)=K/(s+a)，试用冲激不变法求其相应的脉冲传递函数。解：连续系统的脉冲过渡函数g(t)

L1[G(s，)]按

TKeat对g(t)采样得g(kT)，K作ea为kT离散系统的单位冲激响应，对g(kT)进行z变换，则离散系统的脉冲传递函数为G(z)

Z[g(kT

)]

Kzz

eaT带零阶保持器的离散化方法c*(t)G'1(s)G'2(s)r(t)r*(t)R(z)d(t)c(t)''122'

TsG'

(s)G

(s)

(1

e

)

2

G1(s)G2

(s)1

eTsG

(s)G

(s)

ssG

(s)

G'

(s)

/

s2

21其中：G

(s)

1

eTs

,G(z)

Z[G

(s)G

(s)]

Z[G

(s)

G

(s)eTs

]1

2

2

2

Z[G

(s)]

Z[G

(s)]z1

(1

z1)

Z[G

'(s)

/

s]2

2例14

如上图所示系统，G’2(s)=k/[s(s+a)]，求系统的脉冲传递函数。解：根据上述公式可得G(z)

(1

z1

)

Z[1

k[(aT

1

eaT

)z

(1

e

aT

aTe

aT

)]a2

(z

1)(z

e

aT

)]s

s(s

a)

11

)]

(1

z1

)

Z[k(

1as2

a2

s

a2

(s

a)k3.Z

传递函数的性质Z传递函数和差分方程；开环Z传递函数；闭环Z传递函数。(1)

Z传递函数与差分方程例15

设线性离散系统的差分方程为y(kT

3T

)

2

y(kT

2T

)

y(kT

T

)

u(kT

T

)

1.5u(kT

)求系统的脉冲传递函数。解：在初始条件下，对差分方程作Z变换，得到：Y

(z)(z3

2z2

z)

U(z)(z

1.5)系统的脉冲传递函数为

G(z)

z3

2z2

zz

1.5(2)

开环Z传递函数——串联G1(z)G2(z)U(z)Y(z)当开环离散系统是由几个环节串联组成时，环节中有、无采样开关的存在，其等效脉冲传递函数是不同的。两个离散系统串联G(z)G(z)

G1(z)G2

(z)G1(s)G2(s)U(s)U(z)Y(z)串联的两个连续系统之间有采样开关G(z)G(z)

G12当两个环节经采样开关后相串联时，其总的脉冲传递函数等于这两个环节各自脉冲传递函数的乘积。此结论可以推广到n个环节串联且相邻两环节间均有采样开关的情况。G1(s)G2(s)U(s)U(z)Y(z)两个连续系统串联后再离散化G(z)没G(z)

Z[G1(s)G2采样开关隔开的两个环节串联，其总的脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积后的z变换。该结论同样可推广到类似的n个环节相串联的情况。(2)

开环Z传递函数——并联Y(z)G1(s)G2(s)U(z)╳G(z)

G1(不论是两个离散系统并联，还是两个连续系统并联，其并联后系统总的开环脉冲传递函数都是上式。(3)

闭环Z传递函数G1(s)G2(s)U(s)╳Y(s)

Y(z)E(z)—B(s)Y

(z)

E(z)Z[G1E(z)

Z[U(s)

E(z)Z[G1(s)G2

(s)]

U(z)

E(z)G1G2

(z)1E(z)

U

(z)1

G1G2

(z)G1

(z)Y

(z)

U

(z)1

G1G2

(z)G1

(z)1

G1G2

(z)G(z)

例1G1(s)G3(s)Y(s)

Y(z)U(s)╳E2(z)G2(s)E1(s)—Y

(z)

E2

(z)Z[G22E2

(z)

Z[U

(s)G1

(s)]

E2

(z)Z[G1(s)G2

(s)G3

(s)]

UG1

(z)

E2

(z)G1G2G3

(z)UG1

(z)21

2

3E

(z)

1

G

G

G

(z)G2

(z)11

2

3Y

(z)

UG

(z)1

G

G

G

(z)例2闭环脉冲传递函数的求解步骤：在主通道上建立输出Y(z)与中间变量E(z)[存在采样开关处]之间的关系；在闭环回路中建立中间变量E(z)与输入U(z)或U(s)

的关系；消去中间变量E(z)，建立Y(z)与U(z)或U(s)之间的关系。应从采样点开始，沿通路方向到达下一个采用点为止，求出这个通总的脉冲传递函数。即脉冲传递函数是从采样点到采样点之间来计算的。G1(s)H(s)╳G2(s)E1(s)—Xi(s)

E2(z)X0(s)例16

求如下线性离散系统的闭环脉冲传递函数。X0

(z)

E1(z)G1(z)G2

(z)E1

(z)

Z[Xi

(s)]

E1(z)G1(z)Z[G2

(s)H

(s)]

Xi

(z)

E1(z)G1(z)G2

H

(z)0G1

(z)G2

(z)1

G1

(z)G2

H

(z)X

(z)

X0

(z)

1

G1

(z)G2

H

(z)G1

(z)G2

(z)Xi

(z)iX

(z)§10.5

线性离散系统的稳定性分析S平面和Z平面之间的 关系线性离散系统的稳定性条件线性离散系统稳定性的代数判据1.

S平面和Z平面之间的

关系z

esT设s

jw

，则有z

e(

jw)T

eT

e

jwT

z

e

jz因此，S平面与Z平面的关系为z

eTz

wT当=0时，z

=1，即s

平面的虚轴 到z

平面上是以原点为圆心的单位圆周；当<0时，z<1，即s平面的左半平面当>0时，z>1，即s平面的右半平面为z平面上单位圆内的部分；为z平面上单位圆外的部分。z

eTz

wT2.

线性离散系统的稳定性条件线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：当系统特征方程的全部特征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，即全部特征根的模都小于1时，该系统是稳定的。若有特征根位于单位圆周上，则系统处于临界稳定。3.

线性离散系统稳定性的代数判据离散系统不能直接使用 判据，因为离散系统稳定边界是z平面上以原点为圆心的单位圆周，而不是虚轴。需采用一种变换，将z平面上的单位圆周 到新坐标系中的虚轴上，该坐标变换称为w变换，又称双线性变换。z

w

1w

1w

z

1z

1式中，z和w均为复变量。令z

x

jy,w

u

jv代入上式得z

1

(

x2

y2

)

1

2

yw

jz

1

(

x

1)2

y2

(

x

1)2

y2=

u

jv(

x2

y2

)

1u

(

x

1)2

y2u

=0等价为x2+y2=1，表明z

平面上以原点为圆心的单位圆周对应于w

平面上的虚轴；u<0等价为x2+y2<1，表明z

平面上单位圆内的区域对应于w

平面的左半平面；u>0等价为x2+y2>1，表明z

平面上单位圆外的区域对应于w

平面的右半平面。例17.

一离散控制系统 。已知采样周期T＝0.5s，试用

判据确定该系统稳定时K的取值范围。╳R(s)

T—Ks(s

2)C(s)解：系统的开环脉冲传递函数为K

(1

e2T

)z2(z

1)(z

e2T

)]

K

(

)KzG(z)

Z[s(s

2)

2

z

1zz

e2T则系统的闭环特征方程为21

G(z)

(z

1)(z

e2T

)

K

(1

e2T

)z

0令

z

w

1

，并T＝0.5s代入上式，经整理后得到w

10.316Kw2

1.264w

(2.736

0.316K)

0w2w1w02.736

0.316K000.316K1.2642.736

0.316K根据表，系统稳定时，K值应满足0.