云南省大理州祥云县2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理含解析

…………○…………外…………○…………装…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………PAGEPAGE17云南省大理州祥云县2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={−3,−2,−1,0,1,2,3},B={x∈N|x2−7x−8≤0}A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{−1,0,1,2,3}2.已知关于x的不等式ax2+bx−1>0的解集为(3,4)A.a=12,b=−84B.a=−12,b=84

C.a=112,b=−3.在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若C=600,a=5,b=8A.20B.30C.40D.254.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若A.9B.11C.13D.155.为了得到函数y=sin2x−3A.先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变

B.先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变

C.先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变

D.先向右平移6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（

）A.1958B.1960C.1988D.19907.已知a,b为实数，则下列不是lna>A.a>bB.ac2>bc8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=600，∠BCD=1200，据此可以估计天坛的最下面一层的直径A.39米B.43米C.49米D.53米9.各项均为正数的等比数列{an}中，aA.256B.512C.1024D.204810.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1,A.95B.3C.97711.平面向量m=(1,2−b)与n=(2,a)(a>0,b>0)共线，则A.42B.2C.34+12.过点M(−1,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，若2MA=A.53B.52C.43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f(x)={log2x,x>014.已知实数x,y满足约束条件{x−y+1≥03x−y−3≤0x+y−1≥015.已知数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，且an+116.过双曲线C:x2a2−y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边a,b,c满足c−b=b−a，asin（1）求cosB（2）若b=32，求18.已知圆C经过点A(0,1),B(2,1),M(3,4).（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l:x−2y−1=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E,F.若∠EPF=600，求点19.数列{an}的前n项和为S（1）求a1和a（2）求数列{1an+1an+220.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图3所示.（1）求实数m的值以及参加课外活动时间在[10,20)中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率.21.如图所示，在四棱锥E−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB=AE=BC=12AD=1，BC//AD，AE⊥平面ABCD，∠BAD=90°，N（1）求证：NC//平面EAB；（2）求二面角A−CN−D的余弦值.22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l:y=1−x交于（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C的短轴长为22，点A为长轴的右顶点，求ΔAPQ

答案解析部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={−3,−2,−1,0,1,2,3},B={x∈N|x2−7x−8≤0}A.{1,2,3}

B.{0,1,2,3}

C.{0,1,2}

D.{−1,0,1,2,3}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3},B={x∈N|x∴集合A∩B={0,1,2,3}，故答案为：B.

【分析】化简集合B，再根据交集的定义，即可得出答案。2.已知关于x的不等式ax2+bx−1>0的解集为(3,4)A.a=12,b=−84

B.a=−12,b=84

C.a=112,b=−【答案】D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】由题意可知，3和4是方程ax2+bx−1=0的两根，且a<0，∴3+4=−故答案为：D.

【分析】由题意可知，3和4是方程ax3.在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若C=600,a=5,b=8A.20

B.30

C.40

D.25【答案】A【考点】余弦定理【解析】【解答】根据余弦定理，得c2=a2+故答案为：A.

【分析】由已知结合余弦定理即可直接求解.4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若A.9

B.11

C.13

D.15【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3+a故答案为：C.

【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出5.为了得到函数y=sin2x−3A.先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变

B.先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变

C.先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变

D.先向右平移【答案】D【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】函数y=sin2x−3cos2x=2得到y=sin(x−π3)故答案为：D.

【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（

）A.1958

B.1960

C.1988

D.1990【答案】A【考点】循环结构【解析】【解答】k的初始值为0，S的初始值为2020，k=0+1=1，S=2020−21=2018k=1+1=2，S=2018−22=2014，k=2<5；k=2+1=3,S=2014−k=3+1=4，S=2006−24=1990，k=4<5；k=4+1=5，成立，故输出的S的值为1958.故答案为：A.

【分析】根据程序框图代入k值逐一验证，可得答案。7.已知a,b为实数，则下列不是lna>A.a>b

B.ac2>bc【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点，不等式的基本性质【解析】【解答】lna>lnb⇔0<b<a.易知A,C,D都是lna>lnb的一个必要不充分条件.对于B同，由ac2>bc2故答案为：B.

【分析】根据对数函数的单调性以及充分条件、必要条件的定义可得答案。8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=600，∠BCD=1200，据此可以估计天坛的最下面一层的直径A.39米

B.43米

C.49米

D.53米【答案】D【考点】余弦定理【解析】【解答】在ΔACB中，AB=60,BC=60,∠ABC=600，所以AC=60，在ΔCDA中，AD故答案为：D.

【分析】求出AC，在△CDA中，利用余弦定理即可求得AD.9.各项均为正数的等比数列{an}中，aA.256

B.512

C.1024

D.2048【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】设等比数列{an}的公比为q，显然q>0，则由a1=2,a2+a故答案为：B.

【分析】设等比数列{an}的公比为q，显然q>010.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1,A.95

B.3

C.977【答案】C【考点】圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】由题意椭圆x216+y29=1的半焦距c=7，又∵PF1⊥PF2，∴点P在以7故答案为：C.

【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1⊥PF2，推断出点P在以7为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P所在的象限确定其横坐标.11.平面向量m=(1,2−b)与n=(2,a)(a>0,b>0)共线，则A.42

B.2

C.34+【答案】C【考点】基本不等式【解析】【解答】平面向量m=(1,2−b)与n=(2,a)(a>0,b>0)共线，∴a−2(2−b)=0，∴∴1a+1b=故答案为：C.

【分析】先由向量共线求出a+2b=4,再根据基本不等式即可求出.12.过点M(−1,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，若2MA=A.53

B.52

C.43【答案】C【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】如图所示，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程x=−1，则抛物线的焦点坐标F(1,0)，2MA=AB，M(−1,0)，则3(故答案为：C.

【分析】画出图形，设A(x1,y1),B(x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f(x)={log2x,x>0【答案】1【考点】函数的值【解析】【解答】函数f(x)={log2x,x>02x+1,x≤0，∴f(0)=20+1=214.已知实数x,y满足约束条件{x−y+1≥03x−y−3≤0x+y−1≥0【答案】2【考点】简单线性规划【解析】【解答】约束条件的可行域如图2阴影部分，直线z=2x−y，经过可行域B时，在y轴上的截距取得最小值，此时z取得最大值.{3x−y−3=0x+y−1=0，解得B(1,0)，所以

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可.15.已知数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，且an+1【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】∵an+1=Sn+2,n∈N∗，∴Sn+1−Sn=Sn+2，化为Sn+1+2=2(16.过双曲线C:x2a2−y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以【答案】2【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线的渐近线方程y=±bax，所以A(a,b)或A(a,−b)，因此|AF|=c=3，即(3−a)2+b2=3，整理可得a2三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边a,b,c满足c−b=b−a，asin（1）求cosB（2）若b=32，求【答案】（1）因为a利用正弦定理sin所以sinB所以sinA=2sinC由于c−b=b−a，所以b=3c利用余弦定理cosB=

（2）由（1）得：当b=32时，sinB=所以SΔABC【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果；

（2）利用三角函数的关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果.

18.已知圆C经过点A(0,1),B(2,1),M(3,4).（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l:x−2y−1=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E,F.若∠EPF=600，求点【答案】（1）设圆C的方程为x2则{解得{∴圆C的方程为x2

（2）如图3，设点P(2y+1,y)，由（1）知，圆心C(1,3)，半径r=1由已知CE⊥PE，∠CPE=1在RtΔCPE中，有|PC|=2|CE|，则(2y+1−1)2解得y=−1或y=11即有点P的坐标为(−1,−1)或(27【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系【解析】【分析】(1)设圆C的方程为x2+y219.数列{an}的前n项和为S（1）求a1和a（2）求数列{1an+1an+2【答案】（1）当n=1时，2S1=2当n≥2时，由2Sn=3两式相减得：2an=6n−2又当n=1时，a1∴an=3n−1，

（2）由（1）可得：1a∴Tn【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】(1)先由题设求得a1,再利用an=Sn-Sn-1求得an的表达式，并检验a1是否适合,从而求得an,再求得

a2020

即可;

(2)先由(1)求得120.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图3所示.（1）求实数m的值以及参加课外活动时间在[10,20)中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率.【答案】（1）因为所有小矩形面积之和等于1，所以10m+0.02×10+0.0375×10+0.0175×10+10m=1，解得m=0.0125，由于参加课外活动时间在[10,20)内的频率等于0.0125×10=0.125，因此参加课外活动时间在[10,20)中的人数为40×0.125=5人.

（2）依题意，参加课外活动时间在[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)中的人数分别为5人，8人，15人，7人，5人，因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为：(15×5+25×8+35×15+45×7+55×5)÷40=34.75（分钟）.

（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为a,b,c,d，甲，从中任选3人，可能的情况有：abc,abd,ab甲,acd,ac甲,ad甲,bcd,bc甲,bd甲,cd甲，共10种，设“其中的男生甲被选中”为事件A，则事件A包括的情况有：ab甲,ac甲,ad甲,bc甲,bd甲,cd甲，共6种，因此事件A发生的概率为P(A)=6【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】(1)直接利用频率分布直方图的应用求出结果;

(2)利用平均值的算式的应用求出结果;

(3)利用古典概型公式的应用求出结果.

21.如图所示，在四棱锥E−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB=AE=BC=12AD=1，BC//AD，AE⊥平面ABCD，∠BAD=90°，N（1）求证：NC//平面EAB；（2）求二面角A−CN−D的余弦值.【答案】（1）证明：如图，取AE的中点F，连接FN,BF，易知NF//又BC//__∴