《金新学案》高考数学总复习 9.8棱柱与棱锥 文 大纲人教

第8课时棱柱与棱锥1．棱柱、棱锥的定义棱柱棱锥定义有两个面互相

，其余各面都是

，并且每相邻两个四边形的公共边都互相

，这些面围成的几何体有一个面是

，其余各面是

的三角形，由这些面围成的几何体平行四边形平行多边形有一个公共顶点编辑ppt底面

多边形侧面其余各面侧棱

顶点

高两个底面间的距离

互相平行的面两个侧面的公共边侧面与底面的公共顶点各侧面的公共顶点顶点到底面的距离编辑ppt2.棱柱、棱锥的性质棱柱棱锥侧面

侧棱平行且相等交于一点平行于底面的截面

纵截面平行四边形三角形平行四边形三角形与底面全等的多边形与底面相似的多边形编辑ppt3.正棱锥(1)定义底面是

，并且顶点在底面上的射影是底面的

，这样的棱锥叫做正棱锥．(2)性质①侧面是

，与底面所成二面角均

；②侧棱均

，侧棱与底面所成的角均

；③平行于底面的截面也是

．正多边形中心全等的等腰三角形相等相等相等正多边形编辑ppt4．体积与面积(1)柱体体积公式为V＝

，其中

为底面面积，

为高．(2)锥体体积公式为V＝Sh，其中

为底面面积，

为高．(3)棱柱的侧面积是各侧面

，直棱柱的侧面积是底面周长与

；棱锥的侧面积是各侧面

，正棱锥的侧面积是底面周长与

．(4)全面积等于

与

之和，即S全＝S侧＋S底．ShShSh平行四边形面积之和侧棱长的积三角形面积之和斜高乘积的一半侧面积底面积编辑ppt1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为(

)A．75°

B．60°C．45°D．30°答案：

C编辑ppt2．棱柱成为直棱柱的一个必要非充分条件是(

)A．棱柱有一条侧棱和底面垂直B．棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直C．棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直D．棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直解析：

A是充要条件；C是非必要条件；D是充要条件．∴正确答案是B.答案：

B编辑ppt3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(

)A．必然都是非直角三角形B．至多只能有一个是直角三角形C．至多只能有两个是直角三角形D．可能都是直角三角形解析：例如三棱锥P—ABC中，若PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四个侧面均为直角三角形．答案：

D编辑ppt4．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为________．解析：由题意知截面圆的半径为1，所以截面圆的面积为π.答案：

π5．已知正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，则它的最大对角面的面积为________．答案：编辑ppt此题型主要研究直棱柱和正棱锥的概念及性质，对于正棱锥要注意它与正多面体的区别与联系，棱柱的性质较为简单，棱锥的性质实际上就是侧棱、斜高及锥体的高等之间的关系问题．编辑ppt

在下列命题中，真命题的个数为(

)①正棱锥的侧面与底面所成的二面角均相等；②正棱锥的侧棱与底面所成的线面角均相等；③正棱锥的对角面均垂直底面；④正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心；⑤侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．A．1

B．2C．3D．4编辑ppt解析：由于正棱锥的各侧棱长、斜高均相等，故对应的二面角、侧棱与底面所成的角也相等，故①②正确．根据正棱锥的定义知④正确．对于③，其中的对角面有多种情况，如五棱锥、六棱锥等，故③不正确．⑤中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故不正确．故选C.答案：

C编辑ppt[变式训练]

1.下列命题中，正确的是(

)A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中棱柱底面可以为菱形，也不正确，故选D.答案：

D编辑ppt在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握．如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化，如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决．编辑ppt

如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面ABCD，且∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD.(1)求证：平面SBC⊥平面SCD.(2)E为侧棱SB上的一点，为何值时，

AE∥平面SCD？证明你的结论．编辑ppt解析：

(1)∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC.又BC⊥CD，故BC⊥平面SCD.BC平面SBC，故平面SBC⊥平面SCD.编辑ppt编辑ppt[变式训练]

2.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时，MB∥平面AEF；(2)当MB∥平面AEF时，判断MB与EF的位置关系，说明理由．编辑ppt解析：

(1)若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于N，连结MN，NF.∵BB1∥平面A1ACC1，∴BF∥MN.又BM∥平面AEF，∴BM∥FN，∴四边形BFNM为平行四边形．编辑ppt以棱柱、棱锥为载体，求解角与距离问题时，应注意：解决空间角度问题，应特别注意垂直关系．如果空间角为90°，就不必转化为平面角来求，可利用垂直关系证明．求距离时借助辅助平面，将空间距离转化为平面距离来求．棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，因此利用等积法可求点到平面的距离等．编辑ppt

在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是矩形且AB＝2BC＝2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB的中点，AD的中点为O.求：(1)异面直线AE与CF所成角；(2)点O到平面EFC的距离；(3)二面角E－FC－D的大小．解析：

(1)取EB的中点G，连结FGFG∥AE，则∠GFC为AE与CF所成角，编辑ppt编辑ppt编辑ppt[变式训练]

3.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D为AC1的中点，F为BB1的中点．(1)求证：FD⊥AC1；(2)求二面角F－AC1－C的大小；(3)求点C1到平面AFC的距离．解析：方法一：(1)证明：连结AF，FC1，∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1的中点，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F.∴AF＝FC1.在△AFC1中，D为AC1的中点，∴FD⊥AC1.编辑ppt(2)取AC的中点E，连结BE及DE，易得DE与FB平行且相等，∴四边形DEBF是平行四边形．∴FD与BE平行．∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴△ABC是正三角形．∴BE⊥AC.∴FD⊥AC.又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1.∴二面角F－AC1－C的大小为90°.编辑ppt方法二：(B)(1)取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．编辑ppt编辑ppt编辑ppt求侧面积和体积问题要注意以下两点：(1)要熟练地掌握棱柱、棱锥的定义、性质以及侧面积和体积公式．(2)求侧面积、体积时要抓好以下三个环节：①准确、熟练地记忆、应用各种面积、体积公式；②求出公式所需要的量及对相关量进行推理论证；③进行正确简明的运算．编辑ppt

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为3，过BC的截面与底面成30°的二面角，计算截面的面积．解析：设截面与侧棱AA1所在的直线交于点D，取BC的中点E，连接AE、DE.∵△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC.∵A1A⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∴∠DEA为截面与底面所成二面角的平面角，∴∠DEA＝30°.∵等边△ABC的边长为4，∴AE＝2.编辑ppt在Rt△DAE中，DA＝AE·tan∠DEA＝2.因AA1＝3，D点在侧棱AA1上，截面为△BCD，如图．编辑ppt[变式训练]

4.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC所成的角为，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)证明：AB⊥CB1；(2)求三棱锥B1－ABC的体积．解析：

(1)如图，在平面ABB1A1内，过B1作B1D⊥AB于D，连结AB1.∵侧面ABB1A1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∴∠B1BA是B1B与底面ABC所成的角，∴∠B1BA＝60°.编辑ppt∵三棱柱的各棱长均是2，∴△ABB1是正三角形，∴D是AB的中点．连结CD，在正三角形ABC中，CD⊥AB，∴AB⊥CB1.(2)∵B1D⊥平面ABC，∴B1D是三棱锥B1－ABC的高．编辑ppt1．对空间几何体结构的观察，要从整体上入手，遵循从整体到局部，具体到抽象的原则，能够区别几种概念相近的几何体的特征性质．2．在面积与体积的计算中，应以棱锥和不规则几何体的表面积、体积计算为主，注意分割与补体等思想方法的灵活运用．编辑ppt通过近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律：1．考查热点：热点是以棱柱、棱锥为载体综合考查有关线面位置关系、角与距离的计算2．考查形式：选择、填空、解答题均可能出现．编辑ppt3．考查角度：一是直接考查棱柱、棱锥的定义和性质；二是有关面积和体积的计算；三是以棱柱、棱锥为载体考查有关线面位置关系、角与距离的计算．4．命题趋势：高考仍将以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质；以解答题的形式借棱柱、棱锥为载体对有关线面位置关系的判断和论证、角与距离以及面积和体积的计算作综合考查．编辑ppt(2010·陕西卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．规范解答：方法一：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.1分编辑ppt编辑ppt编辑ppt方法二：(1)证明：连结PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中．PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC，3分编辑ppt(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又ABCD是矩形，∴AB⊥BC，7分∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，又由(1)知PC⊥平面BEF，8分∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，9分在△PBC中，PB＝BC，∠PBC＝90°，∴∠PCB＝45°.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.12分[阅后报告]本题在求解时不利用向量法，而采用方法二有一定难度，特别在求二面角时“找”不到平面角，从而造成考生不能得分．编辑ppt1．(2010·福建卷)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C