《金新学案》高考数学总复习 2.4函数的奇偶性与周期性 文 大纲人教

第4课时函数的奇偶性与周期性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称1．函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点编辑ppt2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小编辑ppt1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是(

)A．y＝2x－3

B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x)．∴函数y＝ln5x为奇函数．答案：C编辑ppt解析：答案：B编辑ppt3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝(

)A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：A编辑ppt答案：坐标原点5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.答案：－1编辑ppt1．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤：(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数．(2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．编辑ppt编辑ppt解析：(1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．编辑ppt解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．编辑ppt编辑ppt1．对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．编辑ppt解析：编辑ppt编辑ppt编辑ppt[变式训练]

2.(1)奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解是________．(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．编辑ppt解析：(1)由奇函数图象对称性质补出其在[－5,0)上的图象，由图象知解集为(－2,0)∪(2,5]．(2)由已知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且f(a)＝f(|a|)，∴f(a)≥f(2)f(|a|)≥f(2)，∴|a|≥2得a≥2或a≤－2.答案：(1)(－2,0)∪(2,5]

(2)a≤－2或a≥2编辑ppt递推法：若f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴周期T＝4.换元法：若f(x＋2)＝f(x－2)，令x＋2＝t，x＝t－2，∴f(t)＝f(t－4)，∴周期T＝4.编辑ppt

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．

编辑ppt(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数．∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.编辑ppt(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.编辑ppt[变式训练]

3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为(

)A．－2

B．－1C．1D．2解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2008)＝f(2008)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2.∴f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1.答案：C编辑ppt1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的性质(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性；编辑ppt(2)奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；(3)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；(4)函数y＝f(x)，当x＝0时有意义，则f(0)＝0为y＝f(x)是奇函数的必要条件．因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法：①定义法；②图象法；③性质法．编辑ppt通过对近三年高考试题的统计分析，可以看出以下的命题规律：1．考查热点：函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．2．考查形式：多为选择题和填空题，整个命题过程着眼基础，突出重点．3．考查角度：一是对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶性函数图象的特点解决相关问题，利用函数的奇偶性求函数值、参数值等．二是对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期，利用函数的周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题．编辑ppt编辑ppt(2010·全国新课标卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝(

)A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}解析：∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．答案：B[阅后报告]本题考查了分段函数求值问题，解答本题的难点是不理解f(f(0))的意义，不知f(0)是对外层f来说相当于x.考生试求f(f(－1))的值．编辑ppt1．(2010·广东卷)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(

)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．答案：B编辑ppt2．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(

)A．3

B．1C．－1D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.答案：D编辑ppt3．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(

)A．－1B．1C．－2D．2解析：∵函数f(x)的周期为5，∴f(x＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)