极坐标系课件

二极坐标系二极坐标系12.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对应的.P(a,b).xyOab温故知新

平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？1.与角α终边相同的角：β=α+2kπ,k∈Z一一2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对2

思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学

在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？

该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

AB

C

D

E50m450600

120m60m教学楼体育馆实验楼办公楼图书馆思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请3请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走60米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走60米！41、极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点.②从极点O点引一条射线OX，叫做极轴.③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.XO1、极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点.②从52、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标，记作M(,).XOM特别规定：当点M为极点时，它的极坐标为____________________(0,),可为任意值.一般地，不作特殊说明时，认为≥0，可取任意实数.2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用6例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)4C(2,)2D(5,)56E(4.5,)F(6,)43G(7,)531例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•7例2、在极坐标系中描下列各点：。Ox1A●●BC●●D●E●F例2、在极坐标系中描下列各点：。Ox1A●●BC●●D●E83.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.AB

C

DE50m450600

120m60m解:以点A为极点,AB所在的射线为极轴(单位长度为1m),建立极坐标系.则点A,B,C,D,E的极坐标分别为(O)x3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,9①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况本题点M的极坐标统一表达式：①平面上一点的极坐标是否唯一？探究：极坐标系下的点与它的极10极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点M(2)给定平面上一点M

，但却有无数个极坐标与之对应原因在于：极角有无数个一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0.或－π＜θ≤π,极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（,）,在113.极坐标与直角坐标的互化1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化关系式Oxyθxy当点不在第一象限内时，是否还成立？原理是什么？互化前提3.极坐标与直角坐标的互化1.极点与直角坐标系的原点重合;12互化练习互化练习13极坐标系与直角坐标系的异同相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点.不同点：(x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角和极点的距离有关在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的（(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)表示同一个点）若规定ρ>0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一一对应(极点除外)极坐标系与直角坐标系的异同相同点：两者都通过一对有序实数对表14建立一个极坐标系需要哪些要素?极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个一点的极坐标有否统一的表达式？有，(ρ，2kπ+θ)极坐标与直角坐标的互化课堂小结建立一个极坐标系需要哪些要素?课堂小结15思考:

极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各坐标中,不是M点的坐标的是()3课后思考ABCD思考:极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则162.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标。ABCxEDO解：O(0,0)，C(2a,0)2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中ABCxEDO17极坐标系课件18变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点是A(2,),B(2,),

那么顶点C的坐标可能是()变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点194、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值.对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM4、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情20OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点[21说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：22四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？

把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？23四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射24四、5、负极径的实质

从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM

而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。四、5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径25负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0。因为负极径只在极少数情况用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点26五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的[127六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,28一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[292.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()303.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的31[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结极点；极轴；长度单位32。Ox1A●●BC●●D●E●F若极角取负值，则上例中的A，B，C，D，E，F的极坐标又可以表示为。Ox1A●●BC●●D●E●F若极角取负值，则上例中的A33°Ox)||•M(,)°Ox例如:M(-2,)56)56¬¬作射线OP，使＜xOP=•M(-2,)56P在射线OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=||当极径<0时，点M(,)的位置按如下规则确定：°Ox)||•(,)°Ox例如:M(-2,34。Ox425654531162332•A•B•C•D•E1。Ox425654531162332•A•353、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的表达式？(,)(-,+)(,2k+)(-,+(2k+1))[小结]表示同一点的极坐标.3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，364、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应OXPM(ρ,θ)[3]如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π＜θ≤π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,37关于极坐标系的进一步思考直角坐标系中，横坐标为1的点构成怎样的图形？纵坐标为4的点构成怎样的图形？极坐标系中，极径为5的点构成怎样的图形？极角为的动点A构成怎样的图形？极角为的动点B构成怎样的图形？有没有办法让B点的极角为？即改变一下方向？关于极坐标系的进一步思考直角坐标系中，横坐标为1的点构成怎样38拓展：负极径的定义在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值.当时，点的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使，在OP的反向延长线上取一点M，使，点M就是坐标为的点.OMx说出图中当极径取负值时各点的极坐标完成课本12页1~3题拓展：负极径的定义在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必39关于负极径的深入理解从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以看成是旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的，这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0，因为负极径只在极少数情况用.[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：关于负极径的深入理解从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，40以庆阳路为X轴以静宁路为Y轴...请问：去省政府怎么走？精神病！以庆阳路为X轴请问：精神病！41从这向北走1200米.请问：去省政府怎么走？从这向北请问：42二极坐标系二极坐标系432.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对应的.P(a,b).xyOab温故知新

平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？1.与角α终边相同的角：β=α+2kπ,k∈Z一一2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对44

思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学

在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？

该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

AB

C

D

E50m450600

120m60m教学楼体育馆实验楼办公楼图书馆思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请45请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走60米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走60米！461、极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点.②从极点O点引一条射线OX，叫做极轴.③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.XO1、极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点.②从472、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标，记作M(,).XOM特别规定：当点M为极点时，它的极坐标为____________________(0,),可为任意值.一般地，不作特殊说明时，认为≥0，可取任意实数.2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用48例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)4C(2,)2D(5,)56E(4.5,)F(6,)43G(7,)531例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•49例2、在极坐标系中描下列各点：。Ox1A●●BC●●D●E●F例2、在极坐标系中描下列各点：。Ox1A●●BC●●D●E503.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.AB

C

DE50m450600

120m60m解:以点A为极点,AB所在的射线为极轴(单位长度为1m),建立极坐标系.则点A,B,C,D,E的极坐标分别为(O)x3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,51①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况本题点M的极坐标统一表达式：①平面上一点的极坐标是否唯一？探究：极坐标系下的点与它的极52极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点M(2)给定平面上一点M

，但却有无数个极坐标与之对应原因在于：极角有无数个一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0.或－π＜θ≤π,极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（,）,在533.极坐标与直角坐标的互化1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化关系式Oxyθxy当点不在第一象限内时，是否还成立？原理是什么？互化前提3.极坐标与直角坐标的互化1.极点与直角坐标系的原点重合;54互化练习互化练习55极坐标系与直角坐标系的异同相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点.不同点：(x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角和极点的距离有关在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的（(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)表示同一个点）若规定ρ>0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一一对应(极点除外)极坐标系与直角坐标系的异同相同点：两者都通过一对有序实数对表56建立一个极坐标系需要哪些要素?极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个一点的极坐标有否统一的表达式？有，(ρ，2kπ+θ)极坐标与直角坐标的互化课堂小结建立一个极坐标系需要哪些要素?课堂小结57思考:

极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各坐标中,不是M点的坐标的是()3课后思考ABCD思考:极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则582.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标。ABCxEDO解：O(0,0)，C(2a,0)2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中ABCxEDO59极坐标系课件60变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点是A(2,),B(2,),

那么顶点C的坐标可能是()变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点614、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值.对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM4、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情62OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点[63说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：64四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？

把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？65四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射66四、5、负极径的实质

从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM

而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。四、5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径67负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0。因为负极径只在极少数情况用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点68五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的[169六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,70一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[712.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()723.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的73[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结极点；极轴；长度单位74。Ox1A●●BC●●D●E●F若极角取负值，则上例中的A，B，C，D，E，F的极坐标又可以表示为。Ox1A●●BC●●D●E●F若极角取负值，则上例中的A75°Ox)||•M(,)°O