人教A版高中数学必修5：1.1.2 余弦定理 课时练习

1.1.2余弦定理1．在△ABC中，a2等于(

)A．a2＋b2－2abcosC

B．b2＋c2－2bcsinCC．a2＋c2－2accosB

D．b2＋c2－2bccosA【答案】D【解析】利用余弦定理的定义判断即可．2．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于(

)A．2

B．4C．4

D．8【答案】A【解析】∵b2＋c2＝a2＋bc，可得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴S△ABC＝bcsinA＝×8×＝2.故选A．3．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度等于(

)A．4

B．5C．4

D．5【答案】A【解析】由题知sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16.∴CD＝4.4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【解析】∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2ac·cos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．【答案】【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，c.又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝.6．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．【解析】∵A＋C＝，∴＝180°，B＝120°.由S△ABC＝acsinB＝ac＝15，得ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)＝(30－b)2－60，得b＝14，∴a＋c＝16.∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两个根．∴或∴该三角形各边长为a＝6，b＝14，c＝10或a＝10，b＝14，c＝6.7．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝5.(1)若∠A＝60°，求cosB的值；(2)若cos(A－B)＝，点D在边BC上，满足DB＝DA，求CD的长度．【解析】(1)由正弦定理知＝，即＝，解得sinB＝.∵AC<BC，∴∠B<∠A＝60°.∴∠B为锐角．∴cosB＝＝.(2)∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B．∴cos∠CAD＝cos(A－B)＝.在△CAD中，设AD＝x，则CD＝5－x.由余弦定理得(5－x)2＝42＋x2－2×4×x×，解得x＝3，则AD＝3，CD＝2.8．在△ABC中，A＝30°，BC＝2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD＝2，△BCD的面积为4.(1)求cos∠BCD的值；(2)求边AC的长．【解析】(1)∵BC＝2，CD＝2，则S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝4，∴sin∠BCD＝.∴cos∠BCD＝.(2)在△BCD中，CD＝2，BC＝2，cos∠BCD＝，由余弦定理得DB2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos∠BCD＝16，即DB＝4.∵DB2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即△ACD为直角三角形，∵A＝30°，∴AC＝2CD＝4.9．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(

)A．直角三角形

B．等边三角形C．等腰直角三角形

D．钝角三角形【答案】B【解析】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．10．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC．一定成立的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个【答案】C【解析】对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．11．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________．【答案】1【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos∠ADB＝＝，在△BDC中，cos∠BDC＝＝，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.12．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csinA＝acosC．(1)求角C；(2)若c＝且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面积．【解析】(1)∵csinA＝acosC，由正弦定理可得sinCsinA＝sinAcosC，sinA≠0，∴sinC＝cosC，得tanC＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)∵sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，sinC＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin2A，∴2sinBcosA＝2×5sinAco