521三角函数的概念(一) 【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

第五章三角函数§5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念(一）第五章三角函数§5.2三角函数的概念1探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，

角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它2探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，3思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与4思考3

如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx思考3如图所示，在直角坐标系中，以原点为yx5探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

6

7思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？答

由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的8思考3

在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

思考3在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特9(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也10

解

在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为

解在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为11反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定12跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝

则y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，13探究点三三角函数值在各象限的符号

探究点三三角函数值在各象限的符号

14

15三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正16例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.例2判断下列各式的符号：解(1)∵α是第二象限角.17(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.(2)sin285°cos(－105°)；18反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.例2判断下列各式的符号：(2)sin285°cos(－105°)；探究点二任意角三角函数的概念解∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，答(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.第三或第四象限角 D.思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一锐角三角函数的定义特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.∴sin3>0，cos4<0.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三19反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三20跟踪训练2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.C跟踪训练2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是()21当堂测·查疑缺12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(

)D当堂测·查疑缺12341.已知角α的终边经过点(－4,3)2212342.如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于(

)A12342.如果角α的终边过点P(2sin30°，－2co231234D1234D24呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大25第五章三角函数§5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念(一）第五章三角函数§5.2三角函数的概念26探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，

角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它27探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，28思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与29思考3

如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx思考3如图所示，在直角坐标系中，以原点为yx30探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

31

32思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？答

由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的33思考3

在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

思考3在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特34(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也35

解

在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为

解在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为36反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定37跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝

则y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，38探究点三三角函数值在各象限的符号

探究点三三角函数值在各象限的符号

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40三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正41例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.例2判断下列各式的符号：解(1)∵α是第二象限角.42(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.(2)sin285°cos(－105°)；43反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.例2判断下列各式的符号：(2)sin285°cos(－105°)；探究点二任意角三角函数的概念解∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，答(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.第三或第四象限角 D.思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一锐角三角函数的定义特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.∴sin3>0，cos4<0.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三44