河北省衡水中学2020届高三数学第一次联合考试试题文(含解析)

河北省衡水中学2020届高三数学第一次联合考试试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合AxN|x6,Byy2x,xA，则AIB中元素的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】用列举法依次表示出集合A,B,再求出交集，再判断元素个数.【详解】解：AxNx6,A0,1,2,3,4,5,—一 一x_又Byy2,xA,B1,2,4,8,16,32,AIB1,2,4,有3个元素，故选：C.【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题..已知复数z满足z（1+i）=1+3i,其中i是虚数单位，设乞是z的共轲复数，则z的虚部是（ ）A.i B.1 C.-i D.-1【答案】D【解析】【分析】先根据复数代数形式的除法运算求出 z,再根据共轲复数的定义写出z,从而得出z的虚部.【详解】解：•「z1i13i,3i13i1i42iz 2i,1i1i1i2

z2i，则z虚部为1,故选：D.【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算， 考查共辅复数的定义及复数的虚部， 属于易错题.3.等差数列｛an｝中，S为｛3.等差数列｛an｝中，S为｛an｝的前n项a4是关于元二次方程的两个根，则&=( ) ,Bka44,,用等差数列的.即可得出结■ ■【详解】解：a2,a4是关于■的一元二次方，x24x20的两个，LJA.5【解析】【分析】由韦达定理得a2,旦

47^由韦达定理得a? ad由等差数列的性质得,2x-4x+2=0D.15•••S544210,故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前 n项和的计算，属于基础题.4.若f(x)=ex+aex是定义在R上的奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( )A.y=一x B.y=x C.y=-2x D.y=2x【答案】D【解析】【分析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数得f(0) 0,求出函数f(x)的解析式，再求出f'(x),从而可求出切线方程.【详解】解：♦.•函数f(x)是定义在R上的奇函数，

f(0)1a0,得a1,f(x)exex,f'(x)exex,f(0)0,f'(0) 2,・•・曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程为y2x,故选：D.【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质,考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质,考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.5.已知。O的半径为1,A,B为圆上两点,且劣弧5.已知。O的半径为1,A,B为圆上两点,且劣弧AB的长为1,则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为( )11sin12211cos122 2【答案】A1 1--C0S12211sinl22 2D.由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△OAB的面积，从而得出结论.【详解】解：设eO的半径为r,劣弧所对的圆心角为 ，弧长为l,Ll1由弧长公式lr得-11,r1TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1，弦AB与劣弧AB所围成图形的面积S -lr —r2sin — —sin1 ,2 2 2 2故选：A.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题.

6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6成绩/分班内排名甲959乙9411丙9314【分析】由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案.【详解】解：由表格可知，该班成绩为 95分的有2人，94分的有3人,，从这5名同学中随机抽取2名同学，c54基本事件总数为C；5■左10,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 2_2 _2这两位同学成绩相同包含的基本事件数是 C；C2134,\o"CurrentDocument"4 2・•.这两位同学成绩相同的概率 p—20.4,105故选：B.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题.2 27.已知双曲线C:、与1a0,b0的左，右焦点分别为Fi,F2,若以F1F2为直径的ab圆和曲线C在第一象限交于点P,且4POF1恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）

B.1 31.5B.1 31.5【答案】C【解析】【分析】先设IF1F2I2c,由题意知^FiF2P是直角三角形，利用且 POF2恰好为正三角形，求出|PEI、IPF21,根据双曲线的定义求得a,c之间的关系，则双曲线的离心率可得.【详解】解：连接PF1,设|F1F2|2c,则由题意可得PF1F2是直角三角形,由POF2恰好为正三角形得， PF2F160,|PF21c,•••IPF11J4C2—crJ3c,IPF1I|PF21点cc2a,a31故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质.考查数形结合的思想的运用，属于基础题..某校高一组织五个班的学生参加学农活动， 每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同.已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”； 5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是2班3班42班3班4班5班【答案】B【解析】【分析】本题的关键是找出1,2,3,5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果.【详解】解：由题意，1,2,3,5班都不选农耕，则只有4班选农耕，根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，只剩下“野炊”和“饲养”，因3班既不选“野炊”，故选择“饲养”的班级是3班.故选：B.【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题..下列关于函数fx2cos2x点sin2x1的说法，正确的是( )x一是函数f(x)的一个极值点3f(x)在区间［0,-］上是增函数5C.函数f(x)在区间(0,支)上有且只有一个零点——12D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移一个单位长度得到12【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可.【详解】解：函数f(x)2cos2x 3sin2x1cos2x3sin2x2sin(2x—)6当x当x—时,

32sin(2x—)一所以x—不是函数f(x)的一个极值点，所以A不正确;6 2 3当x一时,

当x一时,

6函数f(x)取得最大值，所以函数在区间［0,一］上不是增函数，所以B不正确;2由2sin(2x一)0由2sin(2x一)0得2x—k,kZ,则x6 6k——一,kZ,所以在区间(0,)上2 1211,所以C不正确;有两个零点八、12' 1211,所以C不正确;有两个零点由函数y2sin2x的图象向左平移一个单位长度得到y2sin(2(x—))2sin(2x—),所12 12 6以D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题.10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数 M棱数E及面数F满足等式V-E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体， 现代足球的外观即取自一种不完全正多面体， 它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的. 20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构， 排列出全世界最小的一颗“足球”， 称为“巴克球A.180B.120C.60D.A.180B.120C.60D.30【答案】C【解析】【分析】设巴克球顶点数V、棱数E及面数F,计算出面数和棱数即可求出顶点数.【详解】解：依题意，设巴克球顶点数 V、棱数E及面数F,贝UF201232, 512620每条棱被两个面公用，故棱数 E 90,2 ，所以由VEF2得：V90322,解得V60.故选：C.【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题.11.已知正方体ABCDABGD,E,F是线段AC上的点，且AE=EF=FC,分别过点E,F作与直线AC垂直的平面a,B,则正方体夹在平面a与§之间的部分占整个正方体体积的

A.B.-C.A.B.-C.23D.【答案】【解析】【分析】构造平面ABD,平面CB-D-,设正方体边长为1,根据等体积法计算A到平面A-BD的距离h看，从而可得出E,F分别为AC-与平面ABD和平面CBiDi的交点，计算中间几何3体的体积得出答案.【详解】解:D1D1构造平面ABD,平面CB1D1,则AC1平面ABD,AC1平面CB1D1,设正方体边长为1,则ABADBDJ2,AC1J3, AEEFFC1—3TOC\o"1-5"\h\z1- -VAiABDVCB1C1D1 3 216，设A到平面ABD的距离为h,则VAabr1g^3af2)2gh：,解得h-y,E平面ABD,同理可得F平面CB1D1,1 2正方体夹在平面 与之间的部分体积为112<,\o"CurrentDocument"6 3八、一2体积之比是一，3故选：C.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.2 212.已知椭圆C：x_匕1的左、右焦点分别为Fi,F2,点P在椭圆上且异于长轴端点.点1612uuirumu uuuuuuuMN在^PFFz所围区域之外，且始终满足 MPMF10，NPNF20，则IMN的最大值为（ ）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】A【解析】【分析】设PF1，PF2的中点分别为C,D,则M,N在分另iJ以C,D为圆心的圆上，直线CD与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M,N时，IMN|的最大，可得|MN|的PFPF最大值为 1 2CDac即可.2【详解】解：设PF1,PF2的中点分别为C,D,uuiruuuu uuiruuuuQMPgMF10,NPgNF20,则M,N在分另U以C,D为圆心的圆上，・•・直线CD与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M,N时，|MN|最大,|MN|的最大值为PF12PF2CDac426,故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

rrrrv.已知非零向量a,b满足|a||b|,a【答案】120rrrrv.已知非零向量a,b满足|a||b|,a【答案】120【解析】vv v由题息，v2 b2 2vb 3b2,得v2vv2bcosa,b所以夹角是120r,r，一，则2与b的夹角为v2 『rrb,所以cos/a,b.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为【答案】4.【解析】【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥 PABCD,其中，PO底面ABCD,ABCD是正方形，边长为3,PO2,由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长.【详解】解：由题意几何体的直观图如图,其中，PO底面ABCD,ABCD是正方形，一，-— 1边长为3,PO2,AO-AC,2所以PC，4(2扬2 4,PBPD。2222123，所以最长的棱长为4,故答案为：4.属于基【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图， 考查四棱锥中最长棱的求法,础题.属于基.已知在锐角三角形ABC中，角A,BC的对边分别为a,b,c,若a=4,且a 2 22a-bcosBbc,贝Ub+c的取值氾围为.2【答案】(42,)【解析】【分析】根据已知等式和余弦定理，可推出 cosBcosC，即BC,bc,又知a4,所以bc4；因为三角形ABC是锐角三角形，所以角A为锐角，cosA(0,1);由a2b2c22bccosA,设bcx,用cosA表示出x，并求出x的取值范围，进而得bc2x的取值范围.a 9 9【详解】解：Qa4,且2a(万bcosB)bc,2 2 2 2.2 2a2abcosBbc,即abc2abcosB,又Q由余弦定理可得a2b2c22abcosC,可得2abcosB2abcosC,即cosBcosC,BC,bc,又A为锐角，cosA(0,1),Qa4,bc4,设bcx,由余弦定理知a2b2c22bccosA,2~2 2.2x2xcosA2xg(1cosA),x2-8T8，x2亚，2x472，1cosA故bc472,故答案为：(4夜，).【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题.16.已知曲线y=| lnx|与直线y=m有两个不同的交点 Pi (xi, yO , P2 (x2, y2)(xi〈X2),设直线1i,12分别是曲线y=|lnx|在点Pi,P2处的切线，且1i,l2分别与y轴相交于点AB.AP2AB为等边三角形，则实数m的值为.【答案】ln.3【解析】【分析】由对数的运算性质可得x1x21,0为1%,分别求得ylnx和y lnx的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及A,B的坐标，可得等边三角形的边长，可得x2,进而得到m的值.【详解】解：由曲线y11nxi与直线ym有两个不同的交点，可得-1nxi=lnx2,即有x〔x2 1,0x11x2,TOC\o"1-5"\h\z1 1由y lnx的导数为y-，可得切线11的斜率为一，切线的万程为\o"CurrentDocument"x X，，、 1，y(ln%) —(xx1)，x令x0得y1ln”，即A(0,11nxJ,1 1由ylnx的导数为y—,可得切线12的斜率为一X,切线的万程为x x2y1nx2x《xx2),令x0得ylnx2. Inx11,即B(0,In为1),则|AB|2,3由aP2AB为等边三角形，可得x2—g2J3,2则m|Inx2|1nJ3,故答案为：in33-【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答 .(一)必考题：共60分.17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多， 价格不一根据数据统计分析， 得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位：元/千克)的频数分布表，如表一所示.

价格/（元/千克）[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)种类数4121662在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二.表二：喜欢传统馅料粽喜欢特色馅料粽总计40岁以下30154540岁及以上50555总计8020100（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）2nadbcabcdacbd（2）根据表二信息能否有95%2nadbcabcdacbdP(K2>kc)0.0500.0100.001kc3.8416.63510.828参考公式和数据：K2,（其中nabcd为样本容量）【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为 21.25元/千克（2）有95%勺把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关【解析】【分析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论.【详解】解：（1）根据表一的数据，1x一(12.5417.51222.51627.5632.52)21.2540 '估计该商场粽子的平均销售价为21.25;(2)根据表二信息,―2100(3055015)2K 802045551009.0913.841,11所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题.1 118.已知｛an｝是等比数列，a3—,且a1,a2—，a3成等差数列.8 16(1)求数列估计该商场粽子的平均销售价为21.25;(2)根据表二信息,―2100(3055015)2K 802045551009.0913.841,11所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题.1 118.已知｛an｝是等比数列，a3—,且a1,a2—，a3成等差数列.8 16(1)求数列｛an｝的通项公式；bn⑵设lOg1a2n12, ,求数列｛bn｝的前n项和Tn.log1a2n12(1),1、an=(一)2(1)设等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比q的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式;(2)求得bn(2n1)(2n1)2n12n1,再由数列的裂项相消求和.【详解】解:(1)设｛an｝是公比为q的等比数歹U,一 1 ，一…,且胡，出石通3成等差数列,可得2a〔q,a〔 a32(a21 2—),即研a1q162(a1q解得a1则ann1a〔q(2)bn(log1a2n1)(log1%n1)12n1 12n1log1(-) gog1(-)22 22(2n1)(2n1)2n12n1'•••Tn11133512n12n 1 2n12n12n1【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥P-ABCDJL底面ABCO边长为2的菱形，/ABC=60°,AC与BD^于

点QPCL平面ABCDE为CD勺中点连接AE交BDTG,点F在侧棱PD上，且DF-1PD.3（1）求证：（1）求证：PB//平面AEF，⑵若cos⑵若cos2 BPA 求三棱锥E-PAD勺体积.4【答案】（1）【答案】（1）证明见解析（2)叵6（1）以。为原点,OB为x轴，OC为y轴，OP为z（1）以。为原点,量法证明PB//平面AEF;., 2(v3,0,a),由., 2(v3,0,a),由cosBPA一，求出PO41,三棱锥(2)求出PA(0,1,a),PBEPAD的体积VEPADVPADE,由此能求出结果.【详解】（1）证明：四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60,AC与BD交于点O,PO平面ABCD,1E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上，且DF-PD,3以。为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,1,0)设POa,则P(0,0,a),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(73,0,0)E(31—，一,0),ULUl -PB(3,0,a)uurAE330T,2,0)UUTAF设平面AEF的法向量(x,y,z)rn则rnuuivAEuuivAF3—x22.3 x332yiz0n(v3,1,—),auuurQPBgn3PB平面AEFPB//平面AEFuur(2)解：PA(0,1,uur_a),PB (73,0,a)，QcosBPA—4uuuuuu

|PAgPBI

uniuur

|PAgPB|a21g.3a2PO三棱锥EPAD的体积:1VEPADVPADE-SADEPO31八 八一CDAEAO21 ——2-；416【点睛】本题主要考查线面平行的证明， 考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.20.已知函数f(x)aexxa(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的极值;(2)问：是否存在实数a,使得f(x)有两个相异零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)①当a0时，函数f(x)无极值.②当a0时，函数f(x)有极小值为f(lna)lnaa1,无极大值；(2)存在，a(0,1)U(1,)【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，根据a的不同取值范围，进行分类讨论，求出函数f(x)的极值；(1)中的结(2)根据a的不同取值范围，进行分类讨论，结合f(0) 0(1)中的结论，最后求出a的取值范围.【详解】解：⑴因为f(x)aexxa,所以f(x)aex1.①当a0时，f(x)aex10,所以x(,)时，f(x) 0,所以函数f(x)在(，)上单调递减.此时，函数f(x)无极值.②当a0时,令f(x)aex10,得xlna,lna)上单调递减;当x( ,Ina)时，f(x)0,所以函数f(x)(lna)上单调递减;)上单调递增当x(Ina,)时，f(x)0,所以函数f(x)在(Ina,)上单调递增此时，函数f(x)有极小值为f(lna)Inaa1,无极大值.(2)存在实数a,使彳导f(x)有两个相异零点.由(1)知：①当a0时，函数f(x)在(，)上单调递减；又f(0) 0,所以此时函数f(x)仅有一个零点;②当0a1时，lna0因为f(0)0,则由(1)知f(lna)0；什-一1_什-一1_取f(2lna)2lnaa(0a，、人，、1〜a1),令g(a)-2lnaa,

a易得g(a)(a1)易得g(a)(a1)22a0,所以g(a)在(0,1)单调递减,21naa0.所以g(a)g(1)0,所以f(21na)21naa0.a此时,函数f(x)在(1na,21na)上也有一个零点.所以，当0a1时，函数f(x)有两个相异零点.③当a1时，1na0,f(x)f(0)0,此时函数f(x)仅有一个零点.④当a1时，1na0,因为f(0) 0,则由(1)知£(1na)0;1令函数h(a)a1na(a1),易得h(a)1—0(a1),a所以h(a)h(1)0所以a1na,即a1na.又f(a)aea0,所以函数f(x)在(a,1na)上也有一个零点，所以，当a1时，函数f(x)有两个相异零点.综上所述，当a(0,1)U(1,)时，函数f(x)有两个相异零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题，考查了分类讨论思想.21.已知抛物线C：x2=2py(p>0),直线1交C于A,B两点，且AB两点与原点不重合，点M(1,2)为线段AB的中点.(1)若直线1的斜率为1,求抛物线C的方程；(2)分别过AB两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S,证明点S在一条定直线上.【答案】(1)x2=2y(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设直线1方程为yxt,代入抛物线方程，消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得P,即可得到所求抛物线方程；x2(2)求得y——的导数，可得抛物线在A,B处的切线的斜率，由点斜式方程和点A,B2p满足抛物线方程，可得在A,B处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S所在的定直线方程.【详解】解：(1)设直线1的方程为yxt,代入抛物线C:x22py(p0),可得x22px2Pt0,设A(xi,y1)，B(X2,y2),则xiX22p,点M(1,2)为线段AB的中点，可得2P2,即p1,则抛物线的方程为x22y;(2)证明：设A(xi,yi),B%"2),点M(1,2)为线段AB的中点，可得xix2 2,%y24,2由y'的导数为y-,可得抛物线在A处的切线斜率为上，切线方程为2p P Pxi/ 、yyi—(xxi),p由x22pyi,可得xxp(y%),①同理可得x?xp(yV2),②①②可得(xx2)xp(2yyiy?),即为2xp(2y4),IPxpy2p0.可得交点S在一条定直线xpy2p。上.