小学数学讲义秋季六年级A版第11讲进位制进阶

第11讲第十一讲进位制进阶知识站牌

六年级春季讲（二）合选讲（一）六年级秋季进位制进阶级暑期的计数级秋季的规律掌握进位制间的相互转化，利用n进制解决数论相关问题漫画释义第11级下优秀A版教师版1教学目标1. 2. 3. 课堂引入机中的运用，人类发明了十进位制记数法．然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻．究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的计数方法又是什么呢？这要从计算机的工作原理说起．计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的也只有两个状态：磁化和未磁化．近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上每一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用．由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制．0bit）在计算机中是怎么用二进制表示呢？经典精讲一、进制的认识我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。和1。二进制的计数单位分别是20、21、22、23、……，二进制数也可以写成展开式的形式，例1001102125024023122121020。二进制的运算法则：“满二进一，借一当二”。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制间的转化2第11级下优秀A版教师版 3 2 1 0 1234 15253545194 5 1117， 0011， 1015， 0102，所以最后结果是 2第11讲进制间的转换我们只研究整数之间的转换，如下图所示。⑴十进制向其他进制转换。一个数从十进制向其他进制转换时，方法是统一的，连续除以进制，每步写出余数，最后把余数倒写即可。例如求2011 10 10 ⑵其他进制向十进制转换。一个数从其他进制向十进制转换，方法也是统一的，按照位值原理拆开相加即可。例如求1234 ⑶二进制与八进制互相转换二进制向八进制转换时，从个位开始取三位合成一位，缺位处用0填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。 2 2 2 八进制向二进制转换时，则把每一位按照位值原理都分成三位，最后合并即可。例如求

，6

，111101110001(4)二进制与十六进制互相转换二进制向十六进制转换时，从个位开始取四位合成一位，缺位处用0填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。十六进制向二进制转换时，则把每一位按照位值原理都分成四位，最后合并即可。三、进制的判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠以下两个方法：1、数字特征．在n进制下，每个数字都不能大于(n1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制．位进了多少，再推断进制．如：等式345236在什么进制下成立？的因数；第11级下优秀A版教师版3 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 ； 2四、进位制中的“弃(n1)法”根据位值原理，一个十进制的数aka2a1满足：aka2a1a1100a2101a3102ak10k

aaaaaak 21 1 2

ak

(mod9)这个数与它的各位数字之和模9同余．这就是我们常说的“弃九法”．“”n(aaa)nk 21

an0an1an2ank11 2 3 (aaa)nk 21

aaa1 2

即在n进制下，一个数与它的各位数字之和模(n1)同余．如：(24102)6除以5的余数与倍数的若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数．知识点回顾1. (1)请用“二进制”写出前10个正整数；(2)请用“三进制”写出前10个正整数；【分析】 2 2 2 2 2 2 2 2 1,2,10,11,12,20,21,22,100,101；2. 【分析】由于所给出的数位数比较多，我们先从低位写起：3. 【分析】⑴

（463）4826834646832564831228813210

（5FC）5162151612161280240124第11级下优秀A版教师版第11讲 10 2422212102522

……1……1……0……15. 把9865转化成五进制、八进制，看看谁是最细心的．【分析】(9865)(303430)10

(9865)(23211) 6. 【分析】⑴列竖式： ⑵列竖式：11

10111 ⑶列竖式： ⑷列竖式：

1111111111 例题思路一、n进制的认识例1：n进制的计算例2：n进制的互化例3：n进制的判断二、n进制的应用第11级下优秀A版教师版5例5：弃n1法例1①(101)2(1011)2(11011)2________；2 2 ③(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8________；

(101)(1011)(11011)(5)(11)(27) (28)(11100)；2 2 2 10 10 10 10 ②可转化成十进制来计算：2 ③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n．原式(63121)8[(1247)8(26531)8][(16034)8(1744)8]

(63121)(30000)(20000)(13121)8 8 8 【分析】⑴列竖式： ⑵列竖式：11101+10101101得

－1101110

110011

题⑵也可先变形为如下形式再解：我们可以看出十进制数运算中的加减法运算律在二进制中仍适用．例2【分析制数．十进制数在其中起到了中介的作用．（125）182285

641656第11级下优秀A版教师版20200925131第11讲

【想想练练】把十进制数2009转化为八进制数．【分析】采用除八倒取余数法：

3 【分析

(abc)a62b6c

36a6bc；(cba)c92b9a81c9ba．所以36a6bc81c9ba，于是35a3b80c．所以，b0或5．①若b0，则35a80c，即7a16c；由于(7,16)1，并且a、c都不为0，所以a16，c7，但是在6、9进制下，不可以有一个数字为16．②若b5，则35a3580c，即7a316c；考虑两边除以7的余数，可知2c除以7那么35a15802，可得a5．于是(abc)6(552)6562562212．所以，这个三位数在十进制中为212．例3算式15342543214是几进制数的乘法？（学案对应：学案3）【分析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是现在为4，说明进走20416，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．5第11级下优秀A版教师版7进制与八卦Leibniz的二进制后，他收到了曾在中国工作过的传教士寄的《伏羲六十四卦次序图》与《伏羲六十十分敬佩，对易经给予了非常高的评价．0010，011，100分别代表0-4这几个数字．而在易经八卦中，通过阴阳引申，就可以表示宇例41次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？⑵小马虎装了10箱零件．但他没有注意自己的马虎性格，混进了几箱次品进去，已知每件零件重1？（箱的零件足够多）把装有次品、不及格品的箱子分辨出来？⑷小马虎怕再次出错，于是找来了朋友小迷糊帮忙，结果反而把零件搞得更乱了！这次6箱零件中马虎想照搬上次的方法却失败了！请你再为他想一个好方法将箱子分辨出来！这样共取了12345678910=55（个）钢珠，重量是：5510=550（克），如果轻了n（1n10）克，那么第几号箱就是次品．在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品．总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个是．钢珠，从2号箱中取2个钢珠，从3号箱中取4个钢珠，从4号箱中取8个钢珠……从10号箱中取512个钢珠，即每箱分别取(1)、(10)、(100)、(1000)……

(1000000000)个8第11级下优秀A版教师版第11讲5、9箱为次品．

(100)、……(100000)，即1、3、9、……、243个．这次我们 中的哪些数字组成，即看n的三进制表示中哪几位为1或2即可．其中1表示比次品轻1克，即标准品；2表示比次品轻2克，即不及格品．

3580424(120201)

，即第1、6箱为标准品；第2、4箱为次品；第3、5箱为不及格品．变为：每个次品比标准重2克，每个不及格品比标准轻1克．现在零件也有3种状态，若将标准重量看作1，那么次品、不及格品重量分别为0、3，由于有3的存在，因此我们需要构造四进制才可区分三种状态．与上题类似，每箱分别取零件

(10)、

(100)、……

(100000)，即1、4、16、……、1零件比次品轻2克，即标准品；3表示每两个零件比次品轻3克，即不及格品．如实际重量和为13198克，15015131981817，181723634(320302)，即第1、5例5算式14265253641215566在八进制下是否正确？能不能快速验证呢？（学案对应：学案4）【答案】我们可以用“弃七法”求各数除以7的余数，再利用余数定理验证．在八进制下，14265除以7余4，2536除以7余2．根据余数定理，得数应与428除以7的余数相等，即1，而少？第11级下优秀A版教师版9有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断这条金链吗？答案：断开第三环，从而得到1，2，4环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环杯赛提高在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为．少岁？

a0(3)

(3)

a310303a(10)以小招的年龄不可能是一位数．

(3)

因为ab(10)10ab，ab0(3)a9b3019a3b，所以10ab9a3b，即a2b．又因为ab0是三进制数，a，b都小于3，所以a2，b1．所以，小招为21岁．③设小招为abc岁，由题意有，abc(10)abc0(3)，因为abc(10)100a10bc，(3)

a33b32c327a9b3c，所以100a10bc

27a9b3c．即73ab2c．又a、b、c都小于3，所以上述等式不成立．综上可知小招的年龄是21岁．1第11级下优秀A版教师版第11讲附加题1. 【分析】⑴列竖式： ⑵列竖式：11

10111100 ⑶列竖式：10 11101+10101

01101

110011 题⑷也可先变形为如下形式再解： 我们可以看出十进制数运算中的加减法运算律在二进制中仍适用．

计算：

)【分析】根据位值原理可知，100a10bc51264c8ba，整理得9(11a7c)2(256b)．因此256b必是9的倍数，b4．代入得11a7c56，即11a7(c8)，因此必c8是11的倍数，c3，最后计算除a7．这个三位数是743．4. 示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是__________．●●●●●○●●●●○●●●●●○○●●●○●●●●●○●○

表示168226第11级下优秀A版教师版15. hadewugens”，那么20进制中读音是“dewhanawugens”的数指的是十进制中的数 20 6. 如果2n1能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？【分析】要使2n除以31余1，由于20、21、22、23、24、25……除以31的余数分别为1、2、4、另解：本题也可以从二进制进行考虑．由于

3111111(2)，

2n100000000(n个0)，(2)2n1100000000 (2) (2) (2)(n个1)能被11111整除，也就是要使n能被5整除．(2)7. 智能文具公司用以下方式计算原子笔：12支原子笔算为1打，12打原子笔算为1箩，用记号811'6"代表6箩11打又8支原子笔。请问37'10"与68'3"相差多少支原子笔？的原子笔支数是(103)1212(87)12(63)993支。知识点总结一、进制的判断1、数字特征：n进制下每个数字不超过(n1)2、尾数特征：进位部分的因数二、进位制中的“弃(n1)法”若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数．家庭作业

567(

【分析】本题是进制的直接转化：8 5 2. 【分析】原式1234(456322)12341000234；原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438．1第11级下优秀A版教师版第11讲22013 2503 2125……0 62……1231……215……127 23 21……1 4. 在几进制中有413100？【分析】利用尾数分析来解决这个问题： 10 所以，n只能是6．5. 茶叶店老板要求员工提高服务质量开展零等待活动当顾客要买茶叶的时候快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来