小学数学讲义暑假五年级第12讲分组与配对超常体系

讲站牌五年级秋季何计数进阶春季情况考虑级春季级暑假与配对级秋季最优化问题中的分与配对释义第9级上超常体系教师版1引入我国历史上有许多以弱胜强的著名战例，齐魏马陵之战就是其中之一．公元前344年，魏国大举进攻韩国，齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国．孙膑并不直接出兵韩国，却采取了“围魏救赵”的策略，驱军直逼魏国的都城．魏将庞涓不得不回师迎战齐军．魏军一路追击齐军，庞涓看见齐军宿营地的灶一天天在减少，根据灶的数目可以推算出齐军的数目，断定齐军已经严重减员．便轻骑冒进，猛打穷追．殊不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计，结果庞涓中了齐军的埋伏，全军覆灭．将茶具和茶叶放在一起，当我们要使用这些东西的时候就会非常方便；而在数学中，我们习惯把1例子体现了我们数学中一个非常重要的思想——分组与配对．利用了分组配对的思想快速解决了复杂的计算．目标1.掌握分组与配对的思想2.灵活运用分组与配对，解决计数，数论等问题．精讲1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．思路．2 第9级上超常体系教师版 1计算：(1)1000999-998-997996995-994-993

108107-106-105104103-102-101(2)（1351989）-（2461988）(3)100299298297296295294293242322212(4)100250299249298248251212(：1)【分析】(1)原式1002 99

42 22

=4100(4)法1：直接配公式 992 982 512 502 492 12 2 502 492

=3383500=252500法2：配对思想1002

992492

=(10099981)50505050252500法3：配对思想2 2

982-22

2 2

2

=100298100961009410021002500=(1009896942)1002500=255000－2500=2525002 1319 25313743495561 142026323844505662 152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965(学案对应：带号1)较慢，这里不写具体过程）第9级上超常体系教师版3法2：先算出1到65的自然数和，再减去数列6，12，18，，60的和：法3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数．⑵第3行为中间数列，求和再乘以项数：（39152127333945515763）5181533551815．3由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个没有重复数字的四位数？这些四位数的和是多少？【分析】9个数字共可构成9×8×7×6=3024个不同的四位数．当存在符合条件的四位数abcd时，因此所有符合条件的数之和为3024÷2×11110=16798320高斯的恩人在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希Friederich于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要。当舅舅去世后，高斯不无伤感地说:“舅舅去世使我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或泥瓦匠。4有多少种不同的选法．【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和4 第9级上超常体系教师版构成(100-a)分．因此只需要考虑50以内不能构成的币值即可．49中间的所有奇数．因此50以内不能构成的币值为1，3分．50以上不能构成的币值为100-1=99和100-3=97分．共有4种不能构成的币值． 种不同选法.【分析】因为1239192945，所以这9个数的和是3的倍数，因此，只需要剩①从3、6、9中任选2个有3种不同选法.种不同选法.5有四人的体重都是整千克数他们两两合称体重共称了五次称得的千克数分别99113、125130、144.其中有两人没有一起称过那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克(学案对应：超常3)【分析】本题考查配对思想.设四个人的体重为a,b,c,d不妨设abcd，则(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)注意到99144113130243，由于四人两两称重最多称出6个体重（前提是4人体重ab144acbd130 cd

，还剩ad与bc的取值，由前面的方程组得，

ad31为奇数，所以ad125，解得a78,d47，从而b66,c52，两人没一起称过，显然是和为118的两人，这只能是b,c，所以，这两人中较重的那人的体重是66千克.6某大型活动共发行了100万张彩票，编号分别从000000至999999，如果彩票的前三位数字之和与和是13的倍数．(学案对应：带号3)是13第9级上超常体系教师版57【分析 a为最简分数时，328

也是最简分数．而这两个数之和为1.因此此题变为先求出分子与328互质的数有多少个，再除以2即可．3282341,与328互质且小于328的数 2

个．所以和为160÷2=808最简分数可以写成

，试说明m是质数137的倍数.【分析】我们要凑到137.于是我们想到

7130

131!m137nM，其中M是自然数.由于137是一个质数，且(131!,137)1，所以m是137斯智断瓶中线卡尔•弗利德里希•高斯（1777－1855年）是德国19世纪著名的数学家、物理学家。的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。一个阳光明媚的中午，小伙子们聚到一起冥思苦想，终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备捧着书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”你知道高斯是怎么弄到瓶中线吗？答案：高斯无意地看到明媚的阳光，又望了望那个瓶子，从口袋里拿出一面放大镜，瓶底，大家发现棉线被烧断了。6 第9级上超常体系教师版点总结1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．作业1.100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,…,第99个(按从小到大的顺序取),再把这50个数相加,和是多少？12.下列数阵中有100个数，它们的和是多少？111213121314131415

192020212122 2021222829慢，这里不再写具体过程）法2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列求和计算．2040，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和201002000．3.将自然数1，2，3，…，100依次无间隔地写成一个多位数：12345…99100，求这个多位数的所有数字之和．950)，(99)，(100)．这样前50组每组的数字和均为18，最后一组和为1，数字之和为50×18+1=9014.从1，2，3，4，5，6中选取若干个数（至少选一个），使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有 【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和第9级上超常体系教师版7共2(2+5)+4+1=19种不同的选法．5.有五个重量都互不相同的箱子，每个的重量都小于100kg，将这些箱子两两组合一起称重，得到的结果分别为113,116,110,117,112,118,114,121,120与115kg.请问最重的箱子的重量为多少kg？【分析】设五个箱子的重量分别为a,b,c,d,e，且abcde．因为每个箱子都被算了4次，因此 另外，由题意可知de121

62kg6.某大型活动共发行了9999张彩票，编号分别从0001至

.因此所以“幸运的”彩票编号之和为(50+1)×9999=5099497.分母为1996的所有最简真分数之和是多少？【分析 a为最简分数时，1996】当1996

÷2=498.8.已知有一个最简分数可以写成

，试说明m是质数2011的倍数.

1

201112010

201122009

201132008

201110051006是一个质数，且(2010!,2011)1，所以m是2011的倍数.班学案【超常班学案1】定义如下运算：

ab

baba

,

baba

，那么8 第9级上超常体系教师版

ba baba ba

序，我们将所要求的算式中形如(ab)，(ab)的配成一对，先相乘，可以得到1【超常班学案2】将自然数1，2，3，…，369依次无间隔地写成一个多位数：12345…368369，求这个多位数的所有数字之和.【分析】求数字和时，凑“9”是个关键的想法．此题中可将数分成两部分，—29单独计算，分组如下(，282，27，26)，…，(1529)；30--分组如下：(，369(3136832，367，20015×11+21170=3735所有可能．AB,AC,AD,BC,BD,CD 88187121154275.不妨设ABCD,则有：AB88CD187AC121BD154从上面可发现C-B=121-88=33,所以C+B必为奇数．进而可知129,143中必有一个是C+B综上所述,一共有两种可能：40、48、81、106或33、55、88、99.【超常班学案4】试说明：将和1

m时，m不会是5的倍数.5

25A

，其他的分数的分子都是数.

1 2 25A 25A

5x26 25A

.

5的倍数.进而有原式

5BA25A

，其中B是一个自然数.而A是不能被5整除的自然数，所以5BA化简之后的m也不能被5整除.第9级上超常体系教师版9123班学案190119021903190419021903190419051903190419051906

52 194819491950195119491950195119529798【分析】法1：我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，通过观察，每一列的相邻两个列，那么最后一行的和为：9627550（491）98675，所以，方阵中所有数的总和为（9627598675）4924776275．13个数，…，9个数，先求每次取出数的和，再求出所有和的总和．则这个总和是多少？,(0,9,(1,8(2,7(3,6,4,5次．总和为512÷2×45=11520运的”彩票编号之和．的情况．因此所有“幸运的”编号之和为999999的倍数．abc可以从00