小学数学讲义暑假五年级第3讲棋盘中的数学优秀A版

第三讲棋盘中的数学站牌五年级暑假胜策略级秋季级寒假级暑假的数学级春季智巧趣题棋盘中的染色与覆盖问题．主要是黑白染色释义第9级上优秀A版教师版1引入你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢·帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！目标1、理解并掌握黑白染色方法，利用黑白格是否相等解决1×2能否覆盖，座位、礼物能否互换等问2、理解并掌握黑白染色方法，利用奇偶性解决棋盘走格走点问题，3、掌握并运用相邻格黑白染色方法，利用差不变、奇偶性不变等性质解决操作类问题.精讲本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答＂能＂与＂不能＂的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力．这里的染色问题不是要求如何染色然后问有多少种染色方法的那类题目的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法通过将问题中的对象适当染色以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系再经过一定的逻辑推理便能得出问题的答案题不需要太多的数学知识但技巧性、逻辑性较强要注意学会几种典形的染色方法思路2 第9级上优秀A版教师版1（1）一种骨牌是由形如 不重复地完全覆盖？（A）3×4（B）3×5（C）4×4 （D）4×5（E）6×3成1×2的七个小矩形?（1） （2） （(3)一个8×8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2×1的“骨牌”(形如 把棋盘上的62个小格完全盖住?（对应学案：学案1）【分析】(1)B。奇偶性。,7,7棋盘(1)可以被7个1×2的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:（3）不能.原因是每一个2×1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样第9级上优秀A版教师版3但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,因此不能盖住.2五年级一班有35名同学，共分成5排每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫（学案对应：学案2）5与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．7位与白色座位都成了邻座．因此每位黑格同学都把礼物送给了白格；白格都把礼物送给了黑格．但实际上图中有25个黑格，24个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．际象棋的历史关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说2000年以前，印度有一么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗.每一方都有一个首，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子一方面往西传到波斯、阿拉南亚和中国。4 第9级上优秀A版教师版3(1)有一次车展共4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?2（学案对应：学案3）因此不可能不重复的走遍每个展室..6个黑点，8个白点，白点比黑点多2个，因此不能.【拓展】有一次车展共6636个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是白格，从入口到出口共要走35步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.4第9级上优秀A版教师版5长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由.（学案对应：学案4）【分析】不能，对45长方形作黑白染色黑格数白格数，但若对①、② 、③、④ 、⑤这五个图形进行黑白染色，图①②③⑤黑格白格但图④黑白，∴办不到．

是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，1

(2) 第9级上优秀A版教师版【分析】(1)将左图黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数55是5．(2)同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表⑵中九个数的总和是4，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表⑵．想想练练：左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右下表中A处的数是

→…→【分析】将左图黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是+3+57+9--4-6-=5，经过若干次变化后，差仍【拓展】对于左表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去2和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而右表中九个数的总和是0，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成右表．后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不击案：有两种布局方法：第9级上优秀A版教师版7如图，对图1中的数进行如下操作：⑴下或左、两个数；⑵若这两个数都不小于1，则两个数都要加1或减

1 2分析的图形涂成黑白相间图案白色代表由于是每次上、下或左右同时加１或者同时减１，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变动，所以他们的总和之间的差是没有变化的．018所以=19．1.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【分析】甲．如右图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格 第9级上优秀A版教师版84次转弯）2.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当，【】如图所示，点用黑、白两色染色老鼠从黑点出发，到一个白（k为自然数）.在81,82,83,84中，只有83除以4的余数是3，因此丙说的是正确的.3.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当乙二人有一人说对了，那么谁正确？【分析】甲．如右图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格如4.在66的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.4如果使所用的纸片尽量少，即要用9张“凸”形纸片.对这个66的方格表按国际象棋棋第9级上优秀A版教师版94张“凸”形纸片覆盖1个44的方格表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L”10张.5.(1)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(1)所示的长方形如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(2)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1 【分析】(1)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能．(2)如下图进行黑白染色，可发现共15黑，13白，而“T”字形恰好可以让黑比白多2.因论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)．通过右图可发现可以办到．点总结棋盘覆盖问题的解决方法1.判断面积；2.通过适当的染色方式区分出理论与实际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案．常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色（选讲：可区分“一”字形)3.条形染色（选讲：可区分“L”形和“田”字形)10第9级上优秀A版教师版1.下图是由62个方格组成的图形，能否用31个

图不重复地盖住它且不【分析】这种覆盖问题是典形的用染色方法解决的问题之一．用来 覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白总共盖住的黑格30漏地盖住．2.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生.一周后，每个学生都必须和他前、后、左、右相邻的某一同学交换座位.问：能不能换成，为什么【分析】如右图所示，25个座位分为12白13黑.相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，的.3.有一次车展共5525个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所，【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口然，因此不可能不重复的口至出口遍每个展室.4.在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减第9级上优秀A版教师版111，由图⑴8，由图⑵可知：白格数之和黑格数之和(A7)88，所以A9．5.用11个 【分析】如图，对88的正方形黑白相间染色后，发现 32个黑格，故不可能按题目要求盖住．注意：本题中每个 盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑6.如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?【分析】由小虫的爬法，仍可对方格黑白相间染色于是小虫只能由黑格爬到由白格爬到黑12第9级上优秀A版教师版20图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到．邻座。在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，礼物呢？一个白色格子的人交换到黑色格子里，如果可以的话，黑白数目应该一样，但实际黑白格不能【学案3】下