小学数学讲义秋季五年级超常第2讲循环小数超常体系

第二讲站牌级秋季算进阶级春季则混合运算级暑假级秋季级暑假相减法；分数与循环小数的互释义第9级下超常体系教师版1引入在前面的章节中，同学们已经对分数和小数的计数有了一定的认识，也学习了分数和小数的加1÷142857次不断重复出现的小数，叫做循环小数.今天我们就一起来学习循环小数.目标1、分数转化成循环小数的判断方法；2、熟练掌握循环小数化分数的法则；3、掌握循环小数的四则运算.精讲一、分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数.②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数.二、循环小数化分数导以下算式

•• 0.12 123 0.123 999

0.123499

0.12 0.123

0.1234

•• 0.1234

0.1234

••0.1234为例，推导

•• 0.1234

•• ••0.1234A，将等式两边都乘以100，得：100A12.34；••再将原等式两边都乘以100，得：10000A1234.34

两式相减得：10000A100A123412，所以

2 第9级下超常体系教师版循环小数化分数结论字所组成的数字所组成的数与的数的差 a

•• 0.ab

•• ab ab 9910

••0.abc

abca点回顾1.计算： 1313 1313【分析9，1，2.计算： 510 510 612【分析3.计算： 【分析

274.计算： 思路例1：分数化小数例2：循环小数化分数第9级下超常体系教师版3例4：循环小数化分数后的约分问题5：7：81（1）将下列分数化成有限小数

_____

___

_____

观察分母，有什么特点提示：从分母的因数去考虑（2）将下列分数化成循环小数

___

____

___观察分母，有什么特点提示：从分母的质因数去考虑总结：当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有_________或_________,分数可化为有限小数；当分数为最简分数时分母的质因数中只含有____________________,分数可化为纯循环小数当分数为最简分数时，分母的质因数中既有_________，又有_________,分数可化为混循环小数.【分析】（1）0.75 0.875 0.0625 0.4 0.36 0.008 0.3 0.53

0.042857122（1）将下列纯循环小数化分数

••0.24

• 0.407

• 4.38610.9（2）将下列混循环小数化分数51

••0.409

••0.2954

• 2.76120.09【分析】（1）14101

4 第9级下超常体系教师版（2）233（1）计算•• ••0.430.52• （2）计算• 4.32.4（3）计算

• ••0.10.23• 0.80.2•• 1.240.3

•• • 0.210.347• ••0.20.01 • •• • 0.150.2180.3

•• ••2.2340.9811 【分析】（1）循环小数做加减法时，可以列竖式找规律

1 21（2法时，将循环小数化成分数计算 1322 4.32.442

10.592•• 1.240.31

••3.72

21823 9909111371 993111

0.012345679(用到了我们熟知的123456799111111111)•• 2342 2.2342

•• 0.98

，所以

•• •• 2.2340.982 990 990

•• ••2.2340.98111

•• ••0.090.020.113第9级下超常体系教师版5神奇的142857天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数越加越大，每一星期一轮回，你不需要计算机，只要知道变化规律，就可知道继续累加的答案：142857×1=142857（原数）142857×2=285714（轮值）142857×3=428571（轮值）142857×4=571428（轮值）142857×5=714285（轮值）142857×6=857142（轮值）奇之处：,3、142+857=999,14+28+57=99,1+4+2+8+5+7=27（2+7=9）神奇吧？它还有更神奇的地方等待你去发掘！如果你还发现了其它的神秘，请与大家分享！4 0.ABC，化成最简分数后，分子和分母的和为35，求这个最简分数是多少？【分析】设这个最简分数为nm，根据题意有

• ABC ，且

mn35（mn），所以m为999的因数，且35

5生将1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果应该是多少？【分析

• 1.231.230.003,即0.003a0.3a • 0.003

90,因此，正确结果为：1.2390+0.31116 第9级下超常体系教师版6已知： • 70.142857， • 70.285714， • 70.428571， • 70.571428， • 70.714285，

• 0.857142你可以通过下图来顺时针记忆这些数.通过上面的阅读，请回答下面的题：（1）将7化成小数后，小数点后第100位上的数字是________.（2）将7化成小数后，小数点后前100位的数字和是________.

（1）1【分析】 14,,8之和为2716+1+4+2+8=447.66包含了:1,4,2,8,5,7,所以6个数为一个周期，1826=302，一共有30个周期，一个周7，a2（4）7列.每个循环节6个数的数字和为27.2013277415，于是，循环节的前若干位数字和

0.142857,142815;0.285714,28515.所以a=1或2.7我们把只由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07、77.007都是“特殊数”.如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？(学案对应：超常4)第9级下超常体系教师版70就变成另外一个等式，其中等式的左边是7，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这 道题目就变成用全由0和1组成的数，相加得到0.142857

，显然需要至少八个这样的数，例如• • • • • • • • • • • • • • • • 0.1428570.10.0111110.0101110.0101110.0001110.0001010.0001010.0001008（1）一个分数n是一个循环小数，循环节有1位，求所有的满足要求的n有几个？（2）一个分数n是一个循环小数，循环节有2位，求所有的满足要求的n有几个？（3）一个分数n是一个循环小数，循环节有3位，求所有的满足要求的n有几个？（4）一个分数n是一个循环小数，循环节有6位，求所有的满足要求的n有几个？n的因数，999999的因数有64个，999的因数有8个，99的因数有6个，9的因数有3个，根据容斥原理，符合要求的n有6486353个.它们的和等于9.（答案不唯一）点总结1.小数化分数结论纯循环小数 8 第9级下超常体系教师版字所组成的数字所组成的数与的数的差 a

•• 0.ab

•• ab ab 9910

••0.abc

abca2.循环小数加减法可以用竖式找规律3.循环小数乘除法要先化成分数再计算作业a可以化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？a可以化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？a(2)小于20的合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，且1a可以化为一个循环小2. 将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第100位的数字：

【分析

• 0.2857142

• 0.307692

• =0.5924

• 0.3378按照周期的知识可以得3. 【分析4.

• •

【分析】原式 100101 111 900 900 900

5. 0.30.030.0032009（）第9级下超常体系教师版9【分析

0.30.030.003 0.3，所以括号中填2009360276.纯循环小数 0.ABC写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数.【分析

• ABC 999 3337

21

• 0.567

7.给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数.已知小数点后第100位上的和“3”8.真分数

a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1000，那么a是多少？【分析

a循环节的特殊性：分母为7的最简分数，循环节都是1,4,2,8,5,7这6个数的不同排列.每个循环节6个数的数字和为27.100027371，于是，循环节的前若干位数字和为1.那 7 班学案【超常班学案1】456在组成的所有分数中，能够化成循环小数有多少个【分析】当分母是3,6,7,9时，这个分数是循环小数，8【超常班学案2】• •• （1）1.21.24

（2）

• •• 0.670.2740.12________

【分析】（1）原式 11123 11 10第9级下超常体系教师版

11 14 1211 19011 4 90 3 1190 33 90 【超常班学案3】 0.081与 0.200836相乘，小数点后第2008位是

【分析

• • 0.081

• • 0.2008369999

3 200836 37 999999

• 0.016284

200863344，所以第2008位是2.【超常班学案4】点应分别加在数字______________________.5 ,18123班学案1111 ，，，，当中有多少个纯循环小数，多少个混循环小数.2345 99100【分析】分母仅有2，5以外的因数才产生纯循环小数，2含2，因数----1002=50个含5，因数----1005=20个同时含2，5，因数-----10010=10个实际数量：50+20-10=60个纯循环小数的数量：99-60=39个.248163264的有1，1，1，1，1共5个，含有两个5的有1，1，1共3个，一共14个，那么循环510204080 2550100第9级下超常体系教师版11循环节的小数即可，可知循环节的小数即可，可知13的循环节是076923，则13 2的循环节就是0769232153846计算下列各题：

0.18

39 88 117 44 ••

•• 11 11 2125 11125 111251251113752002287化成循环小数后第100位上的数字之和是__