小学数学讲义秋季五年级A版第6讲神奇的9优秀A版

第6讲第六讲神奇的9站牌级寒假倍数进阶级春季级暑假合数进阶级秋季级秋季倍数初步数字谜和数论的弃九法释义第9级下优秀A版教师版1引入啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？目标1、掌握加减法数字和与9的关系2、掌握多位数的计算中数字和与9的关系3、了解9在余数与数字谜中的应用点回顾9的整除特征：一个数各数位数字和能被9整除，这个数就能被9整除.1. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数.2. 【分析】1089×9=98013. 12345679思路2 第9级下优秀A版教师版第6讲.1通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A的数字之和为5,B的数字之和为

A+B的和的数字之和为____.(2)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A+B进位1次,则A+B的和的数字之和为____.(3)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B没有借位,则A-B的差的数字之和为____.(4)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B借了1次位,则A-B的差的数字之和为____.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：学案1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,…可发现结果为15+13-9=19()555535=2051274126=1115-13=2()555418119-139=11xx原因:求和时,会将低位的10当成高位的1用,因此数字和会减少9;求差时,会将高位的1想想练练：A的数字之和为46,B的数字之和为54,A+B进位9次,则A+B的和的数字之和为____.【分析】46+54-9×9=19【拓展】A的数字之和为46,B的数字之和为54,A与B作差（大减小）时，有3次借位.那么差的各位数字之和可能为多少2,

1209（学案对应：学案2）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位2次，由例1+构造如下：235+974=1209.（仅需构造一组即可） 1489第9级下优秀A版教师版3×1=31.构造如下：614+875=1489.9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_______．

第十一2006【分析】法1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是2现进位，那么“一”“杯”=9，“届”“赛”=16，所以7个汉字代表的7个数字之和等于1991635．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是3、6、4、5、7、9时可满足条件(答案不止一种)．”1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设1～9中则202ab8917，其中满足除以9余1的只有10，所以ab10，4 第9级下优秀A版教师版第6讲奇的九“九九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照"阴阳"来说，奇数为阳，偶数为阴，而九数中最大的，称为"极阳数"。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。3（1）111111×999999乘积的各位数字之和为______.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_____.（3）1993×123×999999乘积的各位数字之和为______.k个9

(其中M为自然数，且

M≤999...9k个9

)乘积的各位数字之和为_______．1989个

乘积的各位数字之和为_______.（学案对应：学案3）于是我们采用添项凑整，简化运算.数字之和为9654法2：原式=111111×(1000000-1)213×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……第9级下优秀A版教师版5n个3

22...2177...78(n-1)个2(n-1)个7

，则原式数字之和26176863法2：原式9999999222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法3：原式99999992222222222222200000002222222（3）我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是1993×123是有点繁琐．则M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M=abcdef000000-abcdef相减时借位6次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=544

999...91000k个9 k个0

MM

-M的数字之和+k=9k1989个1 1989 1989个9 1989

..99

99...9919891989个

的各个位数字之和为：9×1989=179014（学生版中仅有1，2，3题）根据整除的特征，我们知道一个数能否被9整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除9样的.（）57359687245735698456789（2）12345678910…99（4）12345678910…20122013的数字之和为A，A的数字之和为B，……，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是______.【分析】（1）除以9的余数可以在数中将和为9的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分别为：3，8，0，0，4，099接9个数直接划去.99可以分成11组连续9个数.因此余数为0.（3）等差数列中9个连续的也可以直接划去.1到99中的奇数共50个.50÷9余数为5，（4）实际是求除以9的余数.2013÷9余6，剩下前6个数.而123456÷9余3，因此最后6 第9级下优秀A版教师版第6讲剩下的一位数为3.【拓展】123456789101119992000÷9的余数是_____【分析】任意连续9个自然数之和必定是9的倍数，因此在连续数求除以9的余数时，可以9个数则数a共有_____位，数a除以9的余数是___.76.所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4.5（1）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2010（2）将0-9放入下面的10个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_____.□□□□+□□□+□□－□=2010（3）下面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_______.（学案对应：学案4）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数x的余数相同.右边的余数是3，当x=3时，左右余数会相等.所以减数处的数字是3.6为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位案.95=1757第9级下优秀A版教师版7种答案.-想想练练：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2013【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由母代表相同的数字，那么六位数ABCDEF是多少？答：ABCDEF=142857提高那么加数中的三位数的最小值是多少？ 【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的1208 第9级下优秀A版教师版第6讲点总结xk个9k个9

)乘积的各位数字之和9k.作业1. 【分析】100-50+5×9=952. 下边的加法算式中，每个“□”内有1个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到

法2：三个数字相加，最高可进2位.上式中均可进2位，因此方框内的数字之和最大为=60

5553339 9个3

乘积的各位数字之和为_____.【分析

5553339个5 9个3

555

999N999 9个9 9个9 ，N为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为9×9=81.4. 【分析】20÷9余2，留下前2个数.12÷9余3.因此最终的余数为35. 等式成立则其中未被选中的数字是_.□□+□□□+□□□□=3102第9级下优秀A版教师版9【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由6. 将数字1至9分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？ 10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845．所以三个加数的3最小是1125．A版学案用竖式做减法运算时，有2次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是____.【分析】9-10+2×9=17,为可能为多少？ 1087此时整个式子相加仅有一次进位，因此加数的数字之和为1+8+7+9×1=25.构造如下：123+964=1087.+2429+658=1087【学案3】6666666×234234乘积的各位数字之和为_______.【分析】6666666×234234=3333333×468468=9999999×156156，根据