随机变量市公开课金奖市赛课一等奖课件

第二章随机变量及其分布随机变量离散型随机变量随机变量分布函数连续型随机变量一维随机变量函数分布第1页一、随机变量概念产生在实际问题中，随机试验结果能够用数量来表示，由此就产生了随机变量概念.2.1随机变量概念第2页1、有些试验结果本身与数值相关（本身就是一个数）.比如，掷一颗骰子面上出现点数；天天从武汉下火车人数；昆虫产卵数；第3页2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们能够引进一个变量来表示它各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

正如裁判员在运动场上不叫运动员名字而叫号码一样，二者建立了一个对应关系.第4页

例1投掷一枚硬币，观察出现正反面情形。试验有两个可能结果：

我们引入一个变量以下：—出现正面—出现反面这个变量能够看作是定义在样本空间上函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果不一样而随机地取值1或0。第5页例

2观察某生物寿命（单位：小时），令：X：该生物寿命．则X就是一个随机变量．它取值为全部非负实数．表示该生物寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物寿命不超出1500小时这一随机事件．第6页这种对应关系在数学上了解为定义了一个实值函数.w.X(w)R称这种定义在样本空间上实值函数为随量机变简记为r.v.或R.V.(RandomVariable)

第7页定义设随机试验为,其样本空间为假如对于每个，都有一个实数

和它对应，于是就得到一个定义在上实值单值函数，称为随机变量。简记为R.V.X。第8页而表示随机变量所取值时（实数）,普通采取小写字母x,y,z等.随机变量通惯用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示第9页二、随机变量分类通常分为两类：随机变量离散型随机变量非离散型随机变量(连续型随机变量)全部取值能够逐一一一列举全部可能取值不但无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.第10页为了描述随机变量X，我们不但需要知道随机变量X全部可能取值，而且还应知道X取每个值概率.为此我们有以下定义：2.2离散型随机变量及其概率分布假如随机变量取值是有限个或可数个(即能与自然数集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量，简写为D.R.V.。第11页定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X分布律或概率分布。也可列表为X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …第12页pk0,k＝1,2,…;(2)

2.分布律性质第13页例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出5个数字中最大值．试求X分布律．解X取值为5，6，7，8，9，10．而且详细写出，即可得X分布律：第14页例2

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中概率是p，求所需射击发数X

概率函数.解:显然，X可能取值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是

随机变量X这种分布称为几何分布.第15页

例3如右图所表示，从中任取3个球。取到白球数X是一个随机变量。X可能取值是0,1,2。取每个值概率为0.10.60.3其分布列为第16页几个常见离散型随机变量分布1．两点（0—1）分布若随机变量分布列为

其概率分布表为则称服从参数为两点（0—1）分布．记为X~B(1,p）或X~b(1,p)注

两点分布用于描述只有两种对立结果随机试验.第17页(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生次数,P(A)=p,若则称X服从参数为n,p

二项分布，记作0–1分布是n=1二项分布第18页

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处概率取得最大值

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处概率取得最大值注意（P36例6）第19页例4独立射击5000次,命中率为0.001,k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及对应概率；(2)命中次数不少于1次概率.解：(1)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)第20页(2)

小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大约率事件.本例启示第21页例5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确．某学生靠猜测最少能答对4道题概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．第22页所以第23页(3)泊松（Poisson）分布其中是常数，则称X服从参数为Poisson分布.若随机变量X概率分布为：记作第24页泊松分布应用是相当广泛，比如电信传呼台天天接收到传呼次数，某繁荣交叉街口每小时经过车辆数等都服从泊松分布，而且由下面定理能够看到二项分布与泊松分布有着亲密联络。第25页Poisson定理第26页Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，p较小,而适中,则能够用近似公式在实际计算中，当时，就可用泊松分布来近似二项分布．

第27页例6

为确保设备正常工作，需要配置适量维修人员.设共有300台设备，每台工作相互独立，发生故障概率都是0.01.若在通常情况下，一台设备故障可由一人来处理.问最少应配置多少维修人员，才能确保当设备发生故障时不能及时维修概率小于0.01?我们先对题目进行分析：第28页解：设X为300台设备同时发生故障台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配置N个维修人员，所求是满足P(X>N)<0.01最小N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3泊松近似第29页即最少需配置8个维修人员.查书末泊松分布表得我们求满足最小N.N+19,即N8第30页2.3随机变量分布函数

一、分布函数概念.

定义设X是随机变量，对任意实数x，事件(Xx)概率P(Xx)称为随机变量X分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P(Xx).显然，对任意第31页二、分布函数性质

1、单调不减性：若x1<x2,F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1,且

3、右连续性：对任意实数x，第32页用分布函数表示概率第33页普通地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为离散随机变量分布函数第34页例1

设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X分布函数。第35页2.4

连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义.

设随机变量X分布函数F(x)，若存在非负可积函数f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，简记为C.R.V.;f(x)为X概率密度函数，简称概率密度或密度函数.一、概率密度第36页xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义第37页bxf(x)a类似可得取值落入内概率为：概率是曲线下面积!第38页2.密度函数性质

(1)非负性f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性EX设随机变量X概率密度为求常数a.答:

f(x)xo面积为1第39页注意

连续型随机变量密度函数性质与离散型随机变量分布律性质非常相同，不过，密度函数不是概率！第40页(3)若x是f(x)连续点，则EX设随机变量X分布函数以下，求f(x)答案：注：

连续型随机变量分布函数F(x)一定连续，不过密度函数f(x)不一定连续第41页（4）对任意实数a，若X为连续型随机变量，则P{X=a}＝0。这是因为bxf(x)a则①

对连续型随机变量X,有第42页②由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必定事件可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=第43页例2设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数性质

第44页第45页第46页例3

设求。解由定义因为是分段表达，求时注意分段求.第47页即第48页解:例4设随机变量X分布函数为求X取值在区间(0.3,0.7)概率及概率密度。第49页(1)均匀分布常见连续性随机变量分布若C.R.V.X

概率密度为则称X服从区间[a,b]上均匀分布或称

X服从参数为a,b均匀分布.

(Uniformdistribution

),

记作第50页X分布函数为xf(x)ab第51页均匀分布概率背景XXabxll0第52页例1设公共汽车站从早晨7时起每隔15分钟来一班车,假如某乘客抵达此站时间是7:00到7:30之间均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超出5分钟概率．解：设该乘客于7时X分抵达此站．则X服从区间[0，30]上均匀分布第53页令：B={候车时间不超出5分钟}第54页正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多分布之一，故它在概率统计中占有特别主要地位。(2).正态分布(Normaldistribution)

第55页1)正态分布若R.V.X概率密度

为则称X服从参数为,2正态分布记作X~N(,2)为常数，其分布函数第56页正态分布图形特点特点是“两头小，中间大，左右对称”.正态分布密度曲线是一条关于对称钟形曲线.第57页决定了图形中心位置，决定了图形中峰陡峭程度.正态分布图形特点 且 f()＝maxf(x)＝.第58页2）标准正态分布(Standardnormaldistribution)参数＝0，＝1正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。其密度函数表示为标准正态分布函数表示为第59页标准正态分布图形第60页对普通正态分布：X~N(,2)

其分布函数作变量代换第61页例2设X~N(1,4),求P(0X1.6)解P179附表2第62页例3设，计算：解第63页例4已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解第64页例5

公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应怎样确定?解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X

h)0.01或P(X<h)>=0.99，下面我们来求满足上式最小h.第65页因为X～N(170,62),查表得(2.33)=0.9901>0.99即h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超出0.01.P(X<h)0.99求满足最小h.故P(X<h)=0.99所以=2.33,第66页(3)指数分布若R.V.X

概率密度为则称X服从

参数为指数分布（Exponentialdistribution）记作X分布函数为>0为常数第67页应用场所随机服务系统中服务时间电话问题中通话时间无线电元件寿命动物寿命指数分布常作为各种“寿命”分布近似第68页例6.电子元件寿命X(年）服从参数为3指数分布(1)、求该电子元件寿命超出2年概率。(2)、已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年概率为多少？解第69页例7

设测量误差X~N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差绝对值不超出10米概率大于0.9?解第70页设A表示进行n次独立测量最少有一次误差绝对值不超出10米n>3故最少要进行4次独立测量才能满足要求.第71页

2.5（一维）随机变量函数分布第72页一、问题提出

在实际中，人们经常对随机变量函数更感兴趣.求截面面积A=

分布.比如，已知圆轴截面直径d分布，第73页

设随机变量X分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），怎样由X分布求出Y

分布？下面进行讨论.

这个问题不论在实践中还是在理论上都是主要.第74页一、离散型随机变量函数分布律

设X一个随机变量，分布律为P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2分布律YPk10第75页或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同，其对应概率合并。）普通地XPkY=g(X)第76页

应该注意是有些可能会相等，要在分布列中将其对应概率相加合并成一项。例1设分布列为：求以下各函数分布列：第77页解将分布列中两行对调能够算下表：分布列：第78页分布列：分布列：第79页二、连续型随机变量函数密度函数

1、普通方法若X概率密度为f(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X函数，则可先求Y分布函数FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}=P{Xh(y)}=然后再求Y密度函数第80页此法也叫“分布函数法”第81页例2已知X概率密度为为常数，且a0,求fY(y)解当a>0时，第82页当a<0时，故第83页比如

设X~N(,2),Y=aX+b,则Y~N(a+b,a22)