常微分方程课后包括

常微分方程课后包含答案常微分方程课后包含答案105/105常微分方程课后包含答案常微分方程课后答案常微分方程1.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分别得122cex把x0,y1代入得dy2xdx,两边同时积分得：lnyxc,即yy2c1,故它的特解为yex。并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分别得：1dx1当y时，两边同时积分得；lnx11c,即y1x2dy,0yclnx11y当y时显然也是原方程的解。当x时，代入式子得c1,故特解是00,y1y1。1ln1x3解：原式可化为：常微分方程课后答案1y22dy11y0,故分别变量得y13dxdxy3显然y2dyxx1yxx1122222两边积分得2ln1ylnx2ln1xlnc(c0),即(1y)(1x)cx故原方程的解为（1y222）x)cx(1：(1y)xdy04(1x)ydx解：由y0或x是方程的解，当时，变量分别1x1yxy两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为lnxyxyc;y0;x0.常微分方程课后答案5:(yx)dy(yx)dx0dyyx,令ydyudu解：yxxu,yux,xdxdxdx则uxduu1,变量分别，得：u1du1dxdxu12xu11两边积分得：2。arctgu2ln(1u)lnxc：dyy226xxydx解：令yu,yux,dyuxdu,则原方程化为：xdxdxdux2(1u2),分别变量得：1dusgnx1dxdxx2x1u两边积分得：sgnxlnxcarcsinu代回原来变量，得arcsinysgnxlnxc2x别的，yx2也是方程的解。：ctgxdy07tgydx解：变量分别，得：ctgydytgxdx两边积分得：lncosxc.lnsiny28:dyey3xdxy解：变量分别，得ydy13xc23eey9:x(lnxlny)dyydx0解：方程可变为：lnydyydx0xx令uy1x,则有：dxx代回原变量得：cydyxy：edx

lnudlnulnulny。xyx解：变量分别edyedxyx两边积分eec常微分方程课后答案dy

xydxeyx解：变量分别，edyedxyx两边积分得：eecdy211.(xy)dx解：令xyt,则dydt1dxdx原方程可变为：dt11dx2t变量分别得：1dtdx,两边积分arctgtxc2t1代回变量得：arctg(xy)xc12．解令xyt，则dydt，原方程可变为dt11dxdx1dxt2变量分别t2dt，两边积分tarctgtxc，代回变量t21dxxyarctg(xy)xcdy2xy113.x2y1dx解：方程组2xy10,x2y10;的解为x1,y133令xX1,yY1,则有dY2XY'33dXX2Y令YU，则方程可化为：XdU22U2U2XdX12U变量分别常微分方程课后答案dyxy514,xy2dx解：令xy5t,则dy1dt,dxdx原方程化为：dtt,变量分别(t7)dt7dx1dxt7127t7xc两边积分2t代回变量1(xy27(xy5)7xc.5)215．解：方程化为dyx22x116y28y18xy1(x4y1)22dxdydu，所以1du9，令1x4y，则关于求导得14u2uxdxdx4dx4分别变量1du，两边积分得arctg(2286x，是4u29333原方程的解。16．解：，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有常微分方程课后答案令当当别的y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2x2(y2x22)5c证明方程xdy经变换xyu可化为变量分别方程，并由此求解以下方程18.ydxf(xy)（）22)dxxdy1.y(1xy(2).xdy2x2y2ydx2x2y2证明：由于xyu,关于x求导导得yxdydy,所以xdyduy1duduudxdx1dxdx1f(u),(f(u)1)(uf(u)u)得：y(f(u)1)xxydxdx故此方程为此方程为变程。解(1):当x0或y0是原方程的解，当xy0s时，方程化为xdy221xyydx令xyu,则方程化为du1(2u3),变量分别得：du31dxdxxu2uux22y两边同时积分得：u2c4,即c2,y0也包含在此通解中。x2xu2x2y22故原方程的解为原yc2,x0.2y2xx2u2解(2)令xy，则原方程化为du12u)14udx2u2x2u2u2xx2y2分别变量得21，两边积分得lny，这也就是方程的解。xx44u19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得常微分方程课后答案y3dy;;;;;;;;;;dx1;;;;;;;;;;;;两边积分得xc11;;;;;所以y1dxy3dy2y22xc1x1把y代入f(x)dt2xcy0x0

12xc;;;;;;;;;;(2xcc)得0,所以12tc2x20.求拥有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]常微分方程课后答案习题求以下方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)常微分方程课后答案=e()e()是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：nndxdxyex(exxnexdxc)是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()(lnx21)lnx21xdxc)e2(e=是原方程的解.6．解：=+常微分方程课后答案令则=u所以：=du1dxu2u2dudx1u3xc3*）将带入（*）中得：是原方程的解.常微分方程课后答案7.dy2y(x1)3dxx1dy2y(x3解：x11)dxP(x)x2,Q(x)(x1)31P(x)dx2dx(x1)2eex1方程的通解为：y=eP(x)dxeP(x)dxQ(x)dxc)(=(x+1)(213(x2*(x+1)dx+c)1)=(x+1)(2(x+1)dx+c)=(x+1)2((x1)2c)2即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。8.dy=xydxy3dxx+y31xy2解：yydyP(y)=1,Q(y)y2yeP(y)dy1dyeyy方程的通解为：x=eP(y)dyP(y)dy(eQ(y)dyc)=y(1*y2dyc)y=y3cyy32即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。2常微分方程课后答案dyayx1为常数xdxx解：（a,Q(x)x1Px)xxP(x)dxadxxaeexP(x)dxP(x)dx方程的通解为：y=e(eQ(x)dxc)=xa(1x+1dx+c)xax当a时，方程的通解为0y=x+ln/x/+c当a1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a01，时，方程的通解为y=cxa+x-11-aa10.xdyyx3dxdy13解：yxdxxP(x)1,Q(x)x3xP(x)dx1dxeex

1x方程的通解为：y=eP(x)dxP(x)dx(eQ(x)dxc)1(x*x3dxc)x=x3c4x方程的通解为：y=x3c4x常微分方程课后答案dyxyx3y3dxdyxy3y3解：xdx两边除以y3dyxy2x3y3dxdy-22(xy2x3)dxy2zdz2(xzx3)dxP(x)2x,Q(x)2x3epxe2xdx2dxex方程的通解为：z=pxepxc)edx(dxQ(x)dx=ex2(ex2(2x3)dxc)=x2cex21故方程的通解为：y2(x2cex2且0也是方程的解。1)1,y12.(ylnx2)ydxxdycx2lnx1424解：dylnxy22ydxxx两边除以y2dylnx2y1y2dxxxdy1lnx2y1dxxxy1dz2zdxx

zlnxxP(x)2,Q(x)lnxxx方程的通解为：zP(x)dxP(x)dxc)e(eQ(x)dxz2dx2dxlnx)dxc)x2(1(lnx)dxc)ex(ex(xx2xcx2lnx1424方程的通解为:y(cx2lnx1)1,且y=0也是解。424常微分方程课后答案132xydy(2y2x)dxdy2y2xy1dx2xyx2y这是n=-1时的xx方程。两边同除以，ydyy21dxx2令dz2y212z1dxxxP(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式2dx2dxzex(exdxc)=y2xx2c14两边同乘以令常微分方程课后答案这是n=2时的xx方程。两边同除以令dT1dzdT3T1dxz2dxdxxx2P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式3dx3dxTex(x21exdxc)==z(1x1cx3)12ey(1x1cx3)121x2eyceyx321x2x3eyc215dxyxy3x3dy这是n=3时的xx方程。两边同除以常微分方程课后答案令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式ze2ydy2ydy(2y3edyc)==x2(y21cey2)1x2ey221cey2y2(y)eey2(1x2x2y2)cx216y=+dyxey(x)dyyexdxP(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式1dx1dxye(exedxc)==ex(xc)exxex(xc)dx0常微分方程课后答案c=1y=设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时即∞,∞)当时====于是变量分别得积分由于，即t=0时1=c=1故试证：1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；常微分方程课后答案2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通xx为，其中为任意常数.3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）2.3）1）设，是（）的任意两个解则（1）2）（1）-（2）得dy1y2P(x)(y1y2)dx即是满足方程（2.3）所以，命题建立。（2）由题意得：3）4）常微分方程课后答案1）先证是（2.28）的一个解。于是得cdydyP(x)yQ(x)dxcP(x)ydxd(cyy)y)Q(x)dxP(x)(cy故是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则（4’）于是（4’）-（4）得d(y1y)dxP(x)(y1y)从而即所以，命题建立。3）设，是（）的任意两个解则（5）常微分方程课后答案6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）5）（6）得dy3dy4P(x)y3P(x)y4dxdx即也就是满足方程（2.3）所以命题建立。试建立分别拥有以下性质的曲线所满足的微分方程并求解。5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为Yyy'(Xx)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为常微分方程课后答案即横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为xdyyx2dxdy1yxdxx于是lnx(lxnc)e(xe)dxx((1dxc)x)xx((x1)dxc)xx(xc)x2cx所以，方程的通解为。（6）方程变形为dyyxx22dxdy1y1dx2x2常微分方程课后答案于是1lnx(11lnxc)e2()e2dx21112x2(()xdxc)211x1x2((2)dxc)211x2(x2c)1x2cx所以，方程的通解为。22．求解以下方程。1）解：xdx1xdxyex2ex211(2c)x1===2）常微分方程课后答案dyysin2xdxsinxcosxcosxP(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式1sin2x1dxdxyesinxcosx(esinxcosxdxc)cosx===习题1、考据以下方程是适合方程，并求出方程的解。常微分方程课后答案1.解：，=1.则所以此方程是适合方程。凑微分，得：2．解：，..所以此方程为适合方程。凑微分，得3．解：N2x(xy)22x2(xy)2xyx(xy)4(xy)3.常微分方程课后答案所以此方程是适合方程。（1）（2）对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则(y)(11)dylnyyyuy2lnxlnyyy2xyy2yxyyylnxylnxyxxx故此方程的通解为4、解：，..则此方程为适合方程。常微分方程课后答案凑微分，3d(x2y2)d(x4)d(x3)0得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为适合方程由于sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求以下方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x所以，=，故原方程为适合方程常微分方程课后答案2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0d[e(x-2x+2)+xy]=0故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解：2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以得常微分方程课后答案即，故方程的通解为10、解：方程可化为：即，故方程的通解为：即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为：即：故方程的通解为：12、解：方程可化为：yddx故方程的通解为：即：13、常微分方程课后答案解：这里，方程有积分因子两边乘以得：方程是适合方程故方程的通解为：x3x3yc3即：14、解：这里由于故方程的通解为：即：15、解：这里方程有积分因子：两边乘以得：方程为适合方程故通解为：常微分方程课后答案即：16、解：两边同乘以得：4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0dx4y2dx3y50故方程的通解为：17、试导出方程拥有形为和的积分因子的充要条件。解：若方程拥有为积分因子，（是连续可导）MMNNyxxyMN(MN)yxyx令.，，，常微分方程课后答案方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为.令，MxdNyd(NM)dzdzxy(MxNy)d(NM)dzxyNMdxyMxNy此时的积分因子为设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与相关.充分性若该方程有只与相关的积分因子.则为适合方程,从而,,常微分方程课后答案.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0=uf+uy+yf=+-yf====ug+ux+xg=+-xg==故=，所以u是方程得一个积分因子21．假设方程（2.43）xx函数M（x,y）N(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（）常微分方程课后答案有积分因子u=exp(+)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=Nef(x)-Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))由已知条件上式恒建立，故原命题得证。22、求出xx方程的积分因子.解：已知xx方程为：两边同乘以，令，线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明：若，则又常微分方程课后答案即为的一个积分因子。24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。证明：由于是方程的积分因子所认为适合方程即，下面只需证的全微分沿方程xx为零事实上：21dxd1x221dxM2xNy

1dy12dx2dyyxy22dx12dxM2dxxNy22dxN1M12N2M21N2xyxy2dx12MN12MN0N2yxyx2即当时，是方程的解。证毕！习题常微分方程课后答案求解以下方程1、解：令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为.2、解：令，则，即，从而t312t12dtct2t4t12dtct，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：令，则，从而常微分方程课后答案12pepp2epdpcp=，于是求得方程参数形式的通解为,别的，y=0也是方程的解.4、,为常数解：令，则，从而4acos2dc4a1cos2c2，于是求得方程参数形式的通解为.5、1解：令，则，从而cos2tdtc1cos2tdtc2，常微分方程课后答案于是求得方程参数形式的通解为.6、解：令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，所以方程的通解为.习题2．解：两边同除以，得：ydxxdyydyx2dy1y2cx2即4．解：两边同除以，得常微分方程课后答案ydyxdxy1x令则即获取，即别的也是方程的解。6．解：ydxxdyy2xdx获取即别的也是方程的解。8.常微分方程课后答案解：令则：即获取故即别的也是方程的解。10．解：令即而故两边积分获取y1p2lnpc2所以原方程的解为，。12.解：令常微分方程课后答案则dydu1xeu1dxdx即eu1x2c2故方程的解为exy1x2c214．解：令则那么dudxu1求得：故方程的解为或可写为16．解：令则常微分方程课后答案x11du2u1udx1du1dxu2u1x12u11cux1`即方程的解为18．解：将方程变形后得dy4x2y2dx2x3y1dx2x3y1x1dy4x2y22y4x2y2同除以得：令则3y23zcy22即原方程的解为19.X(解：方程可化为2y(令常微分方程课后答案27.解：令，，则，，，两边积分得即为方程的通解。别的，，即也是方程的解。28.解：两边同除以，方程可化为：dyy2xy(y2x2)dxx令，则xduuu2ux2(u2x2x2)dx即，du2x3dxu3u(111)du2x3dx2(u1)2(u1)u常微分方程课后答案两边积分得即为方程的解。29.解：令，则，，那么即两边积分得即为方程的解。30.解：方程可化为d(x4x2)(y3dx2x2dy3)d(y6y3)0两边积分得即为方程的解。常微分方程课后答案31.解：方程可化为两边同除以，得即令，，则dcosdctg0即两边积分得将代入得，即故32.解：方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知）常微分方程课后答案将（*）/（）得即整理得两边积分得即别的，也是方程的解。求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：xdydx由题意得即也即两边同除以，得即即为方程的解。常微分方程课后答案摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假设水的阻力与艇的运动速度成正比率。解：，又，由此mdv

k1vdt即其中，解之得lnvktc又时，；时，。故得，从而方程可化为当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。一质量为m的质点作直线运动，赶忙度等于零的时辰起，有一个和时间xx（比率系数为k1）的力作用在它上面，此质点又碰到介质的阻力，这阻力和速度xx（比率系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。常微分方程课后答案解：由物理知识得：依照题意：故：即：式为一阶非齐线性方程，依照其求解公式有Vek2dtk2dtm(k1temdtc)mek2tk1k2tmk1k2tc)m(tem2emk2k2又当t=0时，V=0，故c=所以，此质点的速度与时间的关系为：解以下的xx提方程（1）解：原方程可转变为：观察获取它的一个特解为：，设它的任意一个解为，代入（*）式获取：由（）-（*）得：变量分别得：常微分方程课后答案两边同时积分：即：故原方程的解为2）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故dz(2sinx2sinx)zz2z2dx变量分别再两边同时积分得：即故原方程的解为3）解：原方程可化为：由观察获取，它的一个特解为，设它的任一个解为，故，该式是一个的xx方程两边同除以获取：即：，令，则：，依照一阶非齐线性方程的求解公式得：常微分方程课后答案1dx1dxuex(exdxc)x(cen|x|)故：所以：原方程的解为：4）解：原方程可化为：由观察获取，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的xx方程两边同除以获取：即：则：即：故：原方程的解为：5）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是的xx方程常微分方程课后答案两边同除以获取：即：则：故：原方程的解为：，即.6）解：原方程可化为：由观察获取它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的xx方程两边同除以获取：即：则：从而：故原方程的解为：即：7）解：由观察获取它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是常微分方程课后答案，这是n=2的佰努利方程，两边同除以得：即：从而：ex(xexc)xcex故原方程的解为：习题求方程=x+y经过点(0,0)的第三次近似解；解：取1(x)y0xy02)dxx1x2(xxdx0022(x)y0[x(x)]dx[x1x21x511x2x0022203(x)y0[x(1x21x0220=2求方程=x-y经过点(1,0)的第三次近似解；解：令常微分方程课后答案则2(x)y0[x12(x)]dxx[x(1x2)2]dx1x21x5x002220xyx1x21x52dxx3()0[(220)]0=3题求初值问题：R：1，1的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：由于M=max{}=4则h=min(a,)=则解的存在区间为==令=0;=y+dx=x+;=y+dx=x+=L则：误差估计为：=常微分方程课后答案4题谈论方程：在怎样的地域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求经过点（0，0）的所有解；解：由于=在yxx存在且连续；而在上连续由有：=（x+c）又由于y(0)=0所以：=x别的y=0也是方程的解；故方程的解为：=y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数，常微分方程课后答案且满足不等式：f(t)k+,则有：f(t)kexp(),证明：令R（t）=,则(T)=f(t)g(t)(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)(T)-R(t)g(t)kg(t);两边同乘以exp(-)则有：exp(-)-R(t)g(t)exp(-)kg(t)exp(-)两边从到t积分：R(t)exp(-)-exp(-)dsR(t)exp(-)dsf(t)1k+R(t)k+kexp(-)dsk(1-1+exp(-)=kexp()f(t)k;常微分方程课后答案7题假设函数f(x,y)于（x,y）的领域内是y的不增函数，试证方程=f(x,y)满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x)=y的解于xx一侧有两个(x),(x)则满足：(x)=y+dx(x)=y+dx不如假设(x)(x)，则(x)-(x)0(x)-(x)=dx-dx=dx又由于f(x,y)在（x,y）的领域内是y的增函数，则：f(x,(x))-f(x,(x))0(x)-(x)=dx0(x)-(x)0所以(x)-(x)=0，即(x)=(x)则原命题方程满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多常微分方程课后答案只有一个解；习题1．Proof若（1）建立则及，，使当|y0||y(x,x0,y0)|时，初值问题的解满足对所有有,由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解及都过点，由解的存在唯一性，当时故若（2）建立，取定，则，，使当|y(x,x0,y0)|1时,对所有有|y(x,x0,y0)|因初值问题的解为，由解对初值的连续依赖性，常微分方程课后答案对以上，，使当时对所有有|y(x,x0,y0)|min{,1}而当时，因|y(x,x0,y0)|min{,1}1故这样证了然对所有有|y(x,x0,y0)|2．Proof：因及都在G内连续，从而在G内关于满足局部Lipschitz条件，所以解在它的存在范围内关于是连续的。设由初值和足够小）所确定的方程解分别为，即，于是y0x(f(x,)f(x,))dxx0常微分方程课后答案y0xf(x,()))dx01x0y(因及、连续，所以f(x,())f(x,)yr1y这里拥有性质：当时，；且当时，所以对有1x(f(x,)r1)dxy0x0yy0即是初值问题dz

f(x,

)dy

[

y

r1]zz(x0)

1z0的解，在这里看作参数0显然，当时，上述初值问题依旧有解。依照解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数，从而存在limy0y0y00而是初值问题dzf(x,)zdxyz(x0)1常微分方程课后答案的解，不难求解fxy0expx0f(x,)dxy它显然是的连续函数。3．解：这里满足解对初值的可微性定理条件故：xf(x0,y0)expx0x0

f(x,)dxy(p(x0)y0Q(x0))expxp(x)dxx0xexpy0x0

f(x,)dxexpp(x)dxxyx0f(x,(x,x0,y0))p(x)(x,x0,y0)Q(x)x满足的解为xxye0

p(x)dxxxx(0x0Q(x)ep(x)dxdxy0)故p(x0)expxxxp(x)dx(Q(x)(exp(p(x)dx))dxy0)x0x0x0x0xxxexpp(x)dx(Q(x0)p(x0)Q(x)[exp(p(x)dx)]dx)x0x0x0(p(x0)y0xp(x)dxQ(x0))expx0p(x)expxxQ(x)(exp(xy0)x0p(x)dx(p(x)dx))dxxx0x0常微分方程课后答案expxxp(x)dx(Q(x)exp(p(x)dx))x0x0p(x)(x,x0,y0)Q(x)4．解：这是在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式y(x,x0,y0)f(x0,y0xf(x,y)0(1,0))exp(dx)(1,0)x0x0yy(x,x0,y0)xf(x,y)x1y(1,0)exp(dx)(1,0)expxcosdx(1,0)x0x0yx0xx1y(x,1,0)dxexpcos1xx易见是原方程满足初始条件的解y(x,1,0)0cosy(x,1,0)cos01x故习题(一)、解以下方程，并求奇解（若是存在的话）：1、解：令，则，两边对x求导，得12xp32xdpp0dx常微分方程课后答案从得时，；从得，为参数，为任意常数.经检验得，是方程奇解.2、解：令，则，两边对x求导，得，解之得，所以，y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：这是克莱xx方程，所以它的通解为，从中消去c,获取奇解.4、常微分方程课后答案解：这是克莱xx方程，所以它的通解为，从中消去c,获取奇解.5、解：令，则，两边对x求导，得，解之得，所以，可知此方程没有奇解.6、解：原方程可化为，这是xx方程，所以其通解为，从中消去c，得奇解.7、解：令，则，常微分方程课后答案两边对x求导，得，所以，可知此方程没有奇解.8、解：dyxadxxdyxadxx31y2x22ax239yc24xx3a2可知此方程没有奇解.9、解：令，则，两边对x求导，得dpp22dx1p解之得，常微分方程课后答案所以，且也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：这是xx方程，所以方程的通解为，从中消去c,得方程的奇解.（二）求以下曲线族的包络.1、:对c求导，得x+=0,,代入原方程得，，经检验得，是原方程的包络.2、解：对c求导，得，代入原方程得，即，经检验得是原方程的包络.常微分方程课后答案3、解：对c求导，得–2(x-c)-2(y-c)=0,,代入原方程得.经检验,得是原方程的包络.4、解：对c求导，得-2(x-c)=4,c=x+2,代入原方程得，,经检验，得是原方程的包络.(三)求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为，它与X轴、Y轴的截距分别为，，按条件有，化简得，这是克莱xx方程，它的通解为一族直线，它的包络是，消去c后得我们所求的曲线.常微分方程课后答案(四)试证：就克莱xx方程来说，p-鉴识曲线和方程通解的c-鉴识曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱xx方程y=xp+f(p)的p-鉴识曲线就是用p-消去法，从中消去p后而得的曲线；c-鉴识曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程中消去c而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，所以p-鉴识曲线是通解的包络，也是方程的通解.习题设和是区间上的连续函数，证明：若是在区间上有常数或常数，则和在区间上线形没关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，，使得那么不如设不为零，则有显然为常数，与题矛盾，即假设不行立，在区间上线形没关常微分方程课后答案证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程1）2）的解，则+是方程+的解。证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解则：（3）（4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。试考据0的基本解组为，并求方程的通解。证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，同理求得也是该方程的解又显然线形没关，故是0的基本解组。由题可设所求通解为：，则有：常微分方程课后答案解之得：故所求通解为：试考据0有基本解组t，，并求方程t-1的通解。解：由题将t代入方程0得：，即t为该方程的解同理也是该方程的解，又显然t，线形没关，t，是方程0的基本解组由题可设所求通解为，则有：c1ttc2tet0c1tc2tett1解之得：故所求通解为以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：常微分方程课后答案于是：t=0,则有方程适合初始条件，于是有：解得：故又该方程适合初始条件，于是：解得：故显然，线形没关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：，而此方程同时满足初始条件，于是：解得：故满足要求的解。设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，所以有：ta1sdswtwt0et0ta,b解：又满足即常微分方程课后答案wt中第行都乘以akt，加到最后一行为，，，n1kk12则：即则有：ta1sds,则两边从t0到t积分：lnwtt0lnwtnwt0ta1sdst0即：假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,证：（１）x1x2x1x2a1x1x2a1x1x20x1x2a1x1x2a1x1x2a1x1x2a1x1x20x1x2a1x2a1x20x2a1x2a1x20,x10x2为(*)的解。（２）由于为方程的解，则由xx公式常微分方程课后答案x1x2ta1sds,即:x1wt0et0x2tx1x2x1x2a1sdswt0et0两边都乘以则有：，于是：x21etca1sdsct0dt2x11x211t即：xca1sdscx2et0dt21x2111t取c11,c20,得：x2x1a1sdset0dt,x21又：wtx1x2etsds0a1x1x2从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形没关解。证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：（1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形没关的。事实上：假设存在常数，使得：常微分方程课后答案c1x1txtc2x2txtcnxntxtcn1xt0nn1即:cixitxtci0i1i1n1ci0我们说：i1n1nci否则，若ci0，则有：xtxit1n1ii1ci1*）的左端为非xx线形方程的解，而右端为xx线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：即（1）是线形没关的。习题解以下方程1）解：特色方程常微分方程课后答案故通解为x=(2)解：特色方程有三重根故通解为x=3）解：特色方程有三重根，2，-2故通解为4）解：特色方程有复数根-1+3i,-1-3i故通解为(5)解：特色方程有复数根故通解为(6)常微分方程课后答案解：特色方程有根a,-a当时，齐线性方程的通解为s=代入原方程解得故通解为s=-a=0时,代入原方程解得故通解为s=-(7)解：特色方程有根2,两重根1齐线性方程的通解为x=又由于0不是特色根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=-4-t(8)解：特色方程故齐线性方程的通解为x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1常微分方程课后答案故通解为x=+(9)解：特色方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为(10)解：特色方程有根-2,1故齐线性方程的通解为x=由于+-2i不是特色根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=11）解：特色方程有复数根故齐线性方程的通解为1是特色方程的根，故代入原方程解得A=常微分方程课后答案故通解为+12）解：特色方程有2xx-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特色方程的2xx，故代入原方程解得A=通解为s=,当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特色方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+13）解：特色方程有根-1,-5故齐线性方程的通解为x=2不是特色方程的根，故代入原方程解得A=故通解为x=+14）解：特色方程有根-1+i,-1-i常微分方程课后答案故齐线性方程的通解为不是特色方程的根,取特解行如代入原方程解得A=故通解为+(15)解：特色方程有根i,-i故齐线性方程的通解为,i,是方程的解代入原方程解得A=B=0故代入原方程解得A=B=0故故通解为习题给定方程组x=xx=（*）常微分方程课后答案试考据u(t)=,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=,v(0)=的解.试考据w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数.解：a)u(0)==u(t)==u(t)v(0)==v(t)===v(t)所以u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b)w(0)=u(0)+u(0)=+=w(t)=u(t)+v(t)+=w(t)所以w(t)是给定方程初值问题的解.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：常微分方程课后答案x+2x+7tx=e,x(1)=7,x(1)=-2x+x=te,x(0)=1,x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0x(0)=1,x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令x＝x,x=x,得x1'x'x2x2'x''7tx12x2et即x＝x(1)=7x(1)=x(1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x＝x(1)＝其中x＝.b)令＝x＝＝＝则得：x1'x'x2x2'x''x3x3'x'''x4x4'xtetx1tet(0)=x(0)=1,=(0)=-1,(0)=(0)=2,(0)=(0)=0常微分方程课后答案于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：=x(0)=,其中x=.令w＝x，w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为：且即ww(0)=其中w＝试用渐渐逼近法求方程组＝xx＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：1(t)0t010ds0tt101011010t01s0tt2(t)dst2t2101011212st30t010t263(t)sds101011t2212常微分方程课后答案=是方程x=x,x=，在任何不包含原点的区a上的基解矩。解：令的第一列(t)=,(t)==(t)故(t)是一个解。同若是以(t)表示第二列，我有(t)==(t)(t)也是一个解。所以是解矩。又因det=-t故是基解矩。2.考方程x=A(t)x(5.15)其中A(t)是区a上的nn矩，它的元素a(t),i,j=1,2,⋯,na)若是x(t),x(t),⋯,x(t)是(5.15)的任意n个解，那么它的伏朗斯基行列式W[x(t),x(t),⋯,x(t)]W(t)足下面的一性微分方程W=[a(t)+a(t)+⋯+a(t)]W解上面的一性微分方程，明下面公式：W(t)=W(t)et,t[a,b]解：w(t)=++⋯+=+⋯+=+⋯+整理后原式（a+⋯+a）=（a+⋯+a）w(t)=（a(t)+⋯+a(t)）w(t)常微分方程课后答案b)由于w(t)=[a(t)+⋯+a(t)]w(t),即=[a(t)+⋯+a(t)]dt两从t到t分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t[a,b]A(t)区a上的nn矩，方程x=A(t)x的基解矩，而x=(t)其一解，：a)于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常数；b)(t)方程y=-A(t)y的基解矩的充要条件是存在非奇异的常数矩C，使(t)(t)=C.a)[(t)(t)]=(t)+(t)=(t)+(t)A(t)又因=-A(t)(t)，所以=-(t)A(t)[(t)(t)]=-(t)(t)A(t)+(t)A(t)(t)=0,所以于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常数“”假方程y=-A(t)y的基解矩，[(t)(t)]=[(t)]+(t)

(t)=[-A(t)(t)]+

(t)A(t)

)+(t)[

A(t)(t)]=-(t)A(t)+(t)A(t)=0,

故(t)(t)=C“”若存在非奇异常数矩C，detc0,使(t)(t)=C，常微分方程课后答案[(t)(t)]=(t)+(t)=0，故(t)(t)=-(t)(t)A(t)(t)=-(t)A(t)所以(t)=-(t)A(t),(t)=-(t)A(t)即(t)方程y=-A(t)y的基解矩4.方程x=Ax（Ann常数矩）的准基解矩（即（0）=E），明:(t)=(t-t)其中t某一.明：（1）,(t-t)是基解矩。（2）由于方程x=Ax的解矩，所以(t)也是x=Ax的解矩，而当t=t，(t)(t)=E,(t-t)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t-t)A(t),f(t)分在区axx的nn矩和n列向量，明方程x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个性没关解。明：x,x,⋯x是x=A(t)x的n个性没关解，是x=A(t)x+f(t)的一个解，x+,x+,⋯,x+,都是非性方程的解，下面来明它性没关，假存在不全零的常数C,(I=1,2,⋯,n)使得+c=0,从而x+,x+,⋯,x+,在axx性相关，此与已知矛盾，所以x+,x+,⋯,x+,性没关，所以方程x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个性没关解。6、非性微分方程的叠加原理：常微分方程课后答案x'A(t)xf1(t)x'A(t)xf2(t)的解，则是方程组x'A(t)xf1(t)f2(t)的解。证明：（1）（2）分别将代入（1）和（2）则则[x1(t)x2(t)]'A(t)[x1(t)x2(t)]f1(t)f2(t)令即证7．考虑方程组，其中21x1sintA2xf(t)0x2costa)试考据是的基解矩阵；试求的满足初始条件的解。常微分方程课后答案证明：a)第一考据它是基解矩阵以表示的第一列则故是方程的解若是以表示的第二列我们有故也是方程的解从而是方程的解矩阵又故是的基解矩阵；由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解(t)(t)1`(0)(t)t1f(s)ds0而8、试求，其中21x10A2xf(t)2t0x2e常微分方程课后答案满足初始条件1(0)1的解。解：由第7题可知的基解矩阵则若方程满足初始条件则有若则有9、试求以下方程的通解：a)解：xx对应的齐线性方程的基本解组为这时由公式得通解为b)解：xx对应的齐线性方程的基本解组为常微分方程课后答案x2(t)etcos3t,x3(t)etsin3t是方程的特色根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：xx对应的齐线性方程对应的特色方程为故方程的一个基本解组为W[x1(t),x2(t)]e3te3tte3te6t3e3t3te3ttte3te3se3tse3ses1t13t1e3t(t)6sdsete40e42由于是对应的齐线性方程的解故也是原方程的一个解故方程的通解为10、给定方程其中f(t)在上连续，试利用常数变易公式，证明：a)若是f(t)在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；常微分方程课后答案若是当时，，则上面方程的每一个解（当时）。证明：a)上有界存在M>0,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解(t)te7tesete7ste7sesete7sf(s)dsesf(s)ds6e8s0e7s0es7e7sM(81e7t4M(t)Me7te7setesdset)t6067721又关于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个解在上有界时，当t>N时由a)的结论x(t)c1e7tc2et(t)c1c24M4,(t)2121常微分方程课后答案故时，原命题建立11、给定方程组（5.15）这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题：（*）的唯一解是积分方程组）的连续解。反之，（）的连续解也是初值问题（8）的解。证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式(t)(t)1(t0)(t)t1(s)F(s,(s))dst0即（*）的解满足（）反之，若是（）的解，则有(t)(t)1(t0)(t)t1(s)F(s,(s))dst0两边对t求导：'(t)'(t)1(t0)'t1(s)F(s,(s))ds(t)1(t)F(t,(t))(t)0'(t)[1(t0)t1(s)F(s,(s))ds]F(t,(t))0A(t)(t)[1(t0)t1(s)F(s,(s))ds]F(t,(t))0A(t)(t)F(t,(t))常微分方程课后答案即（）的解是（*）的解1、假A是nn矩，：任意常数、都有exp(A+A)=expA·expA任意整数k,都有(expA)=expkA(当k是整数，定(expA)＝[(expA)])明：a)∵（A）·（A）＝（A）·（A）exp(A+A)=expA·expAk>0，(expA)＝expA·expA⋯⋯expA＝exp（A+A+⋯⋯+A）＝expkAk<0，-k>0常微分方程课后答案(expA)＝[(expA)]=[exp(-A)]=exp(-A)·exp(-A)⋯⋯exp(-A)exp[(-A)(-k)]＝expkAk，都有(expA)=expkA2、：若是是=Ax足初始条件＝的解，那么[expA(t-t)]明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0)＋Ф(t)又因Ф(t)=expAt,Ф-1(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因矩（At）·（-At0）=（-At0）·（At）所以＝[expA(t-t)]3、算下面矩的特色及的特色向量a）b）常微分方程课后答案c）d）解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0=5,=－1对应于=5的特色向量u=,()对应于=－1的特色向量v=,()det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2对应于＝－1的特色向量u1＝，（0）对应于＝2的特色向量u2＝，（）对应于＝－2的特色向量u3＝，（）c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0∴＝－1（二重），＝3对应于＝－1（二重）的特色向量u＝，（0）对应于＝3的特色向量v＝,（）常微分方程课后答案det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0∴＝－1，＝－2，＝－3对应于＝－1的特色向量u1＝，（0）对应于＝－2的特色向量u2＝，（）对应于＝－3的特色向量u3＝，（）4、试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：a）b）c）d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－对应于的特色向量为u＝，（0）对应于的特色向量为v＝，（）∴u＝，v＝是对应于，的两个线性没关的特色向量Ф(t)=是一个基解矩阵ExpAt=常微分方程课后答案由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是对应于，的两个线性没关的特色向量则基解矩阵为Ф(t)＝(0)＝Ф－1(0)＝则expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝c）由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1解得基解矩阵Ф(t)＝Ф－1(0)＝expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－解得基解矩阵Ф(t)＝则expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝87e3t247e(27)t247e(27)t33341567e3t122287e(27)t122287e(27)t7999327e3t2627e(27)t2627e(27)t999常微分方程课后答案5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件a)A1234331030b)A811251171211c)A11102010解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为332所以(t)

2e5te4e5te

ttb）由第4题（d）知，基解矩阵为(t)＝所以常微分方程课后答案527e3t4267e(27)t4267e(27)t333(t)13647e3t7481467e(27)t7481467e(27)t479992087e3t1789227e(27)t178227e(27)t99由3（c）可知，矩阵A的特色值为＝3，＝－1（二重）对应的特色向量为u1＝，u2＝∴＝＋解得(t)e3tEv1et[Et(AE)]v2＝6