讲义-建筑数学05新第五讲

先讲一个故事：有3个人去投宿，一晚30元。三个人每人掏了10元凑够30元交给了。后来

今天是

日，只要25元就够了。拿出5元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元，把剩下的3元钱退给了那三个人，每人1元。这样，一开始每人掏了10元，现在又退回1元，也就是10－1

=

9，每人只花了9元钱，3个人，3

×

9

=

27

元

+服务生藏起的2元=29元，还有1元钱去了哪里？这就是“一元钱悖论”。其实，这不是真正数学上的悖论，只是使了个“障眼法”，扰乱你的思维。

后，每个人交了9元，3

×

9

=

27，

一共27元；收的房费是25元，服务生私吞了2元，25+2=27。与前面的每人10元，交了30元没有什么关系。再看一个悖论：“奥伯斯悖论”。它的主要思路是人们过去对于宇宙的几个假设：宇宙是永恒的存在、宇宙是无限大的、宇宙中遍布很多恒星（自身能发光）。从这几点出发就应该会得出

的整个天空应该是像恒星表面一样明亮的，就算是晚上没有

的时候也应该是明亮的。因为如果宇宙真的无限大，而且已经存在了无限长的时间，那么满天的恒星都会有足够的时间将它们的光传来地球，而且

应该看不见恒星之间有任何空隙，因为无论

向什么方向看，

都会看见一个或远或近的恒星，只要

的宇宙真正是无限大的话就必定会这样。正如

在森林中不可能看见森林外面的世界一样。因此，人们对于宇宙的三个认知至少有一个是错的，否则夜晚不应该是黑色的。20世纪中期

宇宙大

理论，认为大

距今的时间是有限的，约137亿年，宇宙的膨胀还在继续。这就和宇宙是永恒和无限的假设相悖。这是一个观察事实与理论假定间的

。这也不是数学上的悖论。第22条军规约瑟夫·海勒1961年的黑色幽默小说，该书的主人公为了逃避的任务而装疯，可是逃避的愿望本身又证明了他的神志清醒。“如果你能证明自己发疯，那就说明你没疯”。根据第二十二条军规，只有患者才能获准免于飞行，但必须由本人提出申请，但你一旦提出申请，恰又证明了你是一个正常人。在当代美语中，Catch-22已作为一个独立的单词，使用频率极高，用来形容任何自相矛盾、不合逻辑的规定或条件所造成的无法摆脱的困境、难以逾越的，表示人们处于左右为难的境地，或者是一件事陷入了死循环，或者跌进逻辑悖论的陷阱。上堂课提到的无穷旅馆悖论：“有一个旅馆，内有无穷多个房间，每个房间住有一个客人。......来了一个无穷旅行团，有无穷个客人。就让一号房间的客人去二号房间，二号房间的客人去四号房间，三号去六号，四号去八号.....这样所有奇数号房间就空出来了，可以让无穷个客人住下。”却是一个有关数学基础的悖论。把1、2、3、4、5、......称为自然数列，这是一个无穷数列，在古希腊就被研究。1870~1874

，康托尔研究无穷数列，把全体自然数看作一个集合，“把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合如果它们的元素间可以建立一一对应可称为是等价的。他还引进了“可列”概念，把凡是能和自然数列构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。这样，全体偶数（或奇数）集合和全体自然数集合是等价的。这就是“无穷旅馆悖论”的数学解释。康托尔证明了全体有理数集合是可列集合。他还将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n

中的点一一对应。代数数和

数能够满足任意一个整系数代数方程：an

xn+a(n-1)

x

(n-1)+……+a1

x+a0=0（n为正整数，an≠0）的实数，称为“代数数”（algebraic

number）。有理数都是代数数，因为有理数可以表示为分子分母都是整数的分数，它满足方程nx-m

=0（m，n为整数，n≠0），x=m/n

。可见代数数集包含了有理数集。一些无理数也可以满足上述方程，例如√2是无理数，满足x2-2=0，所以代数数包括一些无理数。有些无理数不满足上述方程，不是代数数。数（

transcendental

number）是实数中除“代数数”以外的数，亦即不能满足上述整系数代数方程的数。显然 数都是无理数。理论上证明 数的存在并不难，而且可知 数是大量的。但要构造一个

数或论证某个数是 数就极为 。现今 量的数如两个著名的例子性得到了证数的全体实：圆周率π=3.14159……自然对数的底e=2.71828……等的明。1874年康托尔证明了代数数集合是可列的，而包含了数集合是不可列的康托尔的理论，曾经引起过的批评。然而前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的。在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱可以说绝对就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。1902年罗素“罗素悖论”，使绝对严密的数学陷入了自相

之中。这就是数学史上的“第三次数学

”。“罗素悖论”的通俗说法是“理发师悖论”：在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个

推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人，他应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。类似的悖论被一一提起和提出，其中著名的有：说谎者悖论公元前六世纪古希腊就有了这个悖论，简单的描述是：一个人说“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。不可避免。国王的法律：一个国王制定了一条法律，他允许被处死的人在临刑前说一句话，如果说的是真话，就得砍头，如果说的是假话，就被绞死。在国王看来，不管犯人说了什么话，非真即假，他总得被处死。但是有一次，一个聪明的犯人说：“我将要被绞死了”。这一下国王被难住了。如果将这个犯人绞死，那么他说的是真话，根据规定，他将被砍头。如果将这个犯人砍头，那么这个犯人说的是假话，他应该被绞死。国王只得把这个犯人放了。鳄鱼悖论：一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲他。那么，如果父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给我

”，那会怎样？如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼违背了诺言。如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。上帝万能悖论：有人声称“上帝是万能的”，一个农夫问道：“上帝能不能造一块他自己也举不动的石头？”如果他不能创造这么一块石头，显然他不是万能的。如果他创造了这么一块石头，他又举不起来，他还不是万能的。悖论是自相 题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立。一个自相

的逻辑循环。这

“矛与盾”的寓言中可以看到，如果我们单独使用那个“攻无不克”的矛，或者单独使用那个“坚不可摧”的盾，都不会出现逻辑悖论的。但当“矛”和“盾”放在一起

，就出现互为因果的循环圈：矛“攻无不克”为真，盾“坚不可摧”就为假；反之，盾“坚不可摧”为真，矛“攻无不克”就为假。这就导致“以子之矛、陷子之盾”的悖论。逻辑悖论的一个重要根源就是在推理和定义过程中存在着互为前提的循环圈。这些因果循环圈在某些特定条件下导致推理过程中出现“自指”。罗素早就，悖论的重要根源是定义的自指，即在定义一个东西时包含了这个东西自身。在国王法律悖论中，聪明的犯人在这里将条件和结果之间构成了一个互为因果的循环。聪明的犯人构造了这样一个系统：如果结果为砍头（结果A），则证实他讲的话为假，就应当绞死（结果B），这样又则证实他的话”我会被绞死“为真，按率应该砍头（结果A）……。这里出现悖论是由于存在着前提和结论之间的互为因果。也就是说，本来某一个结论在逻辑上是依赖于某一个前提的，如果同时让前提依赖于结果，那么就有可能导致悖论。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。三次数学 的解决推动了数学发展。拉斯牛顿罗素“第一次数学

”发生在古希腊。当时的

拉斯学派，提出“万物皆数也”，认为世界是以整数和整数比构成的。但该学派的希帕索斯（约公元前400年）发现等边直角三角形斜边长与直角边长之比不能用整数比表示，这引起第一次数学

。为此，他的同伴把他抛进大海。这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这是数学思想上一次，也是第一次数学的产物。古代，对于数的概念也是限于整数和整数比的分数，这就是在音律求算上用“三分损益法”，即用1、2、3、4的整数比辗转相乘，来把八度音（弦长减半音调增高）分成12份，而始终不能做到“黄钟还原”。近两千年的存疑、争论，直到

朱载堉

，按2开12次方作为基本单位，以其1~12的幂次划分。但是，尽管他把2开12次方算到了25位数字，但他并没有

这是一个“无理数”（无限不循环小数），实际上2开2次方（开平方）就已经是无理牛顿和莱布尼茨发明微积分之后，微积分成为了解决各种科学和工程问题的重要工具。但是牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对无穷小量的理解与运用却是

的。微积分的基础问题受到一些人的

，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的

。他指责牛顿，为计算比如说

x2

的导数，先将

x取一个不为0的增量Δx

，由

(x

+

Δx)2

－

x2

，得到

2xΔx

+

(Δx)

2，后再被

Δx

除，得到

2x

+

Δx

，最后突然令Δx

=

0

，求得导数为

2x

。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的

”。贝克莱抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”：无穷小量究竟是否为0？就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个

。这一问题的提出导致了“第二次数学

”的产生。十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有严格清晰的无穷小概念，对无穷大的概念也不清楚，符号使用的不严格性等等。到十九世纪二十年代，一些数学家开始关注微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由维尔斯特拉斯、戴德金和康托尔完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；柯西抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；狄里克莱给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了

和

。第二次数学

使数学更深入地探讨数学分析的基础，并进而导致集合论的诞生。第三次数学

由罗素悖论引起。产生后，众多数学家投入到解决无的工作中去。1908年，策梅罗提出公理集合论，后经改进形成的集合论公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较地解决了第三次数学。1931年歌德尔（KurtGodel）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定题。从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。他对集合所下的定义是：把若干确定的、各别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就是一个“集合”，其中各事物称为该集合的“元素”。““《建筑学院2011年入学的新生”；》中用到的汉字”；“柯布西埃设计的建筑”；

“能被3整除的自然数”；“长与宽之比是黄金比的长方形”；……子集：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A

称作是B的子集，写作A

B。若A

是B

的子集，且A

不等于B，则A

称作是B

的真子集。集合的相等：如果集合A、B同时满足A

B、B

A，则A=B。补集：设A

S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集。全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U。空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ。并集：由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B。交集：由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B。有限集：含有有限个元素的集合称为有限集。无限集：含有无限个元素的集合称为无限集。集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）。并集交集差集复合运算上面的结果也可以由（A∪B）－（A∩B）得到推理所有的A都是B；（所有的狗都是哺乳动物）所有的B都是C；（所有的哺乳动物都有毛）（所有的住宅是房子）（所有的房子有屋顶）所以，所有的A都是C（所以，所有的狗都有毛）

（所以，所有的住宅有屋顶）有毛住宅建筑房子用“维恩（Venn）图”表示但是，下列推理对吗？

所有的狗都是哺乳动物所有的猫都是哺乳动物所以，所有的狗都是猫这个结论是错误的，狗不是猫。所有的住宅是房子,所有的

建筑是房子,所以，所有的住宅是

建筑,这个结论是错误的，但有的住宅是建筑。“白马非马”公孙龙骑马过关，把关的兵士对他说：“法令规定马不许过。”公孙龙回答说：“我骑的是白马，白马不是马。”冯友兰对“白马非马”进行了三点论证：一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物，“白”的内涵是一种颜色，“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同，所以“白马非马”。二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马，不管其颜色的区别；“白马”的外延只包括白马，有颜别。外延不同，所以“白马非马”。，三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相马的本质属性，它不包含颜色，仅只是“马作为马”。共性不同，“马作为马”与“白马作为白马”不同，所以“白马非马”。从集合的概念来讲，“白马”可以是“马”的一个子集，它具有定义“马”这个集合的动物分类学的特征，这时，白马是马。但“白马”也可以看成“马”与“白”的交集，这与其他颜色的马不同，有其特殊性，“白马非马”。分类把事物按一定的特性和构成因素进行分类——构成不同层次的集合。定义“住宅”（集合）——用于家庭居住生活的建筑。它有三个要素，一是物质属性：建筑；二是使用对象：家庭；三是服务功能：居住生活。

可以以这三个要素的特征进行分类，得到各类住宅（子集合）。按建筑属性分类：按建筑形式分： 住宅、多层住宅、独立式住宅、联排式住宅……

按结构材料分：木结构住宅、砖混结构住宅、钢筋混凝土结构住宅……按家庭结构分类：老年住宅、青年公寓、普通住宅（ 家庭—一对夫妇及其未婚

）……按家庭生活分类：按生活方式分：城市住宅、公寓住宅、别墅、农村住宅……按房间构成分：一室一厅一卫、两室一厅一卫、三室两厅两卫……一个层次的子集合的元素，又可以分成下一个层次的子集合。例如， 住宅又可分成塔式和板式 住宅。按某种特征因素分类的各个子集合应该是独立的，之间没有交集；但按不同因素分类的子集合之间会有交集，例如： 普通城市住宅三勒·柯布西埃昌迪加尔市议会

1951~1957粗野主义建筑风格形式分类——XX主义粗野主义斯通驻大使馆

1958典雅主义谢尔登艺术纪念馆麦格拉格纪念会议中心林肯中心解构主义·艾森曼俄亥俄Wexner视觉艺术中心1989李勃斯金德国柏林犹太博物馆1995克·盖里毕尔巴鄂古根汉姆博物馆1997布拉格Dancing

House

1996慕尼黑BMW中心2003简约主义赫尔佐格和德默隆慕尼黑Goetz

美术馆1992圣弗朗西斯科狄扬博物馆

2005多米那斯酿酒厂1998简约主义气候分区第三讲涉及气候与建筑，提到气候的时空特征有：地理空间变化的地域性，即不同的地区气候不同。全球气候分区

Climatic

Zones热带草原气候稀树草原气候地中海气候极地气候山地气候海洋性西海岸气候带气候沙漠气候寒带针叶林气候大陆性气候热带雨林气候中国气候分区(采暖分区）东北严寒区、华北寒冷区、华中夏热冬冷区、华南炎热区、云贵温和区、青藏高寒区、西北干寒区聚类分析(cluster

ysis)

“物以类聚，人以群分”将物理的或抽象的多个对象（集合），分组成相对同质的群组（子集合）的过程。聚类分析与分类的不同在于，聚类分析所要求划分的类是未知的。是通过它们的特征因子的差异性和相近性进行群组的划分。聚类分析的步骤：定义问题与选择分类的特征因子——聚类方法——确定群组数目——聚类结果评估——结果的描述、解释。例如：对于城市，可以用“城市人口”和“人均GDP”两个特征因子来划分类型（聚类），在人口为横坐标，人均GDP为纵坐标的二维平面上，把各个城市标记上去，画成一个小圆圈。可以直观的把“靠得近”的“聚在一起”的作为一个群。两个因子都高的（聚在右上角）的是“经济发达的大城市”，聚在中间的是“经济发展一般的中等城市，等等。如果再增加一个特征因子：单位GDP能源消耗，那就要在三中去聚类。可以分析出各城市的产业结构，是单位GDP能源消耗少的服务业（包括金融、投资、商业等）和高科技产业，还是制造业、矿业；还可以再增加特征因子，如GDP增长速度，分析各城市经济发展的势头；还有人口增长速度，分析进程和城市扩张，等等。这时，聚类分析是在多因子的高

中进行。需要采用数学方法——聚类分析。全球夜间照明亮度分布Three

sequences

inthesamecluster

correspondingtoSurprise.Active

AppearanceModel

fitted

to

Subect

130in

the

Database.聚类分析首先是“定义问题与选择分类的特征因子”。定义问题，一是对象，分类的对象，一是目的，分类是为了什么。选择特征因子，表面看起来只要围绕“对象”和“目的”，列举有关的因素，对于一个相关的专业

并不难，但有一个

问题却常常被专业人士忽视，就是这些因子之间的相关性。上面城市分类的例子，选了人口和人均GDP，没有选GDP总量，这是因为GDP总量是和人口数是相关的。而人均GDP与人口数(城市有了一定规模）是独立的因子。大约20年前，一位的教授在建筑学院做讲座，讲类型，例举了近20个因素，涵盖面很宽，“面面俱到”。然后进行分析和分类，没用数学工具，只是专业性的定性描述。他讲完后，开始。我就说，您这么多因素，它们之间的相关性如何？我看许多因素有较强的相关，有的是正相关，我大你也大，有的是负相关，我大你就小。选择的各个因素应该尽量是相互独立的，数量就可以减少。还有，各个因素的重要性也不一样，不能平均对待，各自应有不同的权重。分类可以借助数学工具：多因子分析和聚类分析。“因子分析（FA）”于1931年由Thurstone提出。FA用少数几个因子来描述多个变量之间的关系，相关性较高的变量归于同一个因子；FA利用潜在变量或本质因子（基本特征）去解释可观测的变量（事物）。归纳“天鹅皆白”，是这一个一般民众普遍认同的结论（定律）。这个结论怎么得来的？是大量的实例观察，许许多多人看到许许多多的天鹅是白的，归纳得出的。这个结论（定律）能证明吗？1920年代尼科德（Nicod）提出，考虑一个定律：所有的A都是B（所有的天鹅都是白的），观察事实怎样影响它的成立呢？如果观察事实是许多既是A（天鹅）又是B（白色）的实例组成，它就有利于这个定律。反之只要有一个实例，虽然是A（天鹅），但不是B（白色），而是非B（黑色），这个定律就被否定。前面的事实是“确证”，后面的实例是“反证

”，确证需要大量实例，才能归纳，但还是不能完全证明，只能被普遍认可，而反证只要一个，足以

定律。可以看出，通过实例观察，进行归纳，有

因素、经验因素在内，按唯物主义哲学观，不甚“科学”。而且实例观察不仅取决于实例多少和观察人数，还与空间分布有关。100个人看到1个湖上1000只天鹅是白的，对“天鹅皆白”结论的支持，不如100个人在10个国家的湖上看到

100个天鹅是白的对结论的支持更有力。还有，尽管少量的反证存在，有黑的天鹅，但“天鹅皆白”似乎还是得到广大民众的认可，这已经是社会因素了。1945年，亨佩尔（Hempel）提出，能否从既不是A（天鹅），非A，又不是

B（白色），非B，来确证A就是B（天鹅是白的）呢？看起来这种想法很是荒谬。难道你看到许许多多不是天鹅的东西都不是白色：绿树、蓝天、红衣服、花斑鸠、黑乌鸦……，就可以得出天鹅是白的结论？不可能！这是

。但是，就一定可靠吗？真的不能从非A和非B中归纳出A就是B吗？冯·

莱特设计了一个场景：在一个大罐子里，放了许多的球和立方体，有黑、白两种颜色。从罐子里随机摸出一个，或是球，或是方块，不再放回。摸了许多次以后，发现摸出的球，有黑有白，而摸出的方块全是白的。于是下一个结论：罐中所有的方块（A）都是白的（B）。为了验证这个结论，继续摸。如果摸着摸着，摸出一个黑方块，是A但不是B，于是结论被

。如果继续摸，依然是，凡球就有黑有白，凡方块就是白。这时会想，既然球有黑有白，要说方也该有黑，然而面对摸出的黑球越来越多，就会转而认为原来罐子里只有黑球，没有黑方。这就由非