课件-第六第七章

一、变力沿直线所作的功如果一常力F作用于一物体使其沿直线移动了距离s,那么就说力对这一物体作了功,且所作功W

F

s如果计算功时力或距离是变化的,则需要在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定积分得到总功的表达式.定积分在物理学上的应用2设物体在变力F(x)作用下沿x轴从x

a

移动到

x

b

(a

b),力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在[a

,b]上任取小区间其上所作的功元素dW

F

(

x)dxW

定积分在物理学上的应用aF

(

x)dx因此变力F(x)在区间[a

,b]上所作的功为bax

x

b3例

在一个带+q电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷

a

处移动到o

a

r

dr

b

r

q取r为积分变量,r

[a,b],取任一小区间定积分在物理学上的应用b处(a

<b),求电场力所作的功.r

2

1rr

2[r,

r

dr],

功元素

dW

kq

dr,所求功ar

1b

1 1

.

a b

kqaW rb

kq2

dr

kq说明电场在r

a处的电位为r

2a

kq

dr

k

q

1库仑定律解

当单位正电荷距离原点r

时,电场力为F

k

qa4顶部28moy此[dx]上对应的链条质量dx,28

7链条密度

20

5

(kg

m).在[0,28]上取任一小区间[7功元素

dW

(gdx)

x

5g

xdx

x定积分在物理学上的应用例一长为28m,质量为20kg

的均匀链条被悬挂gxdx

W

57是焦耳.2744

(J

)

J总功028于筑物顶部(如图),问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部.解建立坐标系.x

dxx

dx],5x

dx53xoy在底半径为3米,高为5米的圆柱形水桶中x解建立坐标系.水的密度为

1000千克米3

.设想水分层抽出,在区间[0,5]上

ddW

(

g

32

dx)

x

g

32

xdx功元素例定积分在物理学上的应用存满水,要把桶内的水全部吸出,求所作的功.之对应总功W

(焦耳)

112500g任取小区间的水层质量

32

dx,把它提到桶口所作功近似地等于2g

3

xdx506离桶边1米处?x

dxo

1yx法一到桶口距离法二x

dxxoyx5

x

131)(dx24dW

g

32

dx

x1W

5

g

32

xdxdW

g

32

dx

(

x

1)04

定积分在物理学上的应用7二、水压力在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力.坝或

的压力.当压强为常数时,压力=压强×面积,当物体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是不同的,故往往需要用定积分计算液体对表面的侧压力.因而采用“元素法”思想.定积分在物理学上的应用8xx

dxR2

x2dx小矩形片上各处的压强近似相等p

x,xoyR小矩形片的面积为2取任一小区间定积分在物理学上的应用例

一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,为

,计算桶的一端面设桶的底半径为R,水的上所受的压力.解在端面建立坐标系.如图取x为积分变量,x

[0,R]小矩形片的压力元素为dP

x

2R2

x2dx3R2

x2dx

2

R3

.端面上所受的压力P

R2x0桶内盛满水?9解建立坐标系.oxC(0,3)

yD(10,1)CD的方程y

1

x

3515d2d

压力元素d1633(千牛)152

例设某水渠的010

定积分在物理学上的应用与水面垂直,水渠的横截面是等腰梯形.当水灌满xx

dx下底为2米,上底为6米,高为10米,如

在水下两米?10Mmr大小F

k

M

mr

2方向

沿两质点的连线三、引力定积分在物理学上的应用质量分别为M

,m

的质点,相距r二者间的引力:如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能用上述公式计算.则要用定积分计算.采用“元素法”思想.11杆一端有为a.计算细杆对质点的引力.的延xom.x

x+dx在

l]上,0[任取小区间

d可近似地看成质点,其质量为dx,它与质点的引力元素F

是否可建立其它坐标系?

该端距离例为dx的细杆r

2F

k

Mm(a

l

x)2

20

(a

l

x)l

kmdx

kml 引力近似地等于

dF

k

m

dxa(a

l

)l l

aa

l

x解法一建立坐标系.定积分在物理学上的应用12杆一端该端距离有例的延为a.计算细杆对xol.ma(

x

a)2法二

引力元素dF

k

m

dx2F

0

(

x

a)l

kmdxa(a

l

)kml法三

引力元素xox

dx

xx

dx

xm.a

lx

axadF

k

m

dxx

2F

x2a

lkmdx

aa(a

l

)kmlr

2F

k

Mm定积分在物理学上的应用13杆一端该端距离有例的延为a.计算细杆对法四引力元素m.xo

lx

x

dxaa

x(a

x)2dF

k

m

dx

(a

x)2

l0

kmdx

kml

F

a(a

l

)定积分在物理学上的应用14oM

(m

)

x2

l解建立坐标系.2

2取y为积分变量,y

l

,l

l

y2

y

dyy

ra取任一小区间[y,y

dy]有一长度为l

,线密度为

的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力.例a2

y2将典型小段近似看成质点小段的质量为dy,小段与质点的距离为r

定积分在物理学上的应用15细杆对质点引力元素a2

y2dF

kmdy水平方向的分力元素23(a2

y2

)32(a2

y2

)

amdy

xF

,

2kml12a(4a2

l

2

)oal22

lryyy

dyxa2

y2adF

k

amdy

,dF

dF

cos(

)

dF

cos

设y

a

tan

taa2

y2cos

M(m

)

x对称性

引力在铅直方向分力为Fy

0.162

kll2r

2F

k

Mm定积分在物理学上的应用17利用“元素法”的思想求变力沿直线作功、水压力和引力等物理问题．(注意熟悉相关的物理知识)四、小结定积分在物理学上的应用为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知

30m,抓斗自重400

N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,在提升过程中,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳(J)功?1o8提示作x

轴如图定积分在物理学上的应用思考题11999年考研数学(一)6分x30x

dxx定积分在物理学上的应用30

m,抓斗自重400

N,抓斗抓起的污泥重2000N,缆绳每米重50N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s

的速度从抓斗缝隙中漏掉o19x30x

dxx解将抓起污泥的抓斗提升至井口,需作功w

w1

w3w1

是克服抓斗自重所作的功;w2是克服缆绳重力所作的功;w

为提出污泥所作的功,3w1

400

30

12000将抓斗由x提升到x

dx克服缆绳重力所作功元素dw2

50

dx

(30

x)

w2定积分在物理学上的应用2o0x30x

dxx2w

30

m,

抓斗自重400

N,

缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,

提升速度为3m∕s

,污泥以20N∕s

的速度从抓斗缝隙中漏掉330

10,

w

3共需作功010

3(2000

20t

)dt

57000w1

12000在时间间隔[t,t

dt]内提升污泥需作功为dw3

(2000

20t

)

3dt将污泥从井底提升至井口共需时间dw2

50

dx

(30

x)30050(30

x)dx

22500w

12000

22500

57000

91500(J

)定积分在物理学上的应用2002年考研数学(二)7分思考题2某

的形状与大小

,其中直线l为对称轴,的上部为矩形ABCD,下部为由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与

矩形部分承受的水压力与的上端相平时,欲使下部承受的水压力之比为5:4,矩形部分的高h应为多少m(米)?BAD1h

OxCy解建立坐标系.aa矩形

P

2agxdx

h0令抛物线方程为

ay2

2