课件-第九章一、泰勒级数

一、

级数(Taylor)中值定理

如果函数xf)(在含有x0)1阶(的导数,则

xx0

)(的一个的某个开区间当x

在

ba),内(

时,ba),内(

具有直到

n

xf)(可以表示为n次多项式与一个余项xR)(之和:n2!xRxnx()()fx()n

()0n!(

n1)fx()000xx

)(20)(

)00fx(f)x()f

nn1(n

1)!

(

x

x0

)

(f

(

)n其中R

(

x)

x

x在

0

与

之间).林(Maclaurin)公式

)10n

1)(!!2)0(xn1n1()

x)(n)(x

2f

)0x()0()(f

x

f

fxnn!f

)0(

fn!f

(

n)

(0)2!f

(0)2nxx

f

(

x)

f

(0)

f

(0)

x

O(

xn

)如果

xf)(在点x0

处任意阶可导,则幂级数nn!0

xx)(0n

)(

xf

)(n

0数.xf)(在称为

xx0

处的

级nf

()n

(0)x

称为

f

()x

的n!n

0林级数.定义定理

1

如果函数

f

(

x)在U

(

x0

,

)

内具有任意阶导数,且在U

(x0

,

)内能展开成(x

x0

)的幂级数,即nf

(

x)

0a

(

x

x

)

nn

0则其系数a10(

x

)

(n

0,1,2,)(

n)

fn!n且展开式是唯一的.定理

2

f

(

x)在点x0

的

级数,在U

(

x0

,

)

内收n敛于f

(x)

在U

(x0

,

)内lim

Rn

(x)

0.二、函数展开成幂级数1.直接法(级数法)n!f

(

n)

(

x

)步骤:

(1)

求an

0

;nn(2) lim

R

0

或f

(n)(x)

M

,则级数在收敛区间内收敛于f

(x).例1

将f

(

x)

ex展开成幂级数.解f

(

n)

(

x)

e

x

,

f

(

n)

(0)

1.(n

0,1,2,)f

(

n)

(0)

1n!n!

an

M

0,在[Mf(n)

(

x)

ex

e

M(n

0,1,2,)ex

1

x

1

x2

1

xn

2!

n!由于M的任意性,即得x

(,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!

n!例2

将f幂级数.

sin)(展开成解f

(

n)

(

x)

sin(

x

n),2

2f

(

n)

(0)

sin

n

,

f

(

2n)

(0)

0,f

(

2n1)

(0)

(1)n

,

(n

0,1,2,)2且

f

(

n)

(

x)

sin(

x

n)

1

sin

x

x3!1

1n

1)(!2x3

5!x

(,)21nx

(,)2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如cos

x

(sin

x)sin

x

xcos

x

112!(2n)!x2

4!2nx

(,)

3!121n1

1n

1)(!2x3

5!arctan

x

x02dx1

x

n

12n121513x

[xdxx

(n0

1

x13n2ln(1

x)

12例：将f的幂级数.例：将f

(

1)的幂级数林展开式例：求函数ln(2

7

x

6x2

)的（即将其展开为x的幂级数）。1+x例：将函数f(x)=(1-x)3展开为x的幂级数。212-x0例：求e

dx例44

x将

xf)(

x

1

在x

1处展开成 级数解(展开成x

1的幂级数)并求f

(n)(1).1

14

x

3

(

x

1),33(1

x

1)1

1)n

]3333

1[1

x

1

3

x

4

(

x

1)

3

13n

1)n3332(x

1

3n!于是3n故f

(n)(1)

n!.3n

,f

(

n)

(1)

1练习：将函数f(x)=ln(2+x-x2

)展开为x的幂级数。三、

公式复数项级数:(u1

iv1

)

(u2

iv2

)

(un

ivn

)

其中un,vn

(n

1,2,3,)为实常数或实函数.

若u

un

,

v

vn

,n1

n1n1则称级数(un

ivn

)收敛,且其和为u

iv

.若1

1

2

2

n

nu2u2

u2

v

2

v

2

v

2

收敛,

则un

,vn

绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.n1

n1三个基本展开式复数项级数绝对收敛的概念

1

,n2!!ex53x3sin

x

x

,

(

x

)(2n)!2!

4!cos

x

1

2

n(

x

)(

x

)由e

x的幂级数展开式eix

1

ix

1

(ix)2

1

(ix)n

2!

n!

)n

1)(!213!

i(

x

12n

12

(1

x

1)(

)x2nn

2!

(2n)!

cos

x

cos

x

i

sin

xsin

xeix

cos

x

i

sin

xsin

x

2eix

e

ixcos

x

eix

e

ix2i又e

ix

cos

x

i

sin

x公式e

x

iy

e

x

(cos

y

i

sin

y)揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.三、小结如何求函数的

级数;级数收敛于函数的条件;函数展开成

级数的方法.公式思考题什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.2、(1

x)ln(1

x);1、a

x

；3、arcsin

x

；练习题一、将下列函数展开成x

的幂级数,并求展开式成立的区间:4、(1

x)31

x.二、将函数f

(x)x

3

展开成(x

1)的幂级数,并求展开式成立的区间.三、将函数f

(x)数.

3

x

21x

2展开成(x

4)的幂级四、将级数2n1(1)n1

x

2n1(2n

1)!的和函数展开成(

x

1)n1的幂级数.练习题答案一、1、(

x

)；n!n0(ln

a)nxn2、n(n

1)(1)n1n1x

(1

x

1)；x

3、2x

n1(n!)

(2n

1)

22(2n)!

xn12n1(

)

(1

x

1)；(1,1).4、

n2

xn1n1二、31

(

x

1)

2(0

x

2).)n0n

2(1)n

(2n)!

3

(

x