高等数学强化

考研数学高等数学主讲：张宇张宇：名师，博士，著名考研数学辅导，教育部“国家精品课程建设骨育《入学考试数学考试参考书（大纲解析》编者之一，2007年TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲极 第二讲一元函数微积分 第三讲多元函数微分 第四讲二重积 第五讲微分方 第六讲无穷级数（数一、三 第七讲多元函数积分学的预备知识（数一 第八讲多元函数积分学（数一 PAGEPAGE4第一讲x

f(xA00，当0

x

f(x)A（xx，xx，xx，x，x，x limxa0N0，当nNxan x若limf(x)f(xx0f(xx0中有无定义点，则limf(x不1如limsin(xcosx xcosxN③取f(xxn的范围 若limf(x)A，则A唯一2Ilimln(1exk[xIk

ln(1ex若limf(xA，则M00，使得当0x

xx0时，f(x)Mf(x

(x31)sin

(x21)(x21)若limf(x)A0（或则在x中，f(x)0（或 脱推论：若x中，f(x)0（或，若limf(x)，则limf(x)0（或 【例】设limf(xf(x0)1f(xxx处（ (xx0 1cosxcos2xcoslim eelimx0tx[t2(e11)t1lim1 x2ln(1xlimlnxln(1limxlnx0（00lim[4x2xln(21)2ln2 lim(2xtanx2)sinlim(xsinx)sinxm x(11xx2f

sin2xf(x)若lim 1，求lim x0xsin xsin（1）lim(111)n 1（2）lim(12n3n)nsinnx(1n(1n （Ⅱ）设

1

ln(1x)x，求limx

nPAGEPAGE6PAGEPAGE7

1f(xx设xn满足lnxn11，证明limxn存在，并求此极限 1p(xabxcx2dx3x0p(xtanxx3高阶的无穷小量，求p(x).2】若

xln(1x)sint0t0

kdt与cx为等价无穷小量，求ckxxx(xxxx(x1)ln

x(x2 xsin4f(xx(x2 x xPAGEPAGE17第二讲一元函数微积f(xx0f(xx0f(x0存在 x

x0Fxx ln(12x)2xf 【例2】设0，f(x)在[,]上有定义，f(0)1，且 0 f(xx0f(0)3f(xx0处连续，且limf(xf(xf(0) 4f(xx0处连续，且limf(2xf(xf(0) 5f(xx0处连续，且limf(axf(x)baba f(0

a1 yf①yf(x0x)f(x0③lim 0y

f(xx 故一点可导yAxdyAxy(x0)x【例】设f(u)可导，yf(x2)，当x在x1处取x0.1时，y的线性主部为0.1，则f(1) xIF(xf(xF(xf(xI上的一个原函数f(x)dxF(x)x0IF(x0f(x0F(xf(xI上的原函数xf(xIF(xa

f(t)dt(axIF(x

f(x)，xI1F(x

x

xx x【例2】f(x)

x①f(x)

xxx2xsin12cos1 x②f(x)1③f(x)

xxx2xcos1 ④f(x)

x f(x连续F(x)af(t)dtf(x可积F(xaf(t)dt xF(xaf(t)dtx【例】设函数yfx在区间1,3上的图形为ffO-0-123xx则函数Fx0ftdt的图形为 xF1-F1-0123x-

10- -

FF1-0123xF1-0123- 若可导函数f(x)是奇函数，则f 若可导函数f(x)是偶函数，则f f f(xF(xaa

f(t)dt(a f f(xF(xaa

f(t)dt(axF(x)0f(t)dt是 x x0为间断点的奇函 （D）x0为间断点的偶函【例2设f(x)是连续的奇函数，a0则下列函数中一定是y的偶函数的个数 x ①adx0f(u)du；②0dxaf(u)du；③0dxaxf(u)du；④adxaxff(x以Tf(x也是以T为周期的xf(x以TF(xaf(t)dt以TxT0f(x)dx0T f(x以T为周期，则f(x在(0,内可导，则（

f(x)dx f(x)dx，af(x在Xf(x在Xf(x在Xf(x在Xf(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,nn2【例1】lim(n1n2nn2nn2 n2 n2 n1 2】求lim(bn1)bnsinb2nb x5.变限积 x

f(t)dt，

f(t)dt，

2(x

fb 1(xbb属于定积分af(x)dx f(t)dt)f[2(x)]2(x)f[1(x)]1【例】设f(x)是连续函数，则(xtf(x2t2)dt)x 06.①定义 fbaf(x)dxab x x 1 p1 0x p11】设0

1ln02】设k0

x(lnx)k的敛散性xsin 处连续

f(x) ， x

(xx2yf(xy3xy2x2y60f(x的极值112x

y(n0 【例5】设y 1x

xy(nn2ln(xln(x1x2)1x2【例1】 (2x1)3(2x1)34x【例3】I 1x)dx(xx4I

ex1ex1x25x2

(x10①x(x0,x0)，f(x)0；x(x0,x0)，f(x)0②x(x0,x0)，f(x)0；x(x0,x0)，f(x)0

x0为极小值x0为极大值点yy(xx2y2y1yy(2)0yx的极值f(x)f(x) f(n1)(x)设f(x)在x0处n阶可导，且f(n)(0x)0 f(nx0x n为偶数时，若f(nx0x 【例】设yy(x)满足y(4)3y5yecosx，其中y(2)y(2)y(2)y(2)0 x2的性态20拐点与凹f(xx0f(x变号x0f(x0为曲线上的拐点f(x)f(x) f(n1)(x)设f(x)在x0处n阶可导，且f(n)(0x) 1yx1)(x2)2x3)3(x4)4的一个拐点为（ （B）(2, 2f(xg(x)f(0)(1xf(1)x，则在[0,1]（（A）f(x0f(xf(x)0f(x)f(x0f(xf(x0f(x30渐近线——求解程limy(x)（xxxxxx为铅直渐近线；反之亦反x limy(xA(yAlimy(xlimy(x)a(0)lim[y(xaxb(yaxb为斜渐近线 4x2xln(21)的渐近线 条x在[abf(x)0x0f(x不存在x1③端点abf(x0、f(x1)、f(a)、f(b，比较大M,在(ab③

f(x)，

ff(xex2sinx2的值域1012b12b

y1(x)y2(x) 20旋转体的

r2()r2()x轴旋转

bf2aby轴旋转Vy2axf(x)bb30平均值 yay(x)dxbab(dx)2(dx)2bb

1[f(x)]2[r()]2[r()]2S

t2[(t)]2(t)]2dt，其中x y 50旋转体的侧面 a

f

1[f(x)]2注：40、 均为数一、二考查内容，数三不要1【例】设曲线ye2 sinx在x0部分与x轴所围平面区域记为D，求D绕x轴旋转一周所得旋转体体积V. x0和短轴长分别为2a2b.求钢板一侧所受的静水压力.x【例】设某产品的总成本函数为C(x1003xx2p100xx2中值定理“”1f(x在[aa](a0)f(0)03证明：存在[a,a]，使得f()

fa 2f(x在[0,1(0,1f(0)0f(1)1证明：存在不同的123(0,1)f(1f(2f(33 f(a)f( 0f( f(x)0f(x)；f(x)0f(x)f(nx0至多有kf(n1)(x0至多有k1个根【例】证明lnxex0

1cos2xdx0有且仅有两个根【例4】设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，且f(x)，0g(x)xxbbb

g(t

f(x)dx

f(x)g(x)dx 第三讲多元函数微概念——5y

f(x,y) (x,y)(x0,y0

f(x,

(x2y2) (x,y)(0,1f(xy

x2 (x,y)(0,

，求limf(xy2】求2

tan(x22xyy2.xyx2x2y2 x23

2

y4】求limsin(x2yy4

x x2y2【例5】设f(x,y)x2 ，求limf(x,y) x2y2

f(xyf(x0y0f(xy在(x0y0处连续y

xsin

y (x,

(0,f(xy)

(x,y)(0,y

f(x,y)f(x0,y0)，称为间断，但多元时，不间断类型 z(x,y)f(x (x0,y0 (x0,y00f(x,y)limf(x,y0)f(x0,y00 x0f(x,y)limf(x0,y)f(x0,y00 y y(xyDz

fx(x,y)0f(xyxx1x2，则f(x1y0f(x2y0（A）x1x2，y1（B）x1x2，y1（C）x1（A）x1x2，y1（B）x1x2，y1（C）x1x2，y1（D）x1x2，y1 x2【例】设f(x,y) ，求fx(0,0)，fyx2zf(x0xy0yf(x0y0 Ax 线性增量z(Axlim 0f(xy在(xy处可微.(x)2(x)2zAxByo((x)2y)2①f(xx,yy)f(x,y)AxByo((x)2(y)2 ②f(x,y)f(x,y)A(xx)B(yy)o((xx)2(y 全微分 f(x,y)dxf(x,y)dy(x0,y0 dzf(x,y)dxf(x,y)dy，dzzdxz

f(x,y)f(x,y)2xyx2(y

.zf(x,y)，fx(xyfy(xlimf(xyf(xylimf(x,y)f(x,y y

yf(xy在(x0y0处的偏导数连续.xy(x2y2【例】设f(x,y) x2 (x,y)(0,0)，求f(0,0)，f

(0,0) (x,y)(0,uu(zf(u,v,w)，vv(x,wzzvz v w1zf(excosyx2y2f

2xy2zf(xy,f(x,y))，求 zf(x,y在点(xy)一阶偏导数存在f'(xy0,f'(xy0 0

0极值A0

y f

记f''(xyB，则

AC0 ''(x0,y0)

(x,y,z)问题提法：求目标函数uf(xyz在约束条件(xyz0下的极（最）F(x,y,z,,)f(x,y,z)(x,y,z)(x,y,FxFFz解上述方程组P(x,y,z)(i1, )u(P)

i1f(xykx22kxyy2在点(0,0)处取得极小值，求k的取值范围zx22】求ux2y2z2在约束条件xyz

3】求uxy2yzx2y2z210下的最大值与最小值第四讲二重积2f(x,y)d f(x,y)f(x, f(x,y)f(x,2f(x,y)d f(x,y)f(x, f(x,y)f(x,2f(x,y)d f(x,y)f(x,Df(xy)d f(x,y)f(x,Dyx3y1x1I(xycosxsiny)d（DD D12cosxsin其中，D1为D在第一象限的部

2(xycosxsin如：设f(x)在[a,b]上连续恒正，证明：bf 1dx(ba)2 afDxyD不变，则f(xy)dfyx)d ff f(ff f(f(D

dIsin(x3y3)dD(xD

xy1. 1f(xy)dadx(x)f(xy)dyDX型区域：1(xy2(x1Daxb ( f(xy)d f(xy)dxD为Y型区域：yxy，c (2 D

1 fxyd r2frcosrsin （极点O在区域 DD②fx,ydD

d

r frcos,rsin 0 r③fx,ydd

frcosrsin （极点O在区域D边界上 1【例1】交换1dy f(x,y)dx的积分次序2

2

DD

，y DD ，则 I(xy)dD(xy)x2y2xyD x2y2)d，D(x,y)1x2y24,x0,y0 x【例2】I r2sin1r2cos2drd，D(r,)0,0rsec 第五讲微分方F(xyyy,y(n1yy(xy2y4y0y(x00y(x00f(x处（ 2p(xqx在[abq(x0yy(xyp(xyq(xy0y(a)y(b)0yxx[ab形如：

f(x,y)g(x)h(dyg(x)dxh(y) dyg(x)dxh(y)yy2tanxtanx的通解 y

f(x

令u，则yux, x

f

dxf(u) f(u) 【例】求ydx(x x2y2)dy0(y0)的通解yp(xy两边同乘积分因子ep(xdxep(x)dxyp(x)yep(ep(x)dxyep(x)dxq(x)dx yep(x)dxep(x)dxq(x)dx

y

的通解 2yf(xyypyppf(x,yfyy)令yp,ydpdpdypdp，pdpf(y,p) dydx ypyqy2pq01,

p24q0yCe1xCe2 p24q0yCC p 4qp24qp2p24q0 p 4qp24qp2 yex[C1cosxC2sin【例】设cosx与xex为4阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则首项系数为1的该方程 2．1）ypyqyexPm 不是齐次特征方 y*exQ(xxkk 22

是齐次特征方程是齐次特征方程y4yex(2x 2）ypyqyex[P(x)cosxP(x)sin 设y*ex[Q(1)(x)cosxQ(2)sin (lmaxm k

y4y2cos第六讲无穷级数（数一、三级数的定义给定一个数列u1,u2 ,un ，则称u1u2u3

un 数项)无穷级数简称(常数项)级数un即unu1u2u3un n级数的部分和称Snuiu1u2u3

为级数un的部分和级数的敛散性若limSnS（存在）则称级数un收敛S叫做该级数的和 Sun若limSn不存在则称级数un发散

如果unlimSn收敛则limun0 u(u0)

n常）数项级数级数

un(un0)

anxn正项级数（unun0）un收敛Sn有上界【例】设an0(n1,2,)，Sna1a2an，则数列Sn有界是数列an收敛

uv都是正项级数且uv，则n1

n1n

u发散v 设un和vn都是正项级数 若vn收敛，则un u是高阶无穷小 0 若u收敛，则vlimn0 = vn是高阶无穷小 n 若v发散，则u n1 A0u与v是同阶无穷小u与v

设un为正项级数1limun1

n 该法失效，另谋他法（一般转而用比较判别法设un为正项级数limn

n n （2n101 2】判别n!xnx2、3处的敛散性n13】设an，bn0anlima0

0bn nn1 n0)交错级数 (1)n1u,n莱布尼茨判别法若交错级数(1)n1un(u0)n

lim

n0 n

unun1(n=1,2,3,1】判别

n11的敛散性n n【例2】判别n任意项级数（un，un符 unun.于是，判别正项级数敛散性的种种方法均可能派上用场 若un收敛un绝对收敛 若un收敛,但un发散un条件收敛 n1

1】判别

n (1)n a2收敛，则判 n(0)的敛散性 n 若un(x的一般项un(x是幂函数，则称un(x为幂级数axxn

a(xx)a(xx)2 n

an(xx0)其标准形式为

axnaaxax2

n

anx

；其中

x0I，有un(x0发散x0为级数un(x的发散点 收敛域函数项级数un(x的所有收敛点的集合称为它的收敛域幂级数anxn的首要任务是判别敛散性，因为只有收敛了才有继 体说来，将某个x代入级数axn，判别此数项级数是否收敛 n当幂级数

axn在xx(x0)处收敛时对于满足x 的一切x，幂级数绝对 1

axn在xx(x0)处发散时对于满足x 综合2、3得出收敛域.【例】

(x nf(xxx0 f''(x f(n)(x 0(f f(0x)(xx0) (xx (xx)0 f(n)(x为函数f(x)在x处的泰勒级数，记作f 0(xx)n，其中“”叫做“0

f f

fnffn2x

x xn

x2 xn 为函fx的麦克1f(x

x2x

展开成(x3)的幂级数2f(x

1(x

展开成(x3)的幂级数 （1）en!1x2! n

xn11 11

1xx x 1x 1 1

1xx x 1x n1xnxx2x3x4

n1xn

n（4）ln1xn

(n

1n 2n1n 2n xsinx

2n

x n 2nn 2nx（6）cosx

n1xn（7）1x n1xn7敛区间的端点是否收敛与的取值有关，可以证明(这里不证)：当1时,(1,1)10时,(1,1]；当0时, anxn1S(xnxnxn2S(xn

，x 1 (x1,kZ1 n x

x

(1x

1x

(1 nxn

(1x(1

2

(x(1 (1

1 n(n

n2xn

(x

1x

(1 x xn1 x n0 dt0 dt01tdtln(1 (1x f(x是以2l为周期的可积函数，如果在[l,lf(x n nxS(x)0ancos bnsin f

n1

x为连f(x0)f(x S(x)

x为第一类22f(x)

f(l0)f(l x为端 1x 1x1的周期为2的傅里叶级数为S(x)，则在x x 0x x0，x1，x3处，S(x)分别收敛 2 n nxf S(x)0ancos bnsin n1 (n其中系数an和bn分别为a1lf (n l l 1 nbn

llf(x)

(nl1f(x在[l,la1lf 1 n展开系数为anllf(x)cosnlx b1lf l

)2f(x在[l,l a0当f(x)为奇函数时，展开系数

f(x)

l a lf 当f(x)为偶函数时，展开系数为 lf(x)cosna

)l bn3、将非对称区间[0,lf(x 需作偶 a0当f(x)为奇函数时，展开系数

f(x)

l a lf 当f(x)为偶函数时，展开系数为 lf(x)cosna

)l bnx 22

f(x)

，bn20f(xsinnxdx，n1 )S(942f(x1x2(0x展开成余弦级数，并求

.第七 多元函数积分学的预备知（数一aaxayazbbx,by,bzccxcycz①ab0abaxbxaybyazbz②ab0a//bax

(abca,bc0a、b、cbz 平面的法线向量nA,B,C AxB C A(x0x)B(y0y)( 直线的方向向量l,m, xx0y0yz0 以xoy面为例F(x,y,z)（1）将G(x,y,z)

z消去(xy)(x,y)（2）则投影曲线包含于曲线z2zy

1】将空间曲线x2y2z3yz1xoy面，求其投影曲线及所围区域问题提法：曲线F(xyz)0Lx

y

曲面

G(x,y,z) ,P(xyzM1PsM0PM0M1(xx)2(yy)2(zz)2(xx)2(yy)2(zz F(xyz0和G(xyz0x1y1z1方程

xy2z11】求x3y2z10y轴旋转一周所得曲面的方程设空间曲面F(xyz0P0x0y0z0是上的点，则曲面P0x0y0z0处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0

x y0y 00

0x

0z)

(曲面P0x0y0z0处的切平面方程Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)设空间曲面zf(x,yF(x,yz)f(x,yz则曲面P0x0y0z0处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为n{fx(x0,y0),fy(x0,y0), xx0 yy0 zz0 f ) x(y 曲面P0x0y0z0处的切平面方程fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)【例】曲面x2cos(xy)yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程 ①空间曲线由参数方程yy(t)给出，t为参数，曲线上一点P0x0y0z0，当tt0时zF(x,y,z)②空间曲线由交面式方程组G(x,y,z)

FFy取切向量n1n2 FFy GGGG

FzFzGGz设函数uu(xyP(xy的某空间邻域UR2lP P(xy为l上且在Uxx0xtyyytsin (x)2以t 表示P与(x)2limu(P)u(P0)limu(x0tcos,y0tsin)u(x0,y0t t 存在，则称此极限为函数uu(x,y)在点P沿方向l的方向导数，记作 . 设函数uu(xyP0x0y0可微，则uu(xyP0处沿任一方向lu(P)cosu(P)sin x2【例】设f(x,y) ，求f(0,0)，f(0,0)x2y

为函数uu(xyP0处的梯度 u(P)cosu(P)sin与梯 l

u(P),u(P)cos,sin locos 其中为

与lo的夹角，当cos1

散度旋度

UP(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,divUPQirotUPirotUP 第八讲多元函数积分学（数一三重积f(xyz定义在三维有界空间区域

f(x,y,z)dv

f(i,i,i)vi 0（1）将无限分割的vi0，为所有vi的直径的最大值，强调该极限与对区域然可以被所理解，就是以f(x,y,z)为点密度的空间物体的质量：Mf(x,y,在f(xyz在上有界且在上除了有限个点、有限条光滑曲线和有限块光滑曲面外都是连续的，则它在上可积也就是三重积分存在在考研数学中，一般总假设f(x,y,z)在上连续，也就是三重积分总是存在的.xrsinzr f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sin 2

（2

意一点xyz轴的直线，使之穿过，先碰到zz1(xyzz2(xyf(x,y.z)dvd

z2(x,

f(x,

z1(x,先做关于某两个变量（xy）的二重积分，然后做关于另一变量（z）的定积分，ddf(x,y,z)dvcdzf(x,y, 去截所得Dz是圆域或其部分（比如旋转体）.xryrz其中0r，02，z于是，柱面坐标系中的体积元素dvrdrddz f(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin,z)rdrd x2x2 zdv，其中是由 zx22Izdv，其中(xyzx2

3z,0z11

1 1sin x

dz I(2xyz)dv(xyzx1)2y2)2z2a2a假设xoz2f(x,y, f(x,y,z)f(x,y,f(x,y,z)dv f(x,y,z)f(x,y,其中1是xoz20轮换对称性 f(x,y,z)dvf(y,x, Iy2z2dv(xyzx2y2z2a2a0第一型曲线积分f(xyLf(xyL为 f(x,y)ds=limf(,0f(xyMLf(x线积分是定积分的推广，这样就不难理解为什么后面要把第一型曲线积分化为定积分计算了.Lf(x,y)L上连续f(xyL上有界LL上的第一型曲线积分存在f(x,y)L上连续，也就是第一型曲线积分总是（（yy(t

t）给出，则ds [x'(t)]2[y'(t)]2dt

f(x,y)dsy

f(x(t), x(t)2y(t)2L由x

axb给出，则ds

f(x,y)dsbf(x,y(x))1y(x)2 ③若平面曲线L由L:rr给出，则ds r()2r()2d f(x,y)dsbf(r()cos,r()sin)r()2r() （x

xdsxlL，其中lLL的长度 L10普通对称f(x,y)ds

2Lf(x, f(x,y)f(x, f(x,y)f(x,L1L的右半平面Lf(x,y)dsLf(y,a

L(x x2xx23yL(x x2x3

1，其周第一型曲面积分f(x,yz定义在空间有界光滑曲面f(x,yz)沿曲面的第一型f(x,y,z)dSlimnf(,, 0注（1）将无限分割的Si0，为所有Si的直径的最大值，强调该极限与对曲面f(xyz为面密度的空间物质曲面的质量：Mf(xy了解两个可积条件即可：设空间曲面f(xyz在续或者当f(x,y,z)在上有界且在上除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则它在上的第一型曲面积分存在f(xyz在上连续，将投影到某一平面（xoy面）上投影区域D（Dxyzz(x,

将F(xyz)

f(xyzx，zdS1zx)2zy)2 f(x,y,z)dSf(x，y,z(x,y))1z2z2 上任何两点的投影点不能重合（zz(xy为单值函数）若重合，则1）转投其他面；2）分成若干投影不会重合的面.形心公式的逆用（x假设xoz

xdSxSS为的面积 2f(x,y, f(x,y,z)f(x,y,f(x,y,z)dS f(x,y,z)f(x,y,其中1是xoz20轮换对称性 f(x,y,z)dSf(y,x, 【例】设

1P(xyz，π为 平面.(x,y,z)是点O(0,0,0)到平面π的距离，求I dS(x,y,第二型曲线积分如果P(xyz都对应着一个数量u，则在uu(x,y,如果P(xyz都对应着一个向量F，则在F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,问题可以这样来描述：在一个向量场—变力场中，设某质点在变力F(x,y,z)作用下，沿着有向曲线