2022年数学归纳法的应用

数学归纳法的应用姓名甘国优指引教师赵慧炜中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的措施，其应用极为广泛．本次重要简述了数学归纳法的简略环节：观测（摸索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的某些简朴应用问题的措施，相应用中常用的误区加以剖析，以及简介某些证题措施技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力．核心词：数学归纳法；环节;证明措施．Abstract:Mathematicalinductionisacommonevidencemethodinmathematics,itishaveverybroadapplication.Inthispaper,authorresearchintothestepoftheMathematicalinduction,itincludessummariz，evidenceandguessembodytheideaoftheevidenceofmathematicalinduction.Alsoathere,wesummarizthemethodofthemathematicalinductionapplicationinsolvealgebraidentities,geometric,orderandportfolio,andsoon.alsoanalyzethecommonerrorsonapplicationandintoductskilloftheproof,proofofskillsintroduced.ItishelptoincreasedtheleveloftheMathematicalinduction’sapplication．Keywords：Mathematicalinduction;Steps;Proof.引言演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同步又是数学思维中两种基本的措施.数学归纳法是一种重要的数学证明措施，她有着其她措施所不能替代的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具有两个条件：①当时，这个命题为对的的（奠基），②当时，这个命题也为对的的．推出当时，这个命题也为对的的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.一方面我们要理解归纳法与数学归纳法的思想，由思想转换为思路来解决实际问题.固然我们在中学所学习的比较浅显，因此需要进行整顿疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的某些问题进行整顿,理解数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选用典型例题来体现这一思想，抓住其最基本的环节并掌握数学归纳法的证明措施．1数学归纳法的概论1.1数学常用证明措施数学是门极其注重学习措施的学科,数学恒等式的证明使这些措施体现的完美无缺，而常用的数学证明措施有如下几种；1.1.1演绎推理由一般推理到特殊的推理措施称为演绎推理，又叫演绎法．1.1.2归纳推理由特殊到一般的推理措施称为归纳推理法，又叫归纳法．其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法．1.1.3完全归纳法探讨事物的所有特殊状况后得出一般结论的推理措施称为完全归纳法，又叫枚举法．1.1.4不完全归纳法由某类事物中一部分事物所具有的某种属性，推出此类事物所有都具有这种属性的归纳推理措施称为不完全归纳法．1.1.5数学归纳法数学归纳法证明是与自然数有关的命题的一种特殊措施．（在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立）1.2数学归纳法的定义数学归纳法定义:是一种先得出首个例子的对的性,再通过递推的方式证明命题与否对的的一种措施．它是以考察特殊、个别的状况后作出的判断作为基本.再从这些个别状况的判断归纳出一般的结论,也可以说,它是从特殊到一般的推理措施.即当n=1对的时,若在n=k对的的状况下,n=k+l也是对的的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐个的加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种措施就是数学归纳法.2数学归纳法的背景与原理2.1背景数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环措施”都可以找到这种痕迹．有资料和数据表白，在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理．而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而她也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个环节进行清晰的论述．真正清晰数学归纳法证明这两步的应是17世纪的数学家帕斯卡，最早是她将数学归纳法的证明用两步拟定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的,

并由英国教科书作者普遍使用并推广．

数学归纳法的严格建立，是对无穷概念有较深刻的结识和数的理论充足发展后才得以完毕．十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架，后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式的数学归纳法．至1889年意大利数学家皮亚诺刊登《算术原理新措施》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一种合理、精确的理论基本．归纳法的逻辑是指从有限的特殊事例推出一般性结论的推理措施，从肯定全体对象中的有限的个别事物到肯定全体对象．但数学归纳法并不具有这些特性．演绎法是由一般到具体结论的推理措施，演绎推动的前提必然蕴涵结论。从数学归纳法的推理过程来考察，还是从它的理论根据来考察，数学归纳法本质上都是一种演绎法。现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”：“归纳法是通过对特例进行观测和综合后以发现一般规律的过程.它仅在数学中用以证明某类定理．从名称上看，两者有联系,

但两者在逻辑方面的联系很少。而两者之间尚有某种实际联系；我们常把两种措施一起使用．”2.2原理所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几种起始自然数一一相应的过程.我们用表达自然数这个无限集合，自然数的一种基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一种有关的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一种系统（这里指自然数）进行推理，一方面需要对该系统做某些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应当是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集的每个非空子集均有一种最小元素.显而易见，自然数的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，虽然对于不易直接定义的集合，该定理仍然有效.例如，当和可取任意整数时，考虑所示的所有自然数集合.从定义看该集合的范畴并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一种通过该方式表达的最小自然数.（固然，求具体的最小自然数的值是此外一回事.注意良序原理保证有一种最小数存在，但绝对没说如何去计算它.）从数学归纳法的发现、发展到应用；从数学归纳法理论基本到实际教学；从数学归纳法的逻辑基本到学生学习数学归纳法时遇到的心理问题。要清晰有关知识又何止这些呢?事实上,只有清晰理解每一种知识点的来龙去脉和每一种知识点的应用范畴,以及每一种知识点的因此然,方能更好去解决问题．3数学归纳法的环节数学归纳法的环节,若把需证明的命题记作ｐ(n),那么数学归纳法的环节为:(1)证明当n=1时,p(n=1)成立．(2)假设n=k(且k0)时,命题成立,即p(k)成立.证明当n=k+1时命题也成立．(3)根据(1)、(2)当k0且时,即p(n)成立．运用数学归纳法证题时,以上这三个环节是必不可少的,环节(1)时是对的的奠基环节,称之为归纳基本,环节(2)反映了递推关系,即命题的对的性具有传递性作用．环节(3)是将环节(1)与环节(2)组合完毕数学归纳法中递推的所有过程,因此三个环节必不可少．4易错分析刚刚接触数学归纳法时容易浮现对环节把握不清的现象,下面针对几种常用错误进行分析．4.1弄不清届时的式子变化例1:用数学归纳法证明:,从“”到“”左端需增乘的代数式为：A.B.C.D.错误解法：时，式子左端，时，式子左端为故选B．分析：时，左端第一种因式也有所变化，不能简朴地看背面的因式．对的解法：当时，左端为为从到持续整数的乘积．4.2运用数学归纳法时忽视了时的假设条件．例2:用数学归纳法证明：时，错解：(1)当n=1时，左边=,右边=,等式成立．(2)假设，时，等式成立．即则当时，===.因此时，等式成立综上所述当时，成立分析：在证明等式成立时，没有用到归纳假设正解：(1)当时，左边===右边，等式成立．(2)假设，时，等式成立，====.因此时，等式也成立.综上所述，对一切，都成立．数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法．5运用数学归纳法的典型例题例3:用数学归纳法证明：=，分析：本题第一步的验证要取，在第二步的证明中应在归纳假设的基本上对的地使用正切的和角公式．证明：(1)当时，右边=====左边则等式成立.(2)假设当时，等式成立，即=.==.点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1=.因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对时命题的特性，合理地选择和使用三角公式．证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.例4:求证:证明:(1)当n=1时,等式左边=,右边=,等式成立.(2)假设时等式成立,即由(1)和(2)可知等式均成立．6中学数学中数学归纳法的用途在讨论波及正数无限性的问题时数学归纳法是一种及其重要的措施,在中学数学中它的作用和地位可以用三个方面来体现:(1)中学数学中的许多重要结论,如等比数列的的通项公式前n项和公式、等差数列与,二项公式定理等等都可以用数学归纳法加以证明.而完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,也常应用数学归纳法来证明它们的对的性．(2)运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界,又可以受到推理论证的训练.对于某些用常规的分析终合法不好证明的题,用数学归纳法往往会得到某些意想不到的好成果．(3)在进一步学习数学时数学归纳法会常常用到,因此掌握这种措施可觉得此后的高等数学的学习打下一种良好的基本.7数学归纳法在几何方面的应用7.1数学归纳法在几何中的意义归纳法是由特殊得出一般结论的归纳推理措施，一般性结论的对的性是依托个别结论的对的性．因此数学归纳法的实质是证明命题对于一切自然数都是真命题．它在本质是与数的概念联系在一起的，因此数学归纳法可以应用到数学的各个分支，在几何中也不例外．数学归纳法是用于证明与自然数n有关命题的对的性措施．它的操作环节简朴、明确，证明过程一般可分如下两个环节:1.对于命题故意义的最小值，直接验证命题是对的的．2.证明如果命题对任一自然数成立，那么论断必然成立．7.2数学归纳法在几何中的应用7.2.1应用数学归纳法作计算例5：平面上有圆心在同始终线上的半圆，其中任意两个都相交，且都在直线的同侧，问这些半圆被所有的交点最多提成多少段圆弧?解:设半圆的交点最多将半圆提成若干段圆弧，如下图所示.图1图2图3容易发现由此可以猜想n个半圆互相提成圆弧段最多有证明:由题意知(1)当n=2时，结论成立.(2)假设当n=k时，结论成立，（平面内满足条件的k个半圆互相提成的圆弧最多有.）那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，可获得最多圆弧段，任意三个半圆不能交于一点，因此第k+1个半圆把原k个半圆中每个半圆的某一段圆弧都一分为二，这样就多余了k条圆弧;而原k个半圆又把第k+1个半圆提成了k+1段圆弧，这样又多余了k+1条圆弧．故．这就是说，当n=k+1时结论也成立．根据(1)和(2)可知，满足条件的n个半圆被所有交点最多提成段圆弧．8结论数学归纳法重要针对某些与自然N的有关命题,因此在证明和自然数N有关的恒等式子中有着不可替代的作用,用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个环节必不可少,第一步命题递推的基本,第二步是命题递推的根据,也是证明的核心和难点,同步,数学归纳法的证题环节和格式是数学归纳法的特性,如n=k时的假设是第二步证明n=k+1的“已知”,证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,在证明时命题成立,要用到某些技巧,如:一凑假设,二凑结论,不等式的放缩、等价转化、拆项、加减项等，但这些解题技巧需在实践中不断积累和总结,证明三角恒等式时常用到有关三角公式、三角知识以及三角的转换等.通过这些变换可更简朴便捷的让命题得证.总的来说记住三句话：“递推基本不可少，归纳假设要用到，写结论时莫忘掉”,我们这样才可以较好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学证题措施,更是中学数学的重难点知识之一,它在开阔眼界,训练推理能力等诸多方面有着很大的协助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等比数列的的通项公式与前n项和公式、二项公式定理以及差数列等,都可以用数学归纳法加以证明,这样既可以加深对教材的熟悉又可以加深知识的理解.固然不仅在中学数学中,在学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可缺少的措施。同步借助数学归纳法进行几何教学，便于学生一步步理解命题的内涵，进而容易找到n与n+1的关系，这样可以精确地解决问题。数学归纳法在几