冲刺阶段(查缺补漏)试题

.z.2016届高考备考冲刺阶段（查缺补漏）试题数学（理科）1.*中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为3210求数学期望；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小.解：（1）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.（2）由题意可得：.因为，所以.所以.（3）.2().*中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．【解析】（1）设下周一有雨的概率为，由题意，，基地收益的可能取值为，则，，，∴基地收益的分布列为：201510，∴基地的预期收益为万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），，综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．3.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[85,95)①②[95,105)0.050[105,115)0.200[115,125)120.300[125,135)0.275[135,145)4③[145,155)0.050合计④根据上面图表，①②③④处的数值分别为①________，②________，③________，④________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．解析(1)随机抽出的人数为eq\f(12,0.300)＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填eq\f(4,40)＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1.(2)频率分布直方图如图．(3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为eq\f(6,10)×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.4.*中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）总人数203644504010将学生日均课外课外体育运动时间在上的学生评价为"课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为"课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20110合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的"课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望和方差．参考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考数据：解答：（Ⅰ）课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200………5分所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断"课外体育达标”与性别有关．………6分（Ⅱ）由表中数据可得，抽到"课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，………8分．………12分5().*市环保知识竞赛由甲乙两支代表队进行总决赛，每队各有3名队员，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或者不答都得0分，已知甲队3人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分。（1）求随机变量的分布列及其数列期望；（2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率。解：（1）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………4分数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．……………6分（2）设"甲队和乙队得分之和为4”为事件A，"甲队比乙队得分高”为事件B，则SKIPIF1<0……8分SKIPIF1<0…………10分SKIPIF1<0…………12分6().已知四棱锥,底面是直角梯形，∥,,，是边长为的等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面；E（Ⅱ）若点为中点,求二面角的余弦值．E解答：（Ⅰ）是边长为的等边三角形,底面是直角梯形，又又………6分（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则取………8分为中点，则，设平面的法向量为，则取………10分由．二面角的余弦值为．………12分7.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2。（1）求证：BD⊥平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度。（Ⅰ）证明：四边形是菱形，.平面,平面.,平面.…….4分（Ⅱ）解：如图以为原点，为轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系.则，.………6分设平面的法向量为，则有，即令，.…………8分由题意解得或.由，得.…….12分8.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．（1）求证：AC⊥CD；（2）点E在棱PC上，满足∠DAE=60°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．解答：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为∠PCD=90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC；（2）解：∵底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，∴AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP两两垂直．如图所示，以点A为原点，以为*轴正方向、以||为单位长度，建立空间直角坐标系．则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（﹣1，1，0）．设=λ=λ（0，1，﹣1），则=+=（0，λ，1﹣λ），又∠DAE=60°，则cos＜，＞=，即=，解得λ=．则=（0，，），=﹣=（﹣1，，﹣），所以cos＜，＞==﹣．因为•=0，所以⊥．又⊥，故二面角B﹣AE﹣D的余弦值为﹣．9().如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过作平面SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，交AB于D点，（1）求证：（2）若四边形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值。（1)证：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，2分∵BC1∥平面A1CD，∴DE∥BC1，4分∴D为AB的中点，又∵，∴6分(2)SKIPIF1<07分又∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<08分设BC的中点为O，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，以O为原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0.9分则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<010分平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为SKIPIF1<012分10.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点。（1）证明：AG⊥平面ABCD。（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长。（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。11().已知直线为参数),曲线（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.……5分（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.…………10分12().在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点．（Ⅰ）求曲线的普通方程，的极坐标方程；（Ⅱ）若是曲线上的两点，求的值．（Ⅰ）将及对应的参数代入为参数），得，所以，所以曲线的普通方程为；……4分设圆的半径为，则圆的方程为，将点代入得，所以圆的极坐标方程为 ……6分（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，将代入得，，所以……10分13.在直角坐标系*OySKIPIF1<0中，直线的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），若以原点SKIPIF1<0为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任一点，连结SKIPIF1<0并延长到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.(Ⅰ)求点轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：（Ⅰ）圆SKIPIF1<0的直角坐标方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0这就是所求的直角坐标方程………5分（Ⅱ）把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，即代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0对应参数分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0………………10分14().已知参数方程为（为参数）的直线经过椭圆的左焦点，且交轴正半轴于点，与椭圆交于两点、（点位于点上方）．（I）求点对应的参数（用表示）；（II）若，求直线的倾斜角的值．解：（Ⅰ）在椭圆中，∵，，∴，即，2分故，在直线的参数方程中，令，解得；4分（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，6分设点、对应的参数为、，由结合参数的几何意义得：，即，8分解得，依题意知，∴．10分【解法2：设A、B两点的横坐标分别为、，将直线的普通方程代入椭圆方程并整理得：，6分则，7分∵8分∴,解得，依题意知，得.10分】15.在直角坐标系*Oy中，以坐标原点为极点，*轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈(，)．(I)求半圆C的参数方程：(II)直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．解：（Ⅰ）半圆C的直角坐标方程为*2＋(y－1)2＝1（y＞1），它的参数方程是eq\b\lc\{(\a\al(*＝cosφ，,y＝1＋sinφ，))φ是参数且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，则直线l的方程为y＝*tanα－2，D(cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB|＝eq\f(2,sinα)，点D到直线l的距离为|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，由△ABD的面积为4得tanα＝1，即α＝eq\f(π,4)，故点D为(0，2)．…10分16().动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知定点，，动点在直线上，作直线与轨迹的另一个交点为,作