正交试验设计

6正交试验设计本章要点：正交试验设计的根本思想，正交表；单指标与多指标的正交试验设计，混合型正交试验设计，考虑交互作用的正交试验设计；正交试验设计直观分析、方差分析的根本原理和方法。重点：考虑交互作用的正交试验设计；正交试验设计直观分析和方差分析的根本原理和方法。难点；考虑交互作用的正交试验设计与分析。6.1正交试验设计的根本思想6.1.1在实际生产和科学研究中，我们需要通过一定的试验或观测来获取数据资料，对这些数据资料进行科学的分析与处理，可以帮助我们找出问题的主要矛盾及它们之间的内在规律，从而获得问题的解决方法。对单因素的试验，可以采用0.618法、对分法、平行线法、交替法、调优法等方法去解决。而对于多因素问题，往往会认为对每个因素的各个水平都进行全面搭配的试验，才是最好的方法。但是，这样的全面试验虽然对于揭示事物的内部规律很清楚，却往往缺少实用应用价值。由第2章我们可知，全面试验只适用于因素和水平数目均不太多的问题。例如：有4个因素，每因素取2个水平，全面试验需要24=16种水平组合；当有6个因素，每因素取5个水平，全面试验就需要56=15625种水平组合，加上考虑试验精度或估计实验误差的需要，那么还要增加重复试验次数，这种全面试验一般是不可能做到的。因此，当试验因素较多时，既要考虑合理的试验处理及重复次数，又希望得出较全面的结论，就需要用科学的方法进行合理的安排，下面通过实例进行说明。例6-1小麦面筋蛋白琥珀酰化的特性研究。根据初步试验发现，影响小麦面筋蛋白酰化改性后特性的因素有3个，每个因素取3种状态〔即3个水平〕，具体如下：A琥珀酰化底物浓度/%A1=5A2=10A3=15B琥珀酰酐用量/%B1=10B2=15B3=20C反响温度/ºCC1=40C2=50C2=60为了便于讨论，我们将试验考核指标用yi表示〔如：酰化改性后的功能特性〕，影响考核指标的因素用大写字母A、B、C……表示，每个因素所处的某种状态用该因素的大写字母加上足标表示，如A1、A2……表示A因素的第1、2……状态，也称之为因素A的第1、2……水平。我们称这种多因素，而每个因素又有多个水平的试验为多因素试验问题。具体地讲，上例是一个“3因素3水平〞的试验问题。1〕单因素轮换法〔简单比拟法〕对于例6—1这样的问题，我们经常进行如下的试验。第一步，先将A，B固定在某一水平上，变化C，如：第二步，假设发现C2最好，那么固定C2和A的某一水平，再变化B,如：第三步，假设发现B3最好，那么固定B3C2，再变化A最后，假设在B3C2条件下发现A2最好，于是就确定了获得酰化改性后小麦面筋蛋白最正确特性的最适工艺条件是A2B3C2这种安排试验的方法明显存在以下缺乏之处：=1\*GB3①同样的试验次数，提供的信息量不丰富。以上9次试验当中，存在2次相同条件下的完全重复试验：A1B1C2和A1B3C2各重复了两次，所以实际只作了7种不同的条件组合。=2\*GB3②因素的各水平参加试验的概率〔次数〕不等。其中：A1,C2参与了7次，B3,B1参与了4次，余下的A2,A3,B2,C1,C3都只参与了1次，因此，参与试验的时机不均衡。=3\*GB3③这样认为的好条件A2B3C2，是在A1B1条件下C2比C1、C3好，但在A2B3条件下C2是否仍比C1、C3更好呢？同理B3也是在A1C2条件下比B1、B2好，但在A2C2条件下是否仍旧如此？这里都没有试验，因此，缺乏足够的证据说明A2B3C2是最好的工艺条件。=4\*GB3④无法考察因素间存在的交互作用，因此，A2B3C2=5\*GB3⑤假设不设置重复，那么无法估计试验误差。综上所述，其根本原因是3因素3水平全面试验为n=33=27次，而在此只做了9次，且这9次所选取的试验点〔水平组合〕只有7个独立；同时该7个试验点的分布又不具有代表性——即“代表性〞差。所以采用单因素轮换法〔简单比拟法〕进行多因素试验是不合适的。单因素轮换法试验点的分布如图6-1。图6-1单因素轮换法试验点的分布2〕全面试验法显然，对例6-1中的3个因素，每个因素3个水平所有可能的搭配n=33=27都进行试验〔即全面试验〕，再通过试验结果的分析处理就可获得问题的圆满解决。在试验所考察的因素及因素的水平数都较低时，采用这种方法是可行的；当所考察的因素及因素水平数较多时，全面试验的试验次数往往太大。如：4因素3水平，n=43=81；7因素2水平，n=27=128；6因素5水平，n=56=15625；再加上重复试验次数，这在实际应用中是不可能去做的。6.1.2由以上分析可知，对于多因素试验，我们需要一种试验次数较少，试验结果又能较全面反映试验效果的试验方法。能否用较少的试验反映比拟全面的情况，怎样选择各个试验才能实现这个要求呢？既必须对试验进行设计，而正交试验设计等方法是能够较好地实现这个要求的。利用正交试验设计，既可对试验进行合理安排，挑选少数具有代表性的组合处理进行试验——以少代多；又可对实施的少数个组合处理结果进行科学的分析，做出正确的结论——以少求全。正交试验设计〔也称正交设计orthogonaldesign〕是科学设计多因素试验的一种方法。它利用一套规格化的正交表〔orthogonaltable〕安排试验，对试验得到的结果采用数理统计方法进行分析处理，使之得出科学结论。正交表是正交试验设计的根本工具，它是根据均衡搭配、综合可比的思想，运用组合数学理论构造出的一种表格。20世纪20年代，英国统计学家R.A.Fisher首先在马铃薯肥料试验中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验条件不均匀的难题，并创立了“试验设计〞这一新兴学科。从20世纪50年代至今，“均衡分布〞思想在工业、农业领域的科研生产实际中得到了广泛的应用，取得了显著的效果。6.1.1〕拉丁方如果对例6-1作如下安排，那么情况会好得多。首先考虑A，B两个因素的全面试验，那么需作9次试验，试验方案如表6-1。表6-1AABB1B2B3A1A1B1A1B2AA2A2B1A2B2AA3A3B1A3B2A表6-1的安排是双因素3水平各种组合都出现，且出现次数相等〔1次〕，因此反映的情况是全面的。当要反映3因素3水平比拟全面的情况时，试验方案就需要使任意2个因素的不同水平组合都出现1次，其安排如表6-2所示。表6-2A、B、CB1B2B3A1A1B1C1A1B2A2A2B1C2A2B2A3A3B1C3A3B2由表6-2可以看出，A的每个水平和B、C的3个水平都组合且只组合1次。B的每个水平与A、C的3个水平也都组合且只组合1次。即任一因素的每个水平都与另外两个因素的每个水平相组合且只组合1次。这样的安排虽然只做9次试验，但这9个试验点分布十分均匀，如图6-2所示。图中每个面上都有3个验点，它们对27次全面试验具有很好的代表性。图6-2正交试验点的代表性为了书写简便，可将表6-2的试验方案简写为表6-3。表6-33因素3水平的拉丁方BBCA123112322313312表6—3中的右下角〔大方块〕中可以发现：每一行、每一列中，1、2、3水平正好各出现1次，具有这种性质的方块叫拉丁方。在3因素3水平的水平的根底上，如果我们还要考虑1个3水平因素D，能否仍保持上述要求而又不增加试验次数呢？实际上是可行的。只是D的拉丁方构成同样遵循上述原那么，同时满足D、C两个拉丁方搭配均匀，结果如表6-4。表6-44因素3水平的拉丁方BC〔D〕A1231231〔1〕2〔2〕3〔3〕2〔3〕3〔1〕1〔2〕3〔2〕1〔3〕2〔1〕因为D的3个水平组成的是另一拉丁方，它和A、B、C之间的搭配都是均衡的。可以验证：这样安排的4个因素中，每两个因素的各水平都组合且只组合1次，即是两两全面试验。所以，这样安排的9次试验能很好地代表4因素3水平的全面试验n=34=81次试验。2〕正交拉丁方表-6-4右下角中：D的3个水平和C的3个水平各组合一次，既无重复又无遗漏。具有这种性质的两个拉丁方叫正交拉丁方。表中C和D的拉丁方即是两两正交的。下面的3个拉丁方也是两两正交的。12341234214334124321123434124321214312344321214334126.2正交表6.2.1正交表—1〕将上述表6-4用正交拉丁方安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外一种表格形式〔如表6-5所示〕，就形成1张正交表L9(34)(见表6-6)。由此，我们可以得到一系列正交表〔orthogonaltable〕。表6-5表6-4试验编号BBC(D)A1231①1(1)②2(2)③3(3)2④2(3)⑤3(1)⑥1(2)3⑦3(2)⑧1(3)⑨2(1)表6-6正交表L9(34)试验号因素ABCD1111121222313334212352231623127313283213933212〕正交表与正交拉丁方的关系〔1〕正交表是正交拉丁方的自然推广，但并不都是由正交拉丁方转变而来的，在拉丁方的安排中行数与列数相等组成正方形，即试验次数一定等于正整数的平方，〔但并不是每个正整数都有正交拉丁方，如6×6的正交拉丁方就不存在〕，而正交表却不一定，试验次数并非都是正整数的平方。〔2〕正交表还能考察交互效应，而用拉丁方安排试验通常只能考察主效应。6.2.2正交表的分类1〕相同水平正交表〔1〕表示符号相同水平正交表代号所表示的含义为：列数〔最多安排因素个数〕Ln(tq〕因素水平数行数〔安排试验次数〕正交表代号其中：L为正交表代号，是Latin的第一个字母；n为正交表行数，即试验次数；t为因素的水平数，即每列中出现不同数字的个数；q为正交表的列数，即最多能安排的因素数。括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面试验的水平组合数〔即处理数〕。因为安排因素个数不能大于q，所以n／tq为最小局部实施。例如：t=2，称Ln(2q〕为二水平正交表；t=3，称Ln(3q〕为三水平正交表。显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它最多能安排3个2水平因素的试验。局部试验为4次，全面试验为8次，最小局部实施为1/2，即用它安排试验可比全面试验减少1/2。所以，当试验因素数q及每个因素的水平数t增加时，n／tq那么下降，节省试验次数的效果更明显。〔2〕常见的相同水平数正交表正交试验设计中使用最简单的正交表是L4〔23〕，其格式如下表6-7所示。共要做四次试验，最多安排三个二水平的因素进行试验。表6-7正交表L4〔23〕试验号列号1231111212232124221表6-8正交表L8(27)试验号列号12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112常见相同水平数的正交表有：2水平正交表：L4(23)，L8(27),L12(211),L16(215),L32(231),L64(263),L128(2127)，…；3水平正交表：L9(34)，L27(313)，L81(340)，L243(3121)，…；4水平正交表：L16〔45〕，L64〔421〕，…；5水平正交表：L25〔56〕，L125〔5125〕，…；7水平正交表：L49〔78〕，…。〔3〕相同水平正交表的性质=1\*GB3①.表中任何一列，各水平都出现，且出现次数相等。例如，在表L8(27)中，每列的不同水平1、2都出现，且在每列中都重复出现4次；表L9(34)中，每列的不同水平1、2、3都出现，且在每列中都重复出现3次。这种重复称为隐藏重复，正是这种隐藏重复，增强了试验结果的综合可比性。=2\*GB3②.表中任意两列间，各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。例如，在表L8(27)中，第1，第2两列间各水平所有可能的组合为〔1，1〕、〔1，2〕、〔2，1〕、〔2，2〕共4种，这就是该2列因素全面试验的水平组合，它们都出现且分别出现2次；表L9(34)中，第1，第2两列间各水平所有可能的组合为〔1，1〕、〔1，2〕、〔1，3〕、〔2，1〕、〔2，2〕、〔2，3〕、〔3，1〕、〔3，2〕、〔3，3〕共9种，这就是该2列因素全面试验的水平组合，它们都出现且分别出现1次；同理，任意2列间情况都是如此。正交表的上述2个特点称为正交表的正交性。该性质使得实验点在实验范围内具有代表性和综合可比性。同时也是判断一个正交表是否具有正交性的条件。由上述分析可断定表L8(27)、L9(34)都具有正交性。由正交表的正交性可以看出：①正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以相互置换，称为列间置换；②正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；③正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。该3种置换即正交表的3种初等置换，经过初等置换所得到的一切正交表，称为原正交表的同构表或等价表，显然，实际应用时，可以根据不同需要进行变换。2〕混合水平正交表〔1〕表示符号一般非等水平正交表表示为Ln(t1q1×t2q2×·····tkqk)，其中t1≠t2≠·····tk，q1≠q2≠·····qk。、也称为混合型正交表。其中最常用的是两种水平的正交表，记为：Ln(t1q1×t2q2)例如：L8〔4×24〕混合型正交表，其含义如下：列数〔最多安排1+4=5个因素〕L〔4×2〕因素水平数〔2水平〕因素水平数〔4水平〕行数〔安排8次试验〕正交表代号当用非等水平正交表Ln(t1q1×t2q2)安排试验时,那么因素个数应不大于q1＋q2，且t1水平的因素数不大于q1，t2水平的因素数不大于q2，最小局部实施为n／(t1q1＋t2q2)。〔2〕常见的混合型正交表正交试验设计中使用最简单的混合水平正交表是L8〔4×24，〕，其表格形式如下所示。表6-9正交表L8〔4×24〕试验号列号12345123456781122334412121212121221211221122112212112常见的混合型正交表有L8〔4×24〕；L12〔3×24〕，L12〔6×22〕；L16〔4×212〕，L16〔42×29〕，L16〔43×26〕，L16〔44×23〕，L16〔45〕L18〔2×37〕，L18〔6×36〕L20〔5×28〕，L20〔10×22〕L24〔3×4×24〕，L27〔9×39〕等。混合型正交表大致可分为两种情况：①着重考察的因素须多取水平。例如为着重考察1个因素的；为着重考察2个因素的。②某一因素不能多取水平，如。显然，混合型正交表可包含多个水平不等的因素。一般说来，混合正交表不能考察交互作用，但其中一些由标准表通过并列法改造而得到的，如由并列得到，可以考察交互作用，但须回到原标准表上进行。〔3〕混合水平正交表的性质=1\*GB3①表中任何一列，各水平都出现，且出现次数相等。例如，表L8〔4×24〕中，第1列的不同水平1、2、3、4都出现，且各重复出现2次；第2-5列的不同水平1、2都出现，且在每列中各重复出现4次。=2\*GB3②表中每两列间，各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等；但不同的两列间，其水平的所有可能组合种类及出现的次数是不完全相同的。例如，表L8〔4×24〕中，第1列是4水平的列，它与其它任何一个2水平的列之间，各水平所有可能的组合为〔1，1〕、〔1，2〕、〔2，1〕、〔2，2〕〔3，1〕、〔3，2〕、〔4，1〕、〔4，2〕共8种，它们都出现且分别出现1次；第2-5列都是2水平列，它们任意两列间各水平因此，用混合水平正交表安排试验时，每个因素的各水平之间的搭配时均衡的。最后，应当指出，构造正交表是一个比拟复杂的问题，并非是任意给定的参数n，t，q，就一定能构造出一张正交表Ln(t1q1×t2q2×·····tkqk)。事实上，有些正交表的构造问题到目前为止还有未解决的数学问题。因此，我们在进行正交试验设计时，一般是查用现成的正交表。附表中列出了常用的正交表。6.3正交试验设计的根本步骤正交试验设计包括正交试验方案设计，根据正交试验方案进行试验，试验结果的计算与分析以及验证试验四个局部。1〕正交试验方案设计(1)明确试验目的，确定试验指标在进行试验方案设计时，首先要明确本试验需要解决什么问题，并针对问题，确定相应的试验指标。(2)挑选因素与水平，制定因素水平表一般来说影响试验指标的因素很多，但由于试验条件所限，不可能也没有必要对所有影响试验指标的因素进行全面考察，而应对实际问题进行具体分析，选出主要因素，略去次要因素，以减少要考察的因素数。如果对问题了解不够，可以适当多取一些因素。确定因素水平时，应尽可能使所选取的水平区间能够较好地反映试验指标的变化情况；因素的水平数不宜太多，以免试验工作量太大。最后列出因素水平表。以上两点是正交试验得以顺利完成，并能获得较好效果的关键，它与设计者所掌握的专业知识和实践经验密切相关。(3)选择正交表，并进行表头设计根据因素个数和水平数来选择适宜的正交表。一般要求，因素水平数与正交表对应的水平数一致，因素个数小于或等于正交表的列数，在满足上述条件的前提下，选择试验工作量较小的表。例如，对于4因素3水平的试验，满足要求的正交表有L9(34)，L27(313)等，一般选择L9(34)即可。但假设从提高试验精度的角度出发，并且试验条件允许，可以选择比L9(34)更大的3水平正交表。将试验因素安排到所选正交表相应列的过程，称作为表头设计。各因素可依次或不依次放在正交表的各列上。〔4〕确定试验方案根据表头设计格式，将因素各水平的具体值按“水平对号入座〞的方法填到所选用的正交表中，即得出试验方案。试验方案表中，每一行都是一种试验组合条件，有多少行表示要做多少种试验组合。2〕根据正交试验方案进行试验按正交试验方案的每号试验组合条件进行试验，得到以试验指标形式表示的试验结果。在进行试验时应当注意以下几个方面：〔1〕必须严格按照试验方案完成每一号试验，不能随意改动试验组合条件。因为每一号试验都从不同的角度提供有用的信息。〔2〕试验进行的次序没有必要完全按照试验方案中试验号的顺序，可逐个做，也可按抽签方法随机决定试验进行次序。事实上，试验顺序可能对试验结果产生影响〔例如，由于试验先后的操作熟练程度不同带来的误差干扰，以及外界条件所引起的系统误差〕，假设将试验顺序打“乱〞，那么有利于消除这一影响。〔3〕每一号试验必须进行重复试验，结果取其平均值。将每号试验的结果填入试验方案表中相应栏内，供以后分析结果使用。3)试验结果的计算与分析对正交试验结果的分析，通常采用直接分析与计算分析。计算分析有两种方法，一种是直观分析法〔或称极差分析法〕；另一种是方差分析法。通过对试验结果的计算与分析，可以得到以下有用信息：=1\*GB3①分清各因素对指标影响的主次顺序，即明确哪个是主要因素，哪个是次要因素；=2\*GB3②找出优化的方案，即所考察的每个因素各取什么水平，才能到达试验指标的要求；=3\*GB3③分析因素与指标的关系，即当因素变化时，指标是怎样变化的？找出指标随因素变化的规律和趋势，用于指出进一步试验研究的方向。4〕验证试验，最优或较优方案是通过直接分析与计算分析得出的，还需要进行试验验证，以保证优方案与实际一致。〔1〕将直接分析〔已做过的试验中〕最好条件与通过计算分析得到的最优条件同时验证，以确定其中的优劣。〔2〕也可结合因素的主次和趋势图〔对于主要因素，一定要按照有利于指标要求选取；对于次要因素，那么可以考虑实际生产条件〕，对直接分析较好条件与计算分析得到的最优条件进行综合分析，确定验证试验方案。将通过验证试验获得的最优方案进行小批量试生产纳入技术文件后，才算完成一项正交试验设计的全过程。否那么，还需要进行新的一轮正交试验。6.4正交试验设计的直观分析6.4.1例6-2某工厂为提高农产品综合利用价值，从废弃的洋葱皮中提取总黄酮。为获取较高的提取得率，欲通过正交试验，确定各影响因素的主次顺序和最正确工艺条件，不考虑因素间的交互作用。1〕正交试验方案设计〔1〕明确试验目的，确定试验指标本试验的目的是寻求具有较高提取得率的最正确工艺条件，试验考察指标是总黄酮得率〔越高越好〕。〔2〕挑选因素与水平，制定因素水平表在单因素实验根底上，以乙醇-水体系作提取溶剂，原料粉碎粒度为60目，选取4个主要因素〔乙醇浓度、浸提温度、浸提时间和料液比〕对总黄酮得率的影响进行正交试验。同时根据初步试验确定每个因素均取3个水平，列出的因素水平表6-10所示。表6-10洋葱皮中提取总黄酮试验因素水平表水平因素A乙醇浓度/%B提取温度/℃C料液比D浸提时间/h160601:151.5270701:202.0380801:252.5〔3〕选择正交表及表头设计本试验为4因素3水平试验。在3水平正交表中，选用试验工作量最小的L9〔34〕正交表来安排试验。由于A、B、C、D均为3个水平，可以将其任意放在该表4列中的某列上。本试验将各因素依次安排在正交表的各列上，形成的表头设计如表6-11所示。表6-11洋葱皮中提取总黄酮试验表头设计因素ABCD列号1234〔4〕确定试验方案根据表6—11表头设计格式，将因素各水平的具体值按“水平对号入座〞的方法填到所选用的L9〔34〕正交表中，获得提取总黄酮试验方案如表6—12所示。表6-12洋葱皮中提取总黄酮试验方案试验号因素ABC3D1234567891(60)112(70)223(80)331(60)2(70)3(80)1231231(1:15)2(1:20)3(1:25)2313121(1.5)2(2.0)3(2.5)312231表中每一行都是一种试验组合条件，9行表示要做9种试验组合。例如：第2号试验：试验组合条件为A1B2C2D2，即乙醇浓度60%，提取温度70℃，料液比1:20，第7号试验：试验组合条件为A3B1C3D2，即乙醇浓度80%，提取温度60℃，料液比1:25，浸提时间22〕根据正交试验方案进行试验按表6-12提取总黄酮试验方案，进行各号组合条件的试验，并将每号试验的结果“黄酮得率〞填入表6-13的相应栏内。试验中应当注意的问题详见6.3正交试验设计根本步骤中的具体要求。3〕试验结果的计算与分析根据表6-13黄酮得率试验结果，即可对其进行计算与分析。表6-13洋葱皮中提取总黄酮试验结果与分析试验方案试验号1234567891(60)112(70)223(80)331(60)2(70)3(80)1231231(1:15)2(1:20)3(1:25)2313121(1.5)2(2.0)3(2.5)3122313.224.143.513.794.063.473.594.404.31K1K210.8711.3212.3010.6012.6011.2911.0912.2411.1611.5911.2011.70注：因素水平数相同时，可用水平指标总和K代替其平均值k计算Rk1〔K1/3〕k2〔K2/3〕k3〔K3/3〕3.623.774.103.534.203.763.704.083.723.863.733.90R0.480.670.380.17BACDA3B2C2D〔1〕直接分析试验考察指标黄酮得率是越大越好。由表6-13直接看出，第8号试验组合条件A3B2C1D3的试验结果〔黄酮得率4.40%〕最大〔2〕计算分析第1列K1A=3.22+4.14+3.51=10.87K2A=3.79+4.06+3.47=11.32K3A=3.59+4.40+4.31=12.30式中：K1A、K2A、K3A分别表示因素A取1、2、3水平相应的试验结果之和。为了比拟因素A不同水平的好坏，特别是在因素水平数不相等的试验中，而引入k值：k1A==3.62k2A==3.77k3A==4.10式中：k1A、k2A、k3A分别表示因素A相应水平的平均同理，可计算出其余3列的K1、K2、K3〔或均值k1、、k2、、k3〕，填入表6-13中。T=34.49为9个试验结果之和，对各列恒有K1+K2+K3=T。为了检查计算结果之和，对每列验算如下：例如：K1B+K2B+K3B=10.60+12.60+11.29=34.49为了直观起见，以因素的水平作横坐标，指标的平均值作纵坐标，画出因素与指标的关系〔趋势图〕，如图6-3所示。在画趋势图时要注意，对于数量因素，假设水平号顺序排列与水平的实际大小顺序排列不一致时，横坐标上的点不能按水平号顺序排列，而应按水平的实际大小顺序排列，并将各坐标点连成折线图，这样就能从图中很容易地看出指标随因素数值增大时的变化趋势；如果是属性因素，由于不是连续变化的数值，那么可不考虑横坐标的顺序，也不用将坐标点连成折线。图6-3因素与指标关系趋势图从表6-13的计算结果和图6-3的趋势可以看出：=1\*GB3①乙醇浓度越高，黄酮得率越大，以80%为最好。可结合实际情况，进一步试验乙醇浓度更高时的效果；=2\*GB3②提取温度70℃时，黄酮得率最高；=3\*GB3③料液比为1：20时，黄酮得率最高；；=4\*GB3④浸提时间2.5h时，得率较高，可根据实际情况进一步试验浸提时间更长时的情况。因此，可以确定最优组合条件为A3B2C2D3由图6-3还可看出，因素水平引起指标值上升或下降的幅度大，该因素就是影响黄酮得率的主要因素〔如因素B〕，反之，为次要因素〔如因素D〕。为了数量化，可以用极差值R来描述分散程度的大小。极差R可由各列的k1、、k2、、k3值中最大者减最小者求得。即：R=kmax-kmin例如：第1列RA=k3A-k1A同理可得RB=0.67，RC=0.38，RD=0.17极差R的大小，反映了试验中各因素作用的大小，极差大说明该因素对指标的影响大，通常为主要因素；极差小说明该因素对指标的影响小，通常为次要因素。本例因素的主次顺序为：主→次BACD在决定各因素选取什么水平时，要注意以下两种情况：=1\*GB3①如果寻找使指标越大越好的条件，就选取各因素的K1、K2、K3或k1、、k2、、k3为最大的水平组合为最优水平组合。=2\*GB3②如果寻找使指标越小越好的条件，就选取各因素的K1、K2、K3或k1、、k2、、k3为最小的水平组合为最优水平组合。本例指标黄酮得率是越大越好，所以选取的最优水平组合是A3B2C2D3。通常，各因素最好的水平组合在一起就形成了最优组合条件最优生产条件〕，同时还要考虑因素的主次。对于主要因素，一定要按照有利于指标要求选取；对于次要因素，可以考虑实际生产条件〔如生产率、本钱等〕来选取适当的水平，而得到符合生产实际的最优或较优生产条件。〔3〕直接分析与计算分析的关系在本例中，直接分析的好条件是A3B2C1D3；计算分析〔极差分析〕的好条件是A3B2C2D3。本例有4个3水平的因素，可生产34=81个试验条件，由正交表选出的9个条件只是其中的一局部，即1/9。然而，凭借正交表的正交性，着9个条件均衡分散在81个试验条件中，它们的代表性很强，所以直接分析是偏差量最小的的条件A3B2C1但是9个条件毕竟只占了81个试验条件的1/9，即使不改变水平，也还有提高的可能。计算分析的目的，就是为了展望更好的条件，对于大多数工程，当计算分析的好条件不在已做过的9个试验中〔如本例A3B2C2D34〕验证试验〔1〕将直接分析的好条件A3B2C1D3与计算分析的好条件A3B2C2D〔2〕也可在直接分析的好条件A3B2C1D3与计算分析的好条件A3B2C2D3由趋势图6-3也可以看出，当乙醇浓度、浸提时间适当增加时，黄酮得率均有增大的趋势，所以适当增加乙醇浓度和浸提时间也许会找到更优的方案。因此，根据趋势图可以对因素的水平作适当调整，选取更优的水平，形成新的试验组合条件。即将直接分析的好条件A3B2C1D3、计算分析的好条件A3B2C2D3与根据趋势图综合分析形成新的试验组合条件本试验直接分析的好条件A3B2C1D3，与计算分析的好条件A3B2C2D3不一致。为了确定最优的提取工艺条件，结合浸提时间为最次要的因素，所以可在计算分析得到的最优组合条件中，选取浸提时间为1.5h，即提出新的组合方案A3B2C2D1，与A3B2C1D3同时进行验证，验证试验的表6-14洋葱皮中提取总黄酮验证试验方案与结果验证试验方案A3B2C1DA3B2C2D黄酮得率/%4.404.43由表6-14可知，在A3B2C2D1的工艺条件下，黄酮得率4.43%略高于A3B2C1D3条件下得率4.40%。因此，从节省开支、节约时间的角度考虑，选择最优方案是A3B2C2D1。即乙醇浓度80％，提取温度70℃，料液比为1:20，浸提时间1.5h。6.4.2在实际生产和科学试验中，对产品考察的指标往往不止一个，我们把这类的试验设计称为多指标试验设计。在多指标试验设计中，各因素对不同指标的影响程度是不完全相同的，不同指标的重要程度往往也是不一致的，有些指标之间可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标，寻找出使每个指标都尽可能好的最优组合方案是多指标正交试验设计成功的关键。多指标试验的结果处理要比单指标复杂一些，常用的方法有综合平衡法和综合评分法。1〕综合平衡法综合平衡法是先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到每个指标的影响因素主次顺序和最正确水平组合，然后根据理论知识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比拟和分析，得出较优方案。例6-3乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验，目的是为了改良提取工艺条件，提高对葛根有效成分的提取率。试验考察指标有3项：提取物得率〔提取物质量与葛根质量之比〕、提取物中葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，且3个指标都是越大越好；根据初步试验，确定选取3个相对重要的因素乙醇浓度、液固比〔乙醇溶液与葛根质量之比〕和提取剂回流次数进行正交试验，各因素选取3个水平，不考虑因素间的交互作用，试进行直观分析，找出较好的提取工艺条件。解：〔1〕多指标正交试验方案设计用乙醇溶液进行葛根中有效成分提取试验，选取的因素、水平如表6-15所示。表6-15葛根有效成分提取试验因素水平表水平因素A乙醇浓度/%B液固比C回流次数180712606237083本例为3因素3水平试验，由于不考虑交互作用，可选用正交表L9(34)来安排试验。表头设计、试验方案及试验结果如表6-16所示。表6-16葛根有效成分提取试验方案与结果试验方案试验结果AB液固比C回流次数提取物得率/%葛根葛根素含量/%11〔80〕1〔7〕11〔1〕6.25.12.1212〔6〕22〔2〕7.46.32.5313〔8〕33〔3〕7.87.22.642〔60〕1238.06.92.4522317.06.42.5623128.26.92.573〔70〕1327.47.32.8832138.28.03.1933216.67.02.2〔2〕多指标正交试验结果的计算与分析=1\*GB3①直观分析与单指标试验的分析方法相同，先对各指标分别进行直观分析，分别得出因素的主次和最优组合条件，结果如表6-17所示。表6-17葛根有效成分提取试验结果分析试验结果AB空列C提取物得率/%K121.421.622.619.8K23.222.622.023.0K322.222.622.224.0k17.137.207.536.60k27.737.537.337.67k37.407.537.408.00极差R1.81.00.64.2因素主→次CABC3A2B2或C3A2葛根总黄酮含量/%K118.619.320.018.5K20.220.720.220.5K322.321.120.922.1k16.206.436.676.17k26.736.906.736.83k37.437.036.977.37极差R3.71.80.73.6因素主→次ACBA3C3B葛根素含量/%K17.27.37.76.8K7.48.17.17.8K38.17.37.98.1k12.402.432.572.27k22.472.702.372.60k32.702.432.632.70极差R0.90.80.81.3因素主→次CABC3A3B=2\*GB3②综合平衡分析由表6-17可以看出，对于不同的指标而言，因素影响的主次顺序是不一样的。对葛根总黄酮含量来说A、C两因素极差R相差不大，所以综合考虑3个因素对3个指标影响的主次顺序〔主→次〕为CAB。不同指标所对应的最优组合条件也是不同的，但是通过综合平衡分析可以得到综合的优方案。针对本例具体平衡过程如下：因素A：对于后两个指标都是取A3好，而且对于葛根总黄酮含量，A因素是最主要的因素，在确定优水平时应重点考虑；对于提取物得率那么是取A2好，从Ki〔ki〕可以看出A取A2、A3时提取物得率相差不大，而且从极差可以看出，A为较次要的因素，所以根据多数倾向和A因素对不同指标的重要程度，选取A3。因素B：对于提取物得率，取B2或B3根本相同，对于葛根总黄酮含量取B3好，对于葛根素含量那么是取B2；另外，对于这三个指标而言，B因素都是处于末位的次要因素，所以B取哪一个水平对3个指标的影响都比拟小，这时可以本着降低消耗的原那么，选取B2，以减少溶剂耗量。因素C：对于3个指标来说，都是以C3为最正确水平，所以取C3。综合上述的分析，最优组合条件为A3B2C3进行多指标综合平衡时，可参照以下原那么进行。=1\*GB3①对于某个因素，可能对某个指标是主要因素，但对另外的指标那么可能是次要因素，那么在确定该因素的水平时，应首先选取作为主要因素时的优水平；=2\*GB3②假设某因素对各指标的影响程度相差不大，这时可按“少数服从多数〞的原那么，选取出现次数较多的优水平；=3\*GB3③当因素各水平相差不大时，可依据降低消耗、提高效率的原那么选取适宜的水平；=4\*GB3④假设各试验指标的重要程度不同，那么在确定因素优水平时应首先确定相对重要的指标。在具体运用这几条原那么时，仅仅根据其中的一条可能确定不了最优组合条件，所以应将几条综合在一起分析。由此可见，综合平衡法首先要对每一个指标都单独进行分析，所以计算分析的工作较大，但是同时也可以从试验结果中获得较多的信息。多指标的综合平衡有时是比拟困难的，仅仅依据数学的分析往往得不到正确的结果，所以还要综合专业知识和经验，得到符合实际的最优组合条件。例6-4柱塞组合收口强度稳定性试验，目的是改良加工工艺条件，提高产品质量。油泵的柱塞组合件是经过机械加工、组合收口、去应力、加工柱塞头外径等工序制成的，要求的质量指标是拉脱力F≥1000N，轴向游隙δ≤0.02mm，转角α≥20º。试验前产品拉脱力波动大，往往因拉脱力与转向角两指标发生矛盾而产生质量问题，不易保证质量。解：〔1〕正交试验方案设计①试验指标：拉脱力F〔F≥1000N〕；轴向游隙δ〔δ≤0.02mm〕；转角α〔α≥20º〕②试验因素与水平：根据初步试验和实践经验分析认为，柱塞头的外径、高度、倒角、收口压力4个因素对产品质量指标可能有影响，固考察这4个因素；各因素均取3个水平。选取的因素水平如表6—18所示。表6-18柱塞组合收口强度稳定性试验因素水平表水平因素A柱塞头外径/mmB高度/mmC倒角/ºD收口压力/MPa115.111.61.0×50º1.5215.311.81.5×30º1.7314.811.71.0×30º2.0注：其它试验条件固定不变③选用正交表及表头设计本例为4因素3水平试验，可选用L9〔34〕正交表。将各因素依次安排在正交表的各列上，形成表6—19的表头设计。表6-19柱塞组合收口强度稳定性试验表头设计因素ABCD列号1234=4\*GB3④确定试验方案根据表6-19表头设计格式，将因素各水平的具体值按“水平对号入座〞的方法填到所选用的L9〔34〕正交表中，所获得柱塞组合收口强度稳定性试验方案见表6-20所示。表6-20柱塞组合收口强度稳定性试验方案及试验结果分析试验方案试验结果因素列号试验号A柱塞头外径/mmB高度/mmC倒角/ºD收口压力/MPa拉脱力〔N〕123411111〔15〕-302025.521222〔17〕3648-1.031333〔20〕62717.542123-15.5621.55223151128-10.062312-12526.573132-682818.58321391520.5933211956-4.5拉脱力FK112-113.56040T=88.5T=390T=94.5K34.517839.5-33K34224-1181.5k14-37.82013.3k211.559.313.17-11k3148-3.6627.16R1097.123.6638.16K1955497204K159228110101K313610818385k131.661832.368k2537636.633.6k345.3366128.3R21.345828.739.7转角K14265.552.511K38-10.51644K314.539.52639.5k11421.8317.53.6k212.6-3.55.314.6k34.8213.168.713.16R9.1725.3312.211〔2〕根据正交试验方案进行试验每号试验组合条件均进行7次重复试验，取其平均值填入表6—20试验结果栏目中；每个试验都分别对3个指标进行测定。〔3〕试验结果的计算与分析=1\*GB3①根据表6-20中的试验结果，针对每个试验指标，分别计算每列各水平下的K1、K2、K3〔或均值k1、、k2、、k3〕以及每列的极差值R，并继续填入表6—20。=2\*GB3②根据表6—20每列极差值R大小排列出各因素的主次顺序，按每列各水平的数据和K1、K2、K3〔或均值k1、、k2、、k3〕初选最优组合条件，结果见表6—21所示。表6-21柱塞组合收口强度稳定性试验初选最优组合条件试验指标主次顺序〔主→次〕最优组合条件拉脱力FBDCAA3B2C1D轴向游隙δBDCAA1B1C1D转角αBCDAA1B1C1D=3\*GB3③综合平衡分析确定因素主次顺序和最优组合条件对于转角α来说，C和D两因素极差R相差不大，所以综合考虑，4个因素对3个指标影响的主次顺序〔主→次〕为BDCA。因素C：对3个指标来说，最优水平皆为C1，应选取C1；因素B：对3个指标来说，B均是主要因素，一般情况下应按多数倾向选取B1，但因拉脱力F是主要指标，应选取B2；因素D：对F、δ指标来说，D是较主要因素，且以D3为优；对α指标是较次要因素，且D3与D2差不多，应选取D3；因素A：对三个指标来说，皆为次要因素，按多数倾向选取A1。通过综合平衡分析后，柱塞组合件最优生产条件为A1B2C1D3，即：柱塞头上口外径15.1mm，柱塞头高度11.8mm，柱塞头上口倒角1.0×50º；收口压力2.0MPa〔4〕验证试验对最优组合条件A1B2C1D3进行的验证试验说明，柱塞组合件可以到达拉脱力F≥1000N，轴向游隙δ≤0.02mm，转角α≥20º的质量指标2〕综合评分法综合评分，就是对多指标分别进行测试后，按照具体情况确定的评分标准，将多指标值转化为各自相应的分值，进而根据每个指标的重要程度进行综合评分，将多指标综合转化为单指标〔分数〕。利用单指标试验结果的直观分析法作进一步的分析，确定较好的组合条件，从而得到多指标试验的结论。显然，综合评分法的关键是如何评分。常用的评分方法有：〔1〕对每号试验结果的每个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号试验结果的综合分数。该评分方法常常用在各试验指标很难量化的试验中。例如评判某种食品感官质量的好坏，需要从色、香、味、口感等方面进行综合评定，这时就需要有丰富经验的专家能将各个指标综合起来，给每号试验结果评出一个综合分，然后再进行单指标的分析。所以，这种方法的可靠性在很大程度上取决于试验者或专家的理论知识和实践经验。〔2〕先对每号试验的每个指标按一定的评分标准评出分数，假设各指标的重要性是一样的，可以将同一号试验中各指标的分数的总和作为该号试验的总分数；假设各指标的重要性不相同，此时要先确定各指标相对重要性的权数，然后求加权和作为该号试验的总分数。该评分方法最关键的是如何对每个指标评出合理的分数。如果指标是定性的，那么可以依靠专业知识和经验直接给出一个分数，这样非数量化的指标就转换为数量化指标，使结果分析变得更容易；对于定量指标，有时指标值本身就可以作为分数，如回收率、纯度等；但不是所有的指标值本身都能作为分数，这时就可以使用“隶属度〞来表示分数。关于隶属度的计算方法如下：(6-1)式中：Yij——指标隶属度；yij——指标值；i——表示第i号试验，i=1,2,……n；j——表示第j个考察指标,j=1,2……k；yjmin——第j个考察指标最小值；yjmax——第j个考察指标最大值。可见，指标最大值的隶属度为1，而指标最小值的隶属度为0，所以0≤指标隶属度≤1。如果各指标的重要性一样，就可以直接将各指标的隶属度相加作为综合分数，否那么求出加权和作为综合分值。综合分值计算如下：Yi=BjYij=B1Yi1+B2Yi2+……+BkYik(6-2)式中：Yi——综合分值；Bj——权重系数，表示各项指标在综合加权评分中的重要性；Yij——指标隶属度；i——表示第i号试验，i=1,2,……n,j——表示第j个考察指标,j=1,2,……k。如果考察指标的要求趋势相同，那么符号相同；趋势不同，那么符号相异。例如，前3个指标都是越小越好，那么第4个指标是越大越好，假设前3者取正，那么第4项应取负号。即Yi=B1Yi1+B2Yi2+B3Yi3-B4Yi4例6-5玉米淀粉改性制备高取代度的三乙酸淀粉酯的试验。为了提高取代度和酯化率，现安排正交试验，不考虑因素之间的交互作用，考察指标值取代度和酯化率都是越大越好。解：〔1〕正交试验方案设计及试验本试验目的是寻找玉米淀粉改性制备高取代度三乙酸淀粉酯的最正确工艺条件，试验考察指标是取代度和酯化率〔越大越好〕。初步试验分析认为，反响时间、吡啶用量、已酸酐用量是影响取代度和酯化率的主要因素，各因素水平的选取如表6－22所示。表6-22高取代度三乙酸淀粉酯制备试验因素水平表水平因素A反响时间/hB吡啶用量/gC已酸酐用量/g1315010024907035120130本例为3因素3水平试验，由于不考虑交互作用，所以可选用正交表L9(34)来安排试验。表头设计、试验方案及试验结果如表6-23所示。表6-23高取代度三乙酸淀粉酯制备试验方案及试验结果试验方案试验结果综合评分A反响时间/hB吡啶用量/gC已酸酐用量/gyi1yi2Yi1Yi2Yi11〔3〕1〔150〕11〔100〕2.9665.701.001.001.00212〔90〕22〔70〕2.1840.360.000.000.00313〔120〕33〔130〕2.4554.310.350.550.4742〔4〕1232.7041.090.670.030.29522312.4956.290.400.630.54623122.4143.230.290.110.1873〔5〕1322.7141.430.680.040.30832132.4256.290.310.630.50933212.8360.140.830.780.80K11.471.591.682.34K1.011.041.090.48K31.601.451.311.26极差R0.590.550.591.86CABC1A3B〔2〕试验结果综合评分=1\*GB3①取代度和酯化率的隶属度计算根据公式(6-1)可得：取代度隶属度酯化率隶属度取代度和酯化率的隶属度计算结果见表6-22。=2\*GB3②计算综合分根据公式(6-2)可得：综合分Yi=BjYij=B1Yi1+B2Yi2本例中取代度和酯化率两个指标的重要性不一样，根据实际要求，取代度的权重取0.4，酯化率的权重取0.6，于是每号试验的综合分计算如下：Yi＝B1Yi1+B2Yi2＝0.4×Yi1＋0.6×Yi2总分值为1.00，综合评分结果和以综合分数作为总指标进行的直观分析如表6-22所示。可以看出，这里计算分析出来的优方案A3C1B1，不包括在已经做过的9个试验中，所以应按照这个方案进行验证试验，看是否比正交表中第1由此可见，综合评分法是将多指标的问题，通过适当的评分方法，转换成了单指标的问题，使结果的分析计算变得简单方便。但是，结果分析的可靠性，主要取决于评分的合理性，如果评分标准、评分方法不适宜，指标的权数不恰当，所得到的结论就不能反映全面情况，所以如何确定合理的评分标准和各指标的权数，是综合评分的关键。它的解决有赖于专业知识、经验和实际要求，单纯从数学上是无法解决的。在实际应用中，如果遇到多指标的问题，究竟是采用综合平衡法，还是综合评分法，要视具体情况而定，有时可以将两者结合起来，以便比拟和参考。例6-6湿地推土机通过性能试验，探求接地压力、履带板型式和整机重心位置以怎样的参数组合时，湿地推土机的通过性能最好。试验中接地压力有3种，18、21、23kPa；履带板形式有3种，无间隔、间隔大、间隔小；重心设置有3种情况，在导向轮和驱动轮中点、中点前120mm、中点后120mm。表征通过性能好坏的指标是行走阻力、滑转率和下陷深度〔均为越小越好〕。解：〔1〕正交试验方案设计及试验本试验目的是寻找改良湿地推土机通过性能的最适工艺参数，试验考察指标行走阻力、滑转率和下陷深度。初步试验分析认为，履带板形式、接地压力、重心设置3个因素是影响推土机通过性能的主要因素，各因素水平的选取如表6－24所示。表6-24湿地推土机通过性能试验因素水平表水平因素A履带板形式B接地压力/kPaC重心1无间隔18前2间隔大21中3间隔小23后本例是3因素3水平试验，由于不考虑交互作用，所以可选用正交表L9(34)来安排试验。表头设计、试验方案及试验结果如表6-25所示。〔2〕试验结果综合评分=1\*GB3①隶属度计算根据公式(6-1)可得：行走阻力隶属度滑转率隶属度下陷量隶属度表6-25湿地推土机通过性能试验方案及试验结果试验方案试验结果因因素列号试验号ABC/10N/%/mm1234yi1yi2yi3Yi11(无)1(18)1(前)16384.18.0212(21)2(中)26323.310.7313(23)3(后)38169.110.642(大)1236815.510.3522318389.415.5623127736.514.073(小)1326272.310.6832136154.411.8933216325.812.5K1108.7356.88102.1K204.78134.2580.29K359.25181.63190.37极差R145.53124.75110.08ABCA3B1C=2\*GB3②综合分值计算根据公式(6-2)可得：综合分Yi=BjYij=B1Yi1+B2Yi2+B3Yi3本例表征通过性能的指标中，行走阻力最重要，其权重取50，滑转率次要些，其重要权重取30，下陷深度更次要些，其权重取20。因为开始所作的权衡不一定很准确，权重计算时可以做适当调整。每号试验的综合分计算如下：Yi＝B1Yi1+B2Yi2+B3Yi3＝50×Yi1＋30×Yi2+20×Yi3总分值为100，综合评分结果和以综合分数作为总指标进行的直观分析如表6-24所示。〔3〕结果分析=1\*GB3①因素主次顺序(主→次)ABC。=2\*GB3②从直接分析来看，第7号试验分值最低，其最优组合条件为A3B1C3。=3\*GB3③根据计算分析可得其最优组合条件为A3B1C2。〔4〕综合选优，进行第二批试验从第一批试验中得到最优组合方案是A3B1C3和A3B1C2。而从整机工作部件入土切削性能的角度考虑，应该取C1较好；其次，接地压力以B1水平最好，但在当前机械设计的条件下要做到B1水平〔18kPa〕还有一定困难，所以视当前条件还是选取B2水平(21kPa)更为切合实际。因此，提出第二批试验组合方案〔即第2章中提出的综合性试验方案〕A3B1C1和A3B2C1，并与A3B第二批试验方案与结果如表6-26所示。表6-26湿地推土机通过性能第二批试验方案与结果试验号探索性试验组合方案试验结果滑转率/%综合分yi1yi2yi3Yi10A3B1C6502.310.213.8611A3B2C7733.011.447.48计算综合评分值Yi:Y10=50×0.160+30×0+20×0.293=13.86Y11=50×0.709+30×0.099+20×0.453=47.48由综合评分可确定A3B1C1优于A3B2C1由于第一批和第二批试验场所不同，所以两批试验结果不能直接比拟。可以采用两批试验中共同的组合方案A3B2C1作对照的方法来比拟。A3B1C1与第一批试验较最优组合A3B1C3第一批试验中的A3B1C3综合评分值是9.64分，作为对照的第8号试验组合方案A3B2C1的综合评分值为分19.02分第二批试验中A3B1C1的综合评分值是13.86分，作为对照的第11号试验组合方案A3B2C1的综合评分值是47.78可见，对同一个基准，A3B1C1的综合评分值比A3B1C3的综合评分值低21.68%，所以，由第二批试验可得进一步结果：第10号试验组合方案A3B1C1比第一批较最优组合A3B混合型正交试验设计以上讨论了各因素水平数相同的正交试验设计。但在实际问题中，受设备、原材试剂、生产条件等限制，有时因素的水平数是不相同；或在有的试验中，要重点考察某些因素而多取几个水平，也会遇到水平数不同的情况，这就是混合水平多因素试验设计问题的。混合水平正交试验设计方法主要有两种，一种是直接利用混合水平正交表；另一种是采用拟水平法，即将混合水平问题转化为等水平问题来解决。1〕直接利用混合水平正交表例6-7钢厂生产的某种牌号钛合金，在冷加工工艺中需进行一次退炽热处理，以降低硬度，便于校直、冷拉。要求根据冷加工变形量，在该合金的技术要求的范围内，硬度越低越好。解：〔1〕正交试验方案设计本试验的目的是寻找降低硬度的最正确退火工艺参数，便于校直、冷拉。试验考察的指标是洛氏硬度(HRC)根据初步试验和实践经验分析确定，主要考察退火温度、保温时间、冷却介质3个因素对产品质量指标的影响，各因素水平的选取如表6-27所示。表6-27钛合金退炽热处理试验因素水平表水平因素A退火温度/℃B保温时间/hC冷却介质17301空气27602水37904820本例有3个因素，1个4水平因素和两个2水平因素，应选用混合型正交表L8〔41×24〕。因素A有4个水平，应安排该表的第1列上，因素B和C都为2个水平，可以放在后4列中的任意两列上，本试验将B、C两因素依次放在2、3两列，表头设计如表6-28所示。表6-28钛合金退炽热处理试验表头设计因素ABC列号12345根据表6-28表头设计格式，将因素各水平的具体值按“水平对号入座〞的方法填到所选用的L8〔41×24〕正交表中，获得钛合金退炽热处理试验方案如表6—29所示。

表6-29钛合金退炽热处理试验方案及结果分析试验方案试验结果硬度值/HRC试验号11(730)1(1)1(空气)1131.60212(2)2(水)2231.0032(760)112231.6042221130.5053(790)121231.2063212131.0074(820)122133.0084211230.30K162.60127.4124.50T＝250.20K62.10122.8125.70K362.20K463.30k1〔K1/水平重复次数〕31.3031.8531.13k2〔K2/水平重复次数〕31.0530.7031.43k3〔K3/水平重复次数〕31.10k4〔K4/水平重复次数〕31.65极差R0.601.150.30BACA2B2C〔2〕混合型正交试验结果的计算与分析对混合型正交试验结果〔表6-29中硬度值〕进行计算分析的方法与同水平的试验类似，但计算时要注意以下两点：=1\*GB3①由于水平数不同，Ki、ki〔i表示水平号〕的计算略有差异第1列:由于有4个水平数，就需要计算4个K和4个k，每个K由2个试验结果相加得到，因此，这1列的k=K/2。例如：K1A=31.60+31.00=62.60k1A=K1A/2=31.30第2、3列：由于只有2个水平，只要计算2个K和2个k,每个K由4个试验结果相加得到，因此，这两列的k=K/4。例如：K1B=31.60+31.60+31.20+33.00=127.40k1B=K1B/4=31.85=2\*GB3②根据ki〔i表示水平号〕值计算极差R这是因为对于A因素，K1、K2、K3、K4分别是两个试验结果之和，而对于B、C两因素K1、K2分别是4个试验结果之和，所以只有根据平均值ki求出的极差才有可比性。即将上述根据混合型正交试验结果进行的计算与分析，填入表6-29中。由表6-29画出的指标与因素关系图见图6-4所示。图6-4因素与指标关系趋势图由表6-29或图6-4可以得出以下结论：各因素对硬度指标影响的主次顺序为(主→次)BAC，直接分析第8号试验组合条件A4B2C1最好，计算分析最正确退火工艺参数为A2B2C〔3〕验证试验该厂根据计算分析最正确退火工艺参数A2B2C1，即退火温度760℃，保温时间2h,冷却介质为空气时，进行的生产实践证明，该工艺参数组合〔A2B22〕拟水平法当遇到水平数不相同的正交试验，而没有现成的混合水平正交表使用，并且水平数较多的因素占多数时，可选用水平数较多的正交表，将水平数较少的因素虚拟一些水平，使之能安排在水平数较多的正交表中进行试验，称为拟水平法。例6-8钢管镀锌前需进行酸洗处理。为了提高去锈效率，缩短酸洗时间，安排酸洗处理正交试验，试验考察指标是酸洗时间〔越短越好〕。解：〔1〕正交试验方案设计本试验目的是寻找钢管镀锌前酸洗处理最正确工艺条件，试验考察的指标是酸洗时间。根据初步试验分析认为，H2SO4和CH4N2S的浓度、洗涤剂种类、温度是影响酸洗时间的主要因素，各因素水平的选取如表6－30所示。表6-30钢管镀锌酸洗处理试验因素水平表水平因素AH2SO4/gL-1BCH4N2S/gL-1C洗涤剂/70gL-1D温度/℃130012OP牌6022004海鸥牌703250880由表6-30可知，因素A、B、D皆为3水平，而因素C为2水平，假设C是3水平，就可直接选用L9(34)正交表。为此，将因素C虚拟1个水平，使C满足3个水平。虚拟水平选取的原那么：根据试验的需要选取，通常是选取估计较好的水平或重点要考察的那个水平作为虚拟水平。本例是将C的第2水平虚拟为第3水平。这样，因素C形式上是3个水平，实质上仍是二水平。那么，虚拟的结果相当于把L9(34)表作如下改造：第一列1→1、2→2、3→2，其它列保持不变。本例C因素有2个水平，安排在该表改造后的第1列上，因素B、A、D依次放在2、3、4列上，表头设计如表6-31所示。表6-31钢管镀锌酸洗处理试验表头设计因素CBAD列号1→234根据表6-31表头设计格式，将因素各水平的具体值按“水平对号入座〞的方法填到改造后的L9(34)正交表中，获得钢管镀锌酸洗处理试验方案见表6－32。表6-32钢管镀锌酸洗处理试验方案及结果分析试验方案试验号1→23温度41234567891(12)2(4)3(8)1231231(300)2(200)3(250)2313121(60)2(70)3(80)31223162-10-83.5-9-14-117K1KK3-2-31.5-16-5.5-12-141-20.516.5-21-29T=-33.5-2/3-31.5/6-16/3-5.5/3-12/3-14/31/3-20.5/316.5/3-21/3-29/3极差R27.5/621/643/691/6DACBC2B1A3D〔2〕拟水平法正交试验结果的计算与分析对拟水平法正交试验结果〔表6-32中酸洗时间〕进行计算分析时，要注意虚拟水平因素与其它因素的区别。=1\*GB3①由于虚拟水平因素C的水平重复次数不同，Ki、ki〔i表示水平号〕的计算有差异。因为在9次试验中，C1重复了3次，所以C的1水平对应数据之和的平均值C2重复了6次，而C的2水平对应数据和的平均值=2\*GB3②根据ki〔i表示水平号〕值计算极差R。因为对于C因素，K1c分别是3个试验结果之和，而对于K2c是6个试验结果之和，所以只有根据平均值ki求出的极差才有可比性。即将上述根据拟水平正交试验结果进行的计算与分析，填入表6-32中。由表6-32可得如下结论：各因素对酸洗时间影响的主次顺序为(主→次)DACB，直接分析第7号试验组合条件D2A3C2B1较好，计算分析较佳退火工艺参数为D3A〔3〕验证试验直接分析好的组合条件D2A3C2B1与计算分析好的组合条件D3A3C2B1，在考虑交互作用的正交试验设计以上介绍的试验方案设计或试验结果的分析方法，都是指因素间没有(或不考虑)交互作用的情况。在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生作用，由此可知，因素对试验指标的影响效果是由各因素的单独作用和因素间联合作用〔互作〕共同影响的结果，这种联合搭配的作用叫做交互作用。它反映了因素之间相互促进或相互抑制这种客观存在的现象。因此，在某些试验设计中就应考虑因素间交互作用的问题。1〕交互作用的直观解释考察某化学反响的温度A与时间B对产品收率的影响。温度和时间均取2个水平，即反响的温度A：A1，A2；反响时间B：B1，B2；在各AiBj条件下的平均收率，可能具有的2种情况如图6-5所示。第1种情况:不管B因素取哪个水平，A2水平下收率总比A1水平高10%；同样，不管A因素取哪个水平，B2水平下的收率总比B1水平下高5。这种情况下，一个因素水平的好坏或好坏程度不受另一个因素水平的影响，这种情况称为因素A与因素B之间无交互作用。第2种情况:在B1水平下A2比A1的收率高，但在B2水平下,A2比A1的收率低。这种一个因素水平的好坏或好坏的程度受到另一个因素水平制约的情况称为因素A与因素B存在交互作用，记作A×B。第1种情况A1A2B17585B28090第2种情况A1A2B17590B28580图6-5反响温度A与时间B对收率的影响2〕交互作用效果分析例6-9农业施肥效果的试验。通过施加不同的肥料，寻找提高亩产的最正确施肥方式。试验考察指标是亩产越高越好。解：〔1〕正交试验方案设计本试验目的是寻找提高亩产的最正确施肥方式，试验考察指标是每亩产量。试验确定氮肥(N)和磷肥(P)作为影响每亩产量的主要因素，各因素水平的选择如表6-33所示。表6-33农业施肥效果试验因素水平表水平因素A氮肥/kgB磷肥/kg100232本例是2因素2水平试验，由于考虑A、B因素之间的交互作用，所以可选用正交表L4(23)来安排试验。表头设计、试验方案及试验结果如表6-34所示。表6-34农业施肥效果试验方案及结果分析试验方案试验结果试验号A氮肥/kgB磷肥/kg亩产/kg12311(0)1(0)1200212(2)222532(3)122154221280K1425415480T=920K495505440212.5207.5240247.5252.5220R354520〔2〕交互作用效果分析为便于分析，列出两因素搭配表，如表6-35所示。表6-35N、P两因素搭配表N/kgP/kgP1=0P2=2N1=0200225N2=3215280由表6-34、表6-35可知，当不施加氮肥和磷肥时，亩产200kg；施加3kg氮肥增产15kg，施加2kg磷肥增产25kg；如果同时施3kg氮肥和2kg磷肥，按理应该增产15+25=40kg，但实际上增产了80kg。事实说明除了氮肥和磷肥单独对增产有作用外，还有N和P的一种互相搭配作用也对增产有影响。这种两因素的相互联合搭配作用称为交互作用。记作N×P。每个因素交互作用的影响效果为：该值与表6-34中第3列的极差值一致。3〕交互作用的处理(1)试验设计中，交互作用记作，，…称为1级交互作用，说明因素，之间有交互作用。称为2级交互作用，说明因素，，三者之间有交互作用。同样，假设个因素间有交互作用，就称为级交互作用，记作。2级和2级以上的交互作用统称为高级交互作用。(2)处理交互作用的总原那么在试验设计中，交互作用一律当作因素看待。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正