创新设计直线平面简单几何体(2)市公开课金奖市赛课一等奖课件

了解棱锥概念/掌握正棱锥性质/会画正棱锥直观图

第49课时棱锥第1页1．棱锥概念：有一个面是

，其余各面是

三角形，这么多面体叫棱锥．其中有公共顶点三角形叫棱锥

；多边形叫棱锥

；各侧面公共顶点(S)，叫棱锥

，顶点到底面所在平面垂线段(SO)，叫棱锥

(垂线段长也简称高)．多边形有一个公共顶点侧面顶点高底面或底第2页2．棱锥性质

定理：假如棱锥被平行于底面平面所截，那么所得截面与底面相同，截面面积与底面面积比等于顶点到截面距离与棱锥高平方比．3．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上射影是底面中心棱锥叫正棱锥．4．正棱锥性质：(1)正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等等腰三角形，各等腰三角形底边上高相等(叫正棱锥斜高)．(2)正棱锥高、斜高、斜高在底面上射影组成一个直角三角形；正棱锥高、侧棱、侧棱在底面上射影也组成一个直角三角形．第3页1．(·四川)如图，已知六棱锥P－ABCDEF底面是正六边形，PA⊥平面

ABC，PA＝2AB，则以下结论正确是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成角为45°答案：D第4页2．假如四棱锥四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它腰．以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥腰与底面所成角都相等B．等腰四棱锥侧面与底面所成二面角都相等或互补C．等腰四棱锥底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥各顶点必在同一球面上答案：B第5页3．下面是关于三棱锥四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成二面角都相等三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面面积都相等三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成角都相等，且侧面与底面所成二面角都相等三棱锥是正三棱锥．其中，真命题编号是________．(写出全部真命题编号)答案：①④第6页4．已知正三棱锥S－ABC高SO＝h，斜高SM＝l，△A′B′C′为经过SO

中点O′且平行于底面截面，则△A′B′C′面积等于________．答案：(l2－h2)第7页1．处理棱锥问题可类比平面几何，空间多面体可分割成若干个棱锥，如三棱 锥可分割成三个体积相等三棱锥．2．棱锥体积公式是V＝Sh.3．棱锥表面积是其底面积加上各个侧面面积．第8页【例1】如图，四棱锥P－ABCD底面是边长为a正方形，PB⊥面ABCD.(1)若面PAD与面ABCD所成二面角为60°，求这个四棱锥体积；(2)证实不论四棱锥高怎样改变，面PAD与面PCD所成二面角恒大于90°.解答：(1)∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上射影．又DA⊥AB，∴PA⊥DA.∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角平面角．

∴∠PAB＝60°.而PB是四棱锥P－ABCD高，PB＝AB·tan60°＝a，

∴V锥＝

；第9页(2)证实：不论棱锥高怎样改变，棱锥侧面PAD与面PCD恒为全等三角形．如图，作AE⊥DP，垂足为E，连结EC、AC，则△ADE≌△CDE.∴AE＝CE，∠CED＝90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角平面角．设PB＝h，则PA＝PC＝，AE＝CE＝，在△AEC中，cos∠AEC＝.则∠AEC>90°.所以，面PAD与面PCD所成二面角恒大于90°.第10页变式1.正四棱锥棱长均为a，(1)求侧面与底面所成角α余弦值；(2)求相邻两个侧面所成二面角β余弦值；(3)求证：β＝2α. 解答：(1)如图所表示，作高SO和斜高SE，连结OE， ∵棱锥S－ABCD为正四棱锥，∴OE⊥BC. ∴∠SEO为侧面与底面所成角平面角． 由题知∠SEO＝α，∵SE＝a，OE＝a，∴cosα＝.第11页(2)设SC中点为F，连结BF和DF，∵△BCS和△DCS都是正三角形，∴DF⊥SC，BF⊥SC，∴∠DFB为相邻两侧面所成二面角平面角，即∠DFB＝β.由DF＝BF＝a，BD＝a，得cosβ＝.(3)证实：∵cos2α＝2cos2α－1＝，0°＜2α＜180°，0°＜β＜180°.∴β＝2α.第12页 高考中经常以多面体为载体，考查点线面位置关系，证实平行或垂直，处理异面直线成角、直线与平面所成角以及二面角等问题．【例2】如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成角．第13页解答：解法一：(1)证实：因为N是PB中点，PA＝AB，所以AN⊥PB，因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN.因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM.(2)如图，连结DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成角．在Rt△BDN中，sin∠BDN＝，故BD与平面ADMN所成角是.第14页解法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A－xyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，M(1，，1)，D(0,2,0)．(1)证实：因为

＝(2,0，－2)·(1，，1)＝0，所以PB⊥DM.第15页(2)因为

＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，所以PB⊥AD，又PB⊥DM，且AD∩DM＝D，所以PB⊥平面ADMN，所以〈

〉余角即是BD与平面ADMN所成角．因为cos〈

〉＝，所以.所以BD与平面ADMN所成角为.第16页变式2.如右图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC中点，OP⊥底面ABC. (1)求证OD∥平面PAB； (2)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角大小； (3)当k取何值时，O在平面PBC内射影恰好为△PBC重心？

第17页

解法一：(2)如图，取BC中点E，连结OE，由PO⊥BC，OE⊥BC知平面POE⊥平面PBC，作OG⊥PE，则OG⊥平面PBC，连结DG，则∠ODG为PA与平面PBC所成角，设PA＝2，由k＝知AB＝BC＝1，∴OD＝1，OE＝，

，PO＝.在Rt△POE中，OG＝，在Rt△OGD中，sin∠ODG＝，∴∠ODG＝arcsin.(3)连结OB，由OB⊥PC，则DG⊥PC.∴BD为△PBC中线和高线，则PC＝BC，所以k＝1.第18页解法二：(2)如右图，建立空间直角坐标系O－xyz.设PA＝1，则AB＝BC＝k，则A(0，k,0)，P(0,0,)，B(k,0,0)，C(0，k,0)，当k＝时，设平面PBC法向量为n＝(1，y，z)，由得解得∴n＝(1,1，)．cos〈

，n〉＝，∴〈

，n〉＝arccos，即直线AP与平面PBC所成角为.第19页(3)△PBC重心坐标为G，

，由OG⊥平面PBC得：

，∴

，即k2＝1，则k＝1.第20页1.利用平面与平面垂直作出点到平面距离进行求解．2．利用三棱锥等体积求高间接求出点到平面距离．3．可利用空间向量计算点到平面距离．第21页【例3】在三棱锥S－ABC中，如图，△ABC是边长为4正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB中点． (1)证实：AC⊥SB； (2)求二面角N－CM－B大小； (3)求点B到平面CMN距离．解答：解法一：(1)证实：如右图，取AC中点D，连结SD、DB，∵SA＝SC，AB＝BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB⊂平面SDB，∴AC⊥SB.第22页(2)∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC；过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N－CM－B平面角．∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN＝NB，∴

，且ED＝EB.在正△ABC中，由平面几何知识可求得

.在Rt△NEF中，tan∠NFE＝，∴二面角N－CM－B大小是arctan.第23页(3)在Rt△NEF中，

，∴S△CMN＝

，S△CMB＝

.设点B到平面CMN距离为h，∵VB－CMN＝VN－CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h＝S△CMB·NE.∴h＝.即点B到平面CMN距离为.第24页解法二：(1)证实：如图，取AC中点O，连结SO、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.如右图建立空间直角坐标系O－xyz.则A(2,0,0)，B(0,，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,)，

．∵

＝(－4,0,0)·(0,，－)＝0，∴AC⊥SB.第25页(2)由(1)得

，设n＝(x，y，z)为平面CMN一个法向量，则

取z＝1，则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．又

为平面ABC一个法向量，∴.∴二面角N－CM－B大小为arccos.(3)由(1)(2)得

为平面CMN一个法向量，∴点B到平面CMN距离

.第26页变式3.如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝2a，

BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°. (1)求证：PA⊥平面ABCDE； (2)求二面角A－PD－E大小； (3)求点C到平面PDE距离．解答：(1)证实：∵PA＝AB＝2a，PB＝2a，∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.同理PA⊥AE.∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE.第27页(2)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED.∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED.∴ED⊥平面PAE.如图，过A作AG⊥PE于G，∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE.过G作GH⊥PD于H，连结AH，由三垂线定理得AH⊥PD.∴∠AHG为二面角A－PD－E平面角．在Rt△PAE中，AG＝a.在Rt△PAD中，AH＝a，∴在Rt△AHG中，sin∠AHG＝.∴∠AHG＝arcsin.∴二面角A－PD－E大小为arcsin.第28页(3)如图，∵∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°，BC＝DE＝a，AB＝AE＝2a，取AE中点F，连结CF，∵AF∥BC，且AF＝BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，∴CF∥平面PDE.∴点C到平面PDE距离等于F到平面PDE距离．第29页∵DE⊥平面PAE.∴平面PAE⊥平面PDE.∴过F作FQ⊥PE于Q，则FQ⊥平面PDE.∴FQ长即F点到平面PDE距离．在△PAE中，PA＝AE＝2a，F为AE中点，FQ⊥PE，∴FQ＝a.∴点C到平面PDE距离为a.第30页1．要熟练应用棱锥和正棱锥性质，处理棱锥中点、线、面位置关系，主要处理平行和垂直，计算成角和距离等问题．2．经过学习要熟知一些例题和变式