平面向量的概念及线性运算达标训练-高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.1.5平面向量的概念及线性运算达标检测一、单项选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))4．(2020·长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))5．在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是直线BN上一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．－4B．－1C．1D．46．(2020·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))为()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))7.如图所示，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．1B．2C．3D．48．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心二、多项选择题9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b10．(2020·济南一中月考)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)11．设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sinα·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为()A.eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C.eq\f(7π,6)D．eq\f(11π,6)12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)三、填空题13．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．14．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，点E是线段BC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________.15．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________.16．(2020·株江模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．四、解答题17．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.18．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).(1)用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))；(2)证明：A，M，C三点共线．19．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC与△APQ的面积之比为eq\f(20,9)，求实数λ的值．20.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→)).21．已知a，b不共线，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．22．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝neq\o(OB,\s\up7(→))，m，n∈R，求eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值．

参考答案1．A解析：①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．2．B解析：当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.3．A解析：由题意得eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).4．C解析：因为E为DC的中点，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选C.5．B解析：∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AN,\s\up6(→))，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.6．B解析：由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).7.C解析：法一：∵eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，两边同乘eq\o(OA,\s\up6(→))得eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)，两边平方得eq\f(9,4)＝λ2－λμ＋eq\f(μ2,4)，②①－②得eq\f(3μ2,4)＝eq\f(3,4).根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.法二：建系如图：由题意可知A(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝λ(1,0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(\r(3),2)μ)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)μ＝\f(\r(3),2)，))∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.8．B解析：作∠BAC的平分线AD.因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.9．AB解析：对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由平面向量共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.10．ACD解析：对于A，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，所以A正确．对于B，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，所以B错误．对于C，设BC的中点为F，由eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝2eq\o(MF,\s\up6(→))，由重心性质可知C正确．对于D，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，所以2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1.设eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，所以D正确．故选ACD.11．CD解析：因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sinα·b＝2λa－λb，因为a，b是不共线的两个平面向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝2λ，,sinα＝－λ，))解得sinα＝－eq\f(1,2).又α∈(0，2π)，故α可为eq\f(7π,6)或eq\f(11π,6).12．ACD解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD.13．答案：－eq\f(1,2)解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).14．答案：eq\f(3,4)eq\f(1,2)解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2).15．答案：3解析：由已知条件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，M为△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，则m＝3.16．答案：eq\f(7＋4\r(3),4)解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(3λ,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3λ,4)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以m＝1－eq\f(3λ,4)，n＝λ.所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(4,4－3λ)＋eq\f(1,λ)＝eq\f(λ＋4,－3λ2＋4λ)＝eq\f(1,28－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3λ＋4＋\f(64,λ＋4))))≥eq\f(1,28－2\r(3×64))＝eq\f(7＋4\r(3),4).当且仅当3(λ＋4)＝eq\f(64,λ＋4)，即(λ＋4)2＝eq\f(64,3)时取等号．解答题17．证明：(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线．又因为eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.因为O，A，B三点不共线，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))所以m＋n＝1.18．解：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)a＋b，又E为AD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b，因为EF是梯形ABCD的中位线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)a))＝eq\f(3,4)a，又M，N是EF的三等分点，所以eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)a＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.(2)证明：由(1)知eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＝eq\o(AM,\s\up6(→))，又eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(AM,\s\up6(→))有公共点M，所以A，M，C三点共线．19．解：设eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))，因为P，G，Q三点共线，所以可设eq\o(AG,\s\up6(→))＝μeq\o(AP,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AQ,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝λμeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)xeq\o(AC,\s\up6(→))，因为G为△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λμeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)xeq\o(AC,\s\u