平面向量的概念及线性运算达标训练-高一下学期数学人教B版(2019)必修第二册_第1页
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文档简介

6.1.5平面向量的概念及线性运算达标检测一、单项选择题1.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.设a,b是非零向量,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则eq\o(EB,\s\up6(→))+eq\o(FC,\s\up6(→))=()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))4.(2020·长沙市统一模拟考试)如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F满足eq\o(CF,\s\up6(→))=2eq\o(FB,\s\up6(→)),那么eq\o(EF,\s\up6(→))=()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))5.在△ABC中,eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→)),P是直线BN上一点,若eq\o(AP,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→)),则实数m的值为()A.-4B.-1C.1D.46.(2020·南昌模拟)如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))为()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))7.如图所示,平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→)),其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°,eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°,且|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(OB,\s\up6(→))|=1,|eq\o(OC,\s\up6(→))|=eq\r(3),若eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),则λ+μ=()A.1B.2C.3D.48.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心二、多项选择题9.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(CD,\s\up6(→))=b10.(2020·济南一中月考)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),则点M是边BC的中点B.若eq\o(AM,\s\up6(→))=2eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),则点M在边BC的延长线上C.若eq\o(AM,\s\up6(→))=-eq\o(BM,\s\up6(→))-eq\o(CM,\s\up6(→)),则点M是△ABC的重心D.若eq\o(AM,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→)),且x+y=eq\f(1,2),则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)11.设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+sinα·b,其中α∈(0,2π),=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角α的值可以为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(7π,6)D.eq\f(11π,6)12.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),则点M是边BC的中点B.若eq\o(AM,\s\up6(→))=2eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),则点M在边BC的延长线上C.若eq\o(AM,\s\up6(→))=-eq\o(BM,\s\up6(→))-eq\o(CM,\s\up6(→)),则点M是△ABC的重心D.若eq\o(AM,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→)),且x+y=eq\f(1,2),则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)三、填空题13.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为________.14.在等腰梯形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(DC,\s\up6(→)),点E是线段BC的中点,若eq\o(AE,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))+μeq\o(AD,\s\up6(→)),则λ=________,μ=________.15.已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=0,若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=meq\o(AM,\s\up6(→))成立,则m=________.16.(2020·株江模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),则eq\f(1,m)+eq\f(1,n)的最小值为________.四、解答题17.已知O,A,B是不共线的三点,且eq\o(OP,\s\up6(→))=meq\o(OA,\s\up6(→))+neq\o(OB,\s\up6(→))(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.18.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(DC,\s\up6(→)).(1)用a,b表示eq\o(AM,\s\up6(→));(2)证明:A,M,C三点共线.19.已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)),△ABC与△APQ的面积之比为eq\f(20,9),求实数λ的值.20.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设eq\o(AB,\s\up7(→))=a,eq\o(AC,\s\up7(→))=b,试用a,b表示eq\o(AD,\s\up7(→)),eq\o(AG,\s\up7(→)).21.已知a,b不共线,eq\o(OA,\s\up7(→))=a,eq\o(OB,\s\up7(→))=b,eq\o(OC,\s\up7(→))=c,eq\o(OD,\s\up7(→))=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.22.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设eq\o(OP,\s\up7(→))=meq\o(OA,\s\up7(→)),eq\o(OQ,\s\up7(→))=neq\o(OB,\s\up7(→)),m,n∈R,求eq\f(1,n)+eq\f(1,m)的值.

参考答案1.A解析:①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,无论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.2.B解析:当λ<0时,|a+b|≠|a|+|b|;当λ>0时,|a+b|=|a|+|b|.故选B.3.A解析:由题意得eq\o(EB,\s\up6(→))+eq\o(FC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→)))+eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\o(AD,\s\up6(→)).4.C解析:因为E为DC的中点,所以eq\o(EC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为eq\o(CF,\s\up6(→))=2eq\o(FB,\s\up6(→)),所以eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(EC,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)),故选C.5.B解析:∵eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→)),∴eq\o(AC,\s\up6(→))=5eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→)),∴eq\o(AP,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AN,\s\up6(→)),由B,P,N三点共线可知,m+2=1,∴m=-1.6.B解析:由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))+\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))-\o(AB,\s\up6(→))))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).7.C解析:法一:∵eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°,eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°,且|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(OB,\s\up6(→))|=1,|eq\o(OC,\s\up6(→))|=eq\r(3),∴由eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),两边平方得3=λ2-λμ+μ2,①由eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),两边同乘eq\o(OA,\s\up6(→))得eq\f(3,2)=λ-eq\f(μ,2),两边平方得eq\f(9,4)=λ2-λμ+eq\f(μ2,4),②①-②得eq\f(3μ2,4)=eq\f(3,4).根据题图知μ>0,∴μ=1.代入eq\f(3,2)=λ-eq\f(μ,2)得λ=2,∴λ+μ=3.故选C.法二:建系如图:由题意可知A(1,0),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(\r(3),2))),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))),∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(\r(3),2)))=λ(1,0)+μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ-\f(1,2)μ,\f(\r(3),2)μ)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ-\f(1,2)μ=\f(3,2),,\f(\r(3),2)μ=\f(\r(3),2),))∴μ=1,λ=2.∴λ+μ=3.8.B解析:作∠BAC的平分线AD.因为eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))),所以eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))=λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0,+∞)),所以eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→)),所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)),所以P的轨迹一定通过△ABC的内心,故选B.9.AB解析:对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=eq\f(2,7)e,b=-eq\f(8,7)e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由平面向量共线定理知,存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则非零向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0,则不能保证a,b共线,故C不正确;对于D,已知梯形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(CD,\s\up6(→))=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.故选AB.10.ACD解析:对于A,因为eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),所以eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→)),即eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(MC,\s\up6(→)),则点M是边BC的中点,所以A正确.对于B,因为eq\o(AM,\s\up6(→))=2eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),所以eq\o(AM,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),所以eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→)),则点M在边CB的延长线上,所以B错误.对于C,设BC的中点为F,由eq\o(AM,\s\up6(→))=-eq\o(BM,\s\up6(→))-eq\o(CM,\s\up6(→)),得eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=2eq\o(MF,\s\up6(→)),由重心性质可知C正确.对于D,因为eq\o(AM,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→)),且x+y=eq\f(1,2),所以2eq\o(AM,\s\up6(→))=2xeq\o(AB,\s\up6(→))+2yeq\o(AC,\s\up6(→)),2x+2y=1.设eq\o(AD,\s\up6(→))=2eq\o(AM,\s\up6(→)),所以eq\o(AD,\s\up6(→))=2xeq\o(AB,\s\up6(→))+2yeq\o(AC,\s\up6(→)),2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2),所以D正确.故选ACD.11.CD解析:因为P,Q,R三点共线,所以与共线,所以存在实数λ,使=λ,所以a+sinα·b=2λa-λb,因为a,b是不共线的两个平面向量,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1=2λ,,sinα=-λ,))解得sinα=-eq\f(1,2).又α∈(0,2π),故α可为eq\f(7π,6)或eq\f(11π,6).12.ACD解析:若eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),则点M是边BC的中点,故A正确;若eq\o(AM,\s\up6(→))=2eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),即有eq\o(AM,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)),即eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→)),则点M在边CB的延长线上,故B错误;若eq\o(AM,\s\up6(→))=-eq\o(BM,\s\up6(→))-eq\o(CM,\s\up6(→)),即eq\o(AM,\s\up6(→))+eq\o(BM,\s\up6(→))+eq\o(CM,\s\up6(→))=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,eq\o(AM,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→)),且x+y=eq\f(1,2),可得2eq\o(AM,\s\up6(→))=2xeq\o(AB,\s\up6(→))+2yeq\o(AC,\s\up6(→)),设eq\o(AN,\s\up6(→))=2eq\o(AM,\s\up6(→)),则M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2),故D正确.故选ACD.13.答案:-eq\f(1,2)解析:由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=k,,2λk-k=1,))整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-eq\f(1,2).又因为k<0,所以λ<0,故λ=-eq\f(1,2).14.答案:eq\f(3,4)eq\f(1,2)解析:取AB的中点F,连接CF(图略),则由题可得CF∥AD,且CF=AD.∵eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))-eq\o(FB,\s\up6(→)))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))-\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)),∴λ=eq\f(3,4),μ=eq\f(1,2).15.答案:3解析:由已知条件得eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=-eq\o(MA,\s\up6(→)),M为△ABC的重心,∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))),即eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=3eq\o(AM,\s\up6(→)),则m=3.16.答案:eq\f(7+4\r(3),4)解析:eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),设eq\o(BP,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))=-eq\f(3λ,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+λeq\o(AD,\s\up6(→))(0≤λ≤1),则eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BP,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(3λ,4)))eq\o(AB,\s\up6(→))+λeq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+neq\o(AD,\s\up6(→)),所以m=1-eq\f(3λ,4),n=λ.所以eq\f(1,m)+eq\f(1,n)=eq\f(4,4-3λ)+eq\f(1,λ)=eq\f(λ+4,-3λ2+4λ)=eq\f(1,28-\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3λ+4+\f(64,λ+4))))≥eq\f(1,28-2\r(3×64))=eq\f(7+4\r(3),4).当且仅当3(λ+4)=eq\f(64,λ+4),即(λ+4)2=eq\f(64,3)时取等号.解答题17.证明:(1)若m+n=1,则eq\o(OP,\s\up6(→))=meq\o(OA,\s\up6(→))+(1-m)eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+m(eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))),所以eq\o(OP,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=m(eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))),即eq\o(BP,\s\up6(→))=meq\o(BA,\s\up6(→)),所以eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线.又因为eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点B,所以A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使eq\o(BP,\s\up6(→))=λeq\o(BA,\s\up6(→)),所以eq\o(OP,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=λ(eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))).又eq\o(OP,\s\up6(→))=meq\o(OA,\s\up6(→))+neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))+(n-1)eq\o(OB,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))-λeq\o(OB,\s\up6(→)),即(m-λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+(n+λ-1)eq\o(OB,\s\up6(→))=0.因为O,A,B三点不共线,所以eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))不共线,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m-λ=0,,n+λ-1=0,))所以m+n=1.18.解:(1)eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=a+b+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)a))=eq\f(1,2)a+b,又E为AD的中点,所以eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,4)a+eq\f(1,2)b,因为EF是梯形ABCD的中位线,且eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(DC,\s\up6(→)),所以eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a+\f(1,2)a))=eq\f(3,4)a,又M,N是EF的三等分点,所以eq\o(EM,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,4)a,所以eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))+eq\o(EM,\s\up6(→))=eq\f(1,4)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,4)a=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b.(2)证明:由(1)知eq\o(MF,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a,所以eq\o(MC,\s\up6(→))=eq\o(MF,\s\up6(→))+eq\o(FC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b=eq\o(AM,\s\up6(→)),又eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(AM,\s\up6(→))有公共点M,所以A,M,C三点共线.19.解:设eq\o(AQ,\s\up6(→))=xeq\o(AC,\s\up6(→)),因为P,G,Q三点共线,所以可设eq\o(AG,\s\up6(→))=μeq\o(AP,\s\up6(→))+(1-μ)eq\o(AQ,\s\up6(→)),所以eq\o(AG,\s\up6(→))=λμeq\o(AB,\s\up6(→))+(1-μ)xeq\o(AC,\s\up6(→)),因为G为△ABC的重心,所以eq\o(AG,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))),所以eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))=λμeq\o(AB,\s\up6(→))+(1-μ)xeq\o(AC,\s\u

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