配套版第八章第十三章-第九章

直线与圆锥曲(ay2＋by＋c＝0)．①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离ElEl 1＋1直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切 ×直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交 √) 过点(2,4)的直线与椭圆4＋y＝1只有一条切线 满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个 直线y＝kx－k＋1与椭圆9＋4＝1的位置关系为 相 B．相C．相 答 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆，故直线与椭圆相 若直线y＝kx与双曲线9－4＝1相交，则k的取值范围是

答 解 双曲线9－4＝1的渐近线方程为 3．(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( 答 解 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－p，而点A(－2,3)在准线上，所以－p＝－2，即 8＝4C：y2＝8xF(2,0)y－3＝k(x＋2)y2＝8x得82k＋3＝0(k≠0)①Δ＝1－4×k(2k＋3)＝0k＝－2 222k＝1代入①y＝8y2＝8x2B的坐标为(8,8)BF的斜率为 460°lx2＝4yA、B 答 解 直线l的方程为y＝由

A(x1，y1)，B(x2，y2)题型 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应例 (1)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围 ， 15 15 15 ， 3 3 — 15 15 —

3，－思维点 联立方程，得一元二次方程，注意考虑判别式 解 由

得设直线与双曲线右支交于不同的两 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4k －103

因为直线l与抛物线C恰好有一个公共点，所以方程组组实数解，消去

①当a＋1＝0，即a＝－1时，方程(*)是关于x的一元一次方程，解得x＝－1②a＋1≠0a≠－1时，方程(*)x51)2＝a(5a＋4)Δ＝0a＝05当a＝0时，原方程组有唯一解当

5＝－时，原方程组有唯一解55a的取值集合是5思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也为0.化为判别式与0的大小关系求解． 将直线l的方程与椭圆C的方程联立 得方程组 4＋2 将①代入②方程③Δ>0，即－32<m<32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数lClC有且只有一个公共点．当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．题型 直线与圆锥曲线中点弦、弦长问例2 已知F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F2：(x－1)2＋y2＝1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．C3CEP，且|PF1|＝7E3在(1)、(2)lEA、BABMC上，求lk的取值范围．思维点 (1)利用两圆外切的性质求曲线C的方程3(2)利用|PF1|＝7P|PF2|3(3)l (1)设动圆圆心的坐标为(x，y)∵yyF2∴x－12＋y2＝x＋1y2＝4x，曲线C的方程为y2＝4x(x>0)．(2)依题意，c＝1，|PF1|＝7 33

∴b＝a－c＝3，∴E的标准方程为43 设直线l与椭圆E的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．A，B的中点M的坐标为ly＝kx＋m

2 与43＝1联立得(3＋4k)x＋8kmx＋4mΔ>0x1＋x2＝－8km∴x0＝－

，y0＝3m

M－

，3m 整理得 将②代入①162k2(3＋4k2)<81t＝4k2则 ∴－6<k<6 方法 A，B的坐标代入椭圆方程中，得

∵y2＝4x，∴直线AB的斜率 ＝－3y

16由(2)xp＝2，∴y2＝4xp＝8，∴yP＝2 ±由题设 2 2由题设 3<y<

y ∴－6<－306，即－ y

思维升 和训练 设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线(1)C(2)lCM，NMN垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围． (1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)．即

1

MN

C

的方程为 4(2)MNP－1，y0，M(xM，yM)，N(xN，yN) 4 可知 yM－yN＝－1 P－1，y0MN 22 由点 段BB′上(B′，B为直线x＝－1与椭圆的交点 yB′<y0<yB，也即－3<y0<所以－3 34<m<4所以－3 3题型 圆锥曲线的综合问 3例 lA，B.A的坐标为＝5若 4 l＝5若点 段AB的垂直平分线上，且→→＝4.求y0的值 (1)由e＝c＝3，得

c2＝a2－b2，解得a＝2b.2由题意可知1×2a×2b＝42解方程组

2所以椭圆的方程为4＋y(2)(i)由(1)A的坐标是B的坐标为(x1，y1)lk，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组x24y并整理，得 1由－2x1＝1＋4k21

y1＝4k 所以 5由|AB|＝45 45，解得l的倾斜角为π或 4(ii)ABM，由(i)M 2k ①k＝0B的坐标是(2,0)ABy轴，于是

由→ QA·QB＝4y＝±2②k≠0ABy－2k＝－1(x＋ k2x＝0y0＝－6kQA＝(－2，－yQA＝(－2，－y)，QB＝(x，y－y

→ 111 ＋＋2(＋4k2＋111 ±7

2±5综上，y0＝±22

2±5思维升 解决直线与椭圆相交问题时，以下几点容易造成失分Δ>0 2x＋y－3＝0MA，B两点，PABOP的斜率为2M x y＋ 1＋x y＋ 2＋ ①－②， 因 ＝－1，设2PABOP的斜率为2y0＝1x0 a2＝2b2a2＝2(a2－c2)a2＝2c2，又因为c＝3，所以a2＝6，所 M的方程为63(2)CD⊥ABABx＋y－3＝0，所以设直线CD方程为y＝x＋m， x＋y－3＝0代入63＝13x2－43x＝0A(0，3)，B43，－3所以可得|AB|＝43

3 y＝x＋m代入63＝13则|CD|＝ x3＋x42－4x3x4＝23

又因为m＝0时，|CD|4ACBD面积的最大值为1|AB|·|CD|＝8 3 3F1xCCM(m,0)m在(2)PkllCPF1，PF2k1，k2k2≠0，证明1＋1 思维点 xΔ＝0；变为111k与11x0，y0 3

(1)由已知得e＝a＝2，ac2＝a2－b2

2xC的方程为4x

2＝1.[3分→ →PF1·PM＝PF2·PM→ → → →即PF1·PM＝PF2·PM.[4分→

0000P(x0，y0)x2≠4，将向量坐标化得：m(4x2－16)＝3x3－12x.00004m＝3x04m∈－3，3.[6分 P(x0，y0)(y0≠0)l 4＋y

2 2联立

整理得(1＋4k)x＋8(ky0－kx0)x＋4(y0－2kx0y0＋k0000所以Δ＝64(ky0－k2x0)2－16(1＋4k2)(y2－2kx0y0＋k2x2－1)＝0.即00000.[10分x2x又0＋y2＝116y2k2＋8xy 0 x0＋x0－故x0＋x0－120＝－4y0，又k＋k ＝120所以1＋1＝111 x0y0所以1＋1为定值，这个定值为－8.[12分 温馨提醒对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值y＝kx＋bb、k等量关系进行中点弦问题，可以利用“点差法”，但记验证Δ>0或说明中点在曲线A 专项基础训(时间：40分钟

mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4P(m，n)的直线与椭圆94的交点个数是 至多为 答 ∴点P(m，n)在椭圆9＋4＝1 ，故所求交点个数是过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有 B．2C．3 D．4答 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．C的方程为则实数t的取值范围是(

2∪2，＋∞ 2 C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解 CΔ＝4－2<0t>2t<－Fy2＝8xF1lA，B)A．4)A．4C．8答 解 依题意F(2,0)l

yA(x1，y1)，B(x2，y2)则 144－16＝8直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( B．有且仅有两C．有无穷多 答 解 y2)A，Bx＝－1x＝my＋1y2＝4x，则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，∴A，Bx＝－2∴ x2＝1lA、B两点，若使得|AB|＝λl有3条，则 答 解 ∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条∴A，B的横坐标为3y＝±2，故∵2∴4，综上可知，|AB|＝4时，有三条直线满足题意．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为其焦点为则|AB|的最大值 答 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6ABF 过椭圆16＋4＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程 答 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上， 故1＋1＝1，2＋

又∵PA、B 4∴AB4

(A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|(1)E3 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝4a，3l的方程为y＝x＋c，其中

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组

消去y，化简得

，则

a2＋b22

AB的斜率为1，所以|AB|＝ 2[x1＋x2－4x1x2]，即3a＝ 2，故a22所以E的离心率 (2)ABN(x0，y0)，由(1) ＝

2＝－3a由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即x0c＝3a＝3

E的方程为189，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py EPQy轴上某定点． 依题意，得|OB|＝8B(x，y)x＝|OB|sin30°＝43，y＝|OB|cosB(43，12)x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，p＝2.E证 方法 由(1)知 P(x0，y0)x0≠0l，即2

40 0由 2 4

得

2x0

所 Q M(0，y1)，令→→＝0y0＝1x2(x0≠0)的点(x0，y0)由于

→

4

00

→ 由MP·MQ＝0，得 －y－yy＋y 0 1110即(y2＋y－2)＋(1－y)y11104由于(*)y0＝1x2(x0≠0)y04

PQy方法 由(1)知 P(x0，y0)2l2 4

由 2 4

得

2x000

所 Q M2(0，－1)；取x0＝1，此时P1，1，Q－3，－1，以PQ为直径的圆为 ＝125yM3(0,1)，M MM(0,1)．以下证明点M(0,1)就是所要求的点．因为

00

0→ 0MP·MQ＝2PQyB (时间：25分钟11(2014· AB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 17C. 答 设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，∵→11221y2＝x，y2＝x，∴yy11221

∴m＝2，即点M(2,0)． ＝1|OF|·|y|＝1y 8

＝y－y

8＝9y1＋2 912

8y3y1＝43设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ 答 解 直线AF的方程为y＝－