2023届高三新高考数学试题一轮复习专题9.4空间向量及其运算 教案讲义 （Word解析版）

第Page\*MergeFormat15页共NUMPAGES\*MergeFormat15页9.4空间向量及其运算课标要求考情分析核心素养1．空间直角坐标系：①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置；②借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．2．空间向量及其运算：①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．3．向量基本定理及坐标表示：①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；③掌握空间向量的数量积及其坐标表示；④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．本专题近3年未作为小题单独考查，常结合空间向量的应用（用空间向量证明线面关系，求空间角或距离等）里考查数学运算直观想象1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3.空间向量的线性运算（1）空间向量的加减法空间中任意两个向量都是共面的，可以平移至同一个平面内，它们的加、减法运算转化为平面向量的加减法运算．（2）空间向量的数乘运算实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，a与a方向相同；当时，a与a方向相反；当时，a=0．a的长度是a的长度的倍．4．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.5．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．3.空间两点间的距离公式：设点，则.4.中点坐标公式：设点，则的中点坐标为.1．【选必第1册P15习题3】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1D2．【选必第1册P15习题5】四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°，求AC'的长．考点一空间向量基本定理及其线性运算【方法储备】用已知向量表示某一向量的解题策略(1)用已知向量来表示某一未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用向量加法、减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．【典例精讲】例1.(2022·山东省枣庄市·期末考试)如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SBA.13a-12b+16【名师点睛】类比平面向量的线性表示，结合向量加法三角形法则即可.【靶向训练】练1-1.(2020·湖南省·月考)如图，在三棱锥D-ABC中，AB=a+2c，CD=2a-3b+2c，其中a，b，c为不共面的三个非零向量，ACA.32a-32b练1-2.(2020·湖北省黄石市·期末考试)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG

，设OG=xOA+yA.x=13,y=13,z=考点二共线向量定理、共面向量定理的应用【方法储备】证明三点共线和空间四点共面的方法证明三点(P，A，B)共线证明空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)，且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【典例精讲】例2.(2020·山东省·同步练习)i,j,k是三个不共面的向量，AB=i-2jA.-1 B.1 C.-2 D.2【名师点睛】空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基向量，判断3个向量能否作为空间向量的一组基向量，验证其是否共面.【靶向训练】练2-1.(2022·河南省郑州市·月考试卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内

C.在平面BA练2-2.(2021·湖南省株洲市·单元测试·多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是(

)A.

OM=2OA-OB-OC考点三空间向量的数量积及其应用【方法储备】【典例精讲】例3.(2021·河北省张家口市·期中考试)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BC,AD的中点，则AE⋅AF的值为(

)A.a2 B.12a2【名师点睛】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．【靶向训练】练3-1.(2022·全国·单元测试)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠AA.​292

B.29

C.​练3-2.(2022·全国·月考试卷)如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=2，EF=4，CA=CB=3，若AB⋅AE+AC⋅AF=7，则考点四空间向量的坐标运算【方法储备】1.空间向量的坐标（1）正交分解：设为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．（2）设，2.向量的坐标运算用向量的坐标进行，线性运算，数量积运算，求模长、夹角的余弦值，证明向量共线或垂直.【典例精讲】例4.(2022·全国·模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC =π2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与A.[55,1)

B.[24,【名师点睛】依据题意中的直三棱柱和底面是直角三角形的条件，很容易构建空间直角坐标系，利用坐标运算表示出出DF的长度，利用二次函数的性质求最值.【靶向训练】练4-1.(2021·福建省·期中考试)已知A-1,1,2、B1,0,-1，设D在直线AB上，且AD=2DB，设C(λ,13A.116 B.-116 C.练4-2.(2022·湖南省·单元测试)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，A.AC⊥D1N

B.MC易错点1．忽视空间向量夹角为钝角的充要条件.例5.(2022·湖北·月考)已知空间向量a，b，|a|=2，|b|=1，a,b=60∘，则使向量

易错点2.空间向量的最值问题中忽视已知条件或范围例6.

(2022·全国·单元测试)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1A.[12,1] B.[0,1] C.易错点3．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．例7.(2021·云南省普洱市·单元测试)下列说法错误的是(

)A.设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面

B.设a，b是两个空间向量，则a⋅b=b⋅a

C.设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面

D.设a答案解析【教材改编】1.【解析】在ΔA1MN中，MN=MA1+A1N，MA12.【解析】∵AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+【考点探究】例1.【解析】根据题意可得：SG=SE+EG=12练1-1.【解析】EF=EA+AB+BF，EF=EC+CD+DF，

∴2EF=(EA+EC练1-2.【解析】∵空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，

∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)例2.【解析】∵i,j,k是三个不共面的向量，

AB=i-2j+2k,BC=2i+j-3k，CD=λi+3j-5k练2-1.【解析】由于PM=P===11PA1-6PB-4PD1，

因为11-6-4=1，于是M，练2-2.【解析】当MA=mMB+n所以MO+所以m+n-1OM=-OA+mOB+nOC，

因为A所以OM=不妨令-1m+n-1=x，mm+n-1=y因为2+(-1)+(-1)=0≠1，1+1+(-1)=1，1+12+由上可知：B，D满足要求．故选：BD．例3.【解析】AE==1故选：C．练3-1.【解析】由题意可知，AO=12(AB+AC1)=12(AB+AC+AA1练3-2.【解析】由题意可得BC2=9=(AC-AB)2

=AC2+AB2-2AC⋅AB=9+4-2AC⋅例4.【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，E(0,1,12)，G(12，0，1)，

设F(x,0,0)(0<x<1)，D(0,y,0)(0<y<1)，

则GD=(-12，y，-1)，EF=(x,-1,-12)，

由于GD⊥EF，则GD⋅EF=0，

所以DF=(x,-y,0)=(-2y+1,-y,0)，

所以|DF|=(-2y+1)2+y2+练4-1.【解析】设D(x,y,z)，则AD=(x+1,y-1,z-2)，

AB=(2,-1,-3)，DB=(1-x,-y,-1-z)，

∵AD=2DB，∴(x+1,y-1,z-2)=2(1-x,-y,-1-z)；

即x+1=2(1-x)y-