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文档简介

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第1章函数与极限高等数学A1.2数列的极限1.2.1数列极限的概念1.2.2数列极限的性质1.2数列的极限1.2.1数列极限的概念数列的定义数列极限的定义实例与描述性定义数列极限的精确定义数列极限的几何解释用定义验证数列极限步骤数列的极限习例1-61.2.2数列极限的性质极限的唯一性

收敛数列的有界性收敛数列的保号性收敛数列与其子数列的关系数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数

注意：数列的单调性:数列的有界性:

3.定义告诉我们：一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.因此，改变、添加或去掉数列的有限项,不改变数列收敛或发散的性质．

注意数列极限的定义未给出求极限的方法.但可以用定义验证极限。例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.只要找到Ｎ就行！例3证例4证用数列极限的定义验证下列数列的极限证明:证明:四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.但不是充分条件．推论无界数列必定发散.你能举一个例吗？2.唯一性定理2如果一数列收敛，那么它的极限唯一.证由定义,故收敛数列极限唯一.定理3(收敛数列的保号性)证明:推论：如果数列从某项起有,且,3.收敛数列具有保号性.(用反证法证明)五、子列所谓数列{xn}子列，就是从数列x1,x2,,xn,中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为{xn}的子列.例如，x2,x5,x14,,x78,就是{xn}的一个子列.上例中n1=2,n2=5,n3=14等.

(4)在子列xn1

,xn2,…,xnk…中,表示各项在子列中的位置的是下标k,而不是nk,因此子列{xnk}收敛于a的定义为:此时，记为:证：充分性.由于{xn}可看作它自已的一个子列.由条件{xn}的任何子列都以a为极限，故定理4必要性.

★

由定理4，若{xn}的两个子列一个收敛于a,而另一个收敛于b，且ab,则{xn}发散；★

或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.0,1,0,1,发散.1,0,1,0,1,0,1,0,发散.推论.

★

一个发散数列可能有收敛的子列.注:解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:例10六、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性.子列：数列收敛与子列收敛的关系.记住几个结论★★★★★★补充的内容：“-N”语言的运用：由一个已知极限存在的数

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