中考数学二轮复习题型四：规律探索题【含答案】

——中考数学二轮复习题型四：规律探索题1.如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：(1)第9行的最后一个数是________；(2)第n行的第一个数是________，第n行共有________个数；第n行各数之和为____________．2.观察下列等式：(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,1×2)＝1；(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)；(3)eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,5×6)＝eq\f(1,5)；…根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)；(2)写出你猜想的第(n)个等式，并证明．3.观察下列等式：①eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,1)；②eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)；③eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)－eq\f(1,30)＝eq\f(1,3)；④eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)－eq\f(1,56)＝eq\f(1,4)；…(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性．4.观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第1层1＋2＝3；第2层4＋5＋6＝7＋8；第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第n层等号右侧的第一个数是________(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第几层？请简要说明理由；(2)求第99层右侧最后三个数字的和．5.观察下列等式：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？6.按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：1234345678945678910…1516…(1)第10行有________个数，第n行有________个数(结果用含n的式子表示)；(2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现在第几行？7.已知下列等式：①32－12＝8，②52－32＝16，③72－52＝24，…(1)请仔细观察，写出第4个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；(3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.8.【问题提出】观察下列图形，回答问题：第8题图由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有线段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有________条线段，所有线段的长度的和是________；【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式：1×1＝eq\f(1×2×3,6)；1×2＋2×1＝eq\f(2×3×4,6)；1×3＋2×2＋3×1＝eq\f(3×4×5,6)；第4个等式为____________；…【问题解决】求第n个图形中所有线段的长度的和．9.我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，那么12＋22＋32＋…＋n2结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n行n个圆圈中数的和为n＋n＋…＋n,\s\do4(n个n))，即n2.这样，该三角形数阵中共有eq\f(n（n＋1）,2)个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n2.第9题图①【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．第9题图②【解决问题】根据以上发现，计算eq\f(12＋22＋32＋…＋20172,1＋2＋3＋…＋2017)的结果为________．

类型二图形规律探索1.下列各图形中的“”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的：第1题图(1)观察图形，填写下表：第n个图形1234…n“”的个数36912…________“△”的个数13610…________(2)当n＝________时，“△”的个数是“”的个数的2倍．2.用同样大小的“”按如图所示的规律摆放：第2题图(1)第5个图形有多少枚“”？(2)第几个图形有2018枚“”？请说明理由．3.如图，图①中小黑点的个数记为a1＝4，图②中小黑点的个数记为a2＝8，图③中小黑点的个数记为a3＝13，…第3题图根据以上图中的规律完成下列问题：(1)图④中小黑点的个数记为a4，则a4＝________；(2)图n中小黑点的个数记为an，则an＝________(用含n的式子表示)；(3)第几个图形中的小黑点的个数为43个？4.(1)观察下列图与等式的关系，并填空：放置方式①放置方式②放置方式①中圆圈的个数1＋2＝eq\f(3×2,2)＝32＋3＋4＝eq\f(6×3,2)＝93＋4＋5＋6＝eq\f(9×4,2)＝184＋5＋6＋7＋8＝______＝______………n＋(n＋1)＋…＋______＝______(2)一堆按“放置方式①”放置的圆圈，小明数得共有165个圆圈，请你计算最上面有几个圆圈？5.如图，下列每个图案均是由若干边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，探究规律，解答问题．第5题图(1)请根据你的探究直接写出：第10个图案中共有______个小正方形，第n个图案中共有______个小正方形；(2)是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．6.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)认真观察图①，并填写出第4个点阵图相应的等式．第6题图①(2)结合(1)观察图②，并填写出第5个点阵图相应的等式．第6题图②(3)通过猜想，直接写出(2)中与第n个点阵图相对应的等式．7.如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：第7题图(1)填写下表：正方形ABCD内点的个数1234…n分割成的三角形的个数46________…____(2)原正方形能否被分割成2008个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由.8.如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，则第1个图形的面积为4×(2×1＋4×eq\f(1,2))＝16，第2个图形的面积为4×(5×1＋5×eq\f(1,2))＝30，第3个图形的面积为4×(9×1＋6×eq\f(1,2))＝48，…根据上述规律，解答下列问题：(1)第4个图形的面积为：4×(____×1＋____×eq\f(1,2))＝____，(2)第n个图形的面积为：4×[____×1＋____×eq\f(1,2)](用含n的式子填空)；(3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第1个图形的面积为(3eq\r(2))2－2，第2个图形的面积为(4eq\r(2))2－2，第3个图形的面积为(5eq\r(2))2－2，…再根据这个规律，完成下列问题：①按此规律，第n个图形的面积为：[____]2－2(用含n的式子填空)；②比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．第8题图9.(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：第9题图①(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第9题图②参考答案参考答案类型一数式规律探索1.解：(1)81；【解法提示】根据题意，观察发现：第1行的最后一个数为12＝1，第2行的最后一个数为22＝4，第3行的最后一个数为32＝9，第4行的最后一个数为42＝16，第5行的最后一个数为52＝25，第6行的最后一个数为62＝36，…，∴第n行的最后一个数为n2，∴第9行的最后一个数是81.(2)(n－1)2＋1，2n－1,(n2－n＋1)(2n－1)．【解法提示】观察发现：第1行的第一个数为(1－1)2＋1＝1，第2行的第一个数为(2－1)2＋1＝2，第3行的第一个数为(3－1)2＋1＝5，第4行的第一个数为(4－1)2＋1＝10，第5行的第一个数为(5－1)2＋1＝17，第6行的第一个数为(6－1)2＋1＝26，…，∴第n行第一个数为(n－1)2＋1；观察发现：第1行共有1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，…，∴第n行共(2n－1)个数；由(1)知第n行的最后一个数为n2，∴第n行的各数之和为eq\f(（n－1）2＋1＋n2,2)·(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．2.解：(1)eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,7×8)，eq\f(1,7)；【解法提示】观察上述等式发现：第(1)个等式：1－eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,1×（1＋1）)＝eq\f(1,2×1－1)＝1；第(2)个等式：eq\f(1,2)－eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,（2×2－1）×（2×2）)＝eq\f(1,2×2－1)＝eq\f(1,3)；第(3)个等式：eq\f(1,3)－eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,（2×3－1）×（2×3）)＝eq\f(1,2×3－1)＝eq\f(1,5)；∴第(4)个等式为：eq\f(1,4)－eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,（2×4－1）×（2×4）)＝eq\f(1,2×4－1)＝eq\f(1,7).即eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＋eq\f(1,7×8)＝eq\f(1,7).(2)第(n)个等式为eq\f(1,n)－eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1).证明：左边＝eq\f(2（2n－1）－（2n－1）＋1,2n（2n－1）)＝eq\f(4n－2－2n＋1＋1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1)＝右边．∴原式成立．3.解：(1)eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,90)＝eq\f(1,5)；【解法提示】观察发现：第①个等式：eq\f(1,2×1－1)＋eq\f(1,2×1)－eq\f(1,（2×1－1）（2×1）)＝eq\f(1,1)；第②个等式：eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×2)－eq\f(1,（2×2－1）（2×2）)＝eq\f(1,2)；第③个等式：eq\f(1,2×3－1)＋eq\f(1,2×3)－eq\f(1,（2×3－1）（2×3）)＝eq\f(1,3)；第④个等式：eq\f(1,2×4－1)＋eq\f(1,2×4)－eq\f(1,（2×4－1）（2×4）)＝eq\f(1,4)；∴第⑤个等式：eq\f(1,2×5－1)＋eq\f(1,2×5)－eq\f(1,（2×5－1）（2×5）)＝eq\f(1,5)，即eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,90)＝eq\f(1,5)；(2)根据上述规律，得第n个等式为eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,n).证明：左边＝eq\f(2n＋2n－1－1,2n（2n－1）)＝eq\f(2（2n－1）,2n（2n－1）)＝eq\f(1,n)＝右边，∴等式成立．4.(1)43，n2＋n＋1；2017排在第44层，理由略；(2)第99层右侧最后三个数字的和为29994.5.解：(1)根据题意可得，第五个等式为25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；(2)根据已知等式得，第n行的第1个数为n2，∵122＝144，∴145是第12行的第2个数.6.解：(1)91，n2－n＋1；【解法提示】根据题意可知，第2行最后一个数为4＝22，数字个数是22－1；第3行最后一个数为9＝32，数字个数是32－2；第4行最后一个数为16＝42，数字个数是42－3；…，∴第10行最后一个数为102＝100，数字个数是102－9＝91；第n行最后一个数为n2，数字个数是n2－(n－1)＝n2－n＋1.(2)∵第44行最后一个数是442＝1936，第45行第一个数字是45，而最后一个数字是452＝2025，45＜2019＜2025，∴2019最先出现在第45行．7.解：(1)∵第1个式子为：32－12＝(2×1＋1)2－(2×1－1)2＝8×1；第2个式子为：52－32＝(2×2＋1)2－(2×2－1)2＝8×2；第3个式子为：72－52＝(2×3＋1)2－(2×3－1)2＝8×3；∴第4个式子为：(2×4＋1)2－(2×4－1)2＝92－72＝8×4＝32；即第4个式子为：92－72＝32；(2)由(1)的推理过程可得，第n个式子为：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n；证明：∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n＝右边，∴所写等式成立；(3)8＋16＋24＋…＋792＋800＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝2012－1＝40400.8.解：【问题提出】10，20；【规律探索】1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝eq\f(4×5×6,6)；【问题解决】eq\f(n（n＋1）（n＋2）,6).9.解：【规律探究】2n＋1，eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)，eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)；【解法提示】第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n，则n－1＋2＋n＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n2)＝(1＋2＋3＋…＋n)(2n＋1)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)；12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)·eq\f(1,3)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).【解决问题】1345.【解法提示】eq\f(12＋22＋32＋…＋20172,1＋2＋3＋…＋2017)＝eq\f(\f(2017×（2017＋1）（2×2017＋1）,6),\f(2017×（2017＋1）,2))＝eq\f(2×2017＋1,3)＝1345.类型二图形规律探索1.解：(1)完成表格如下：第n个图形1234…n“”的个数36912…3n“△”的个数13610…eq\f(n（n＋1）,2)(2)11.【解法提示】根据题意知eq\f(n（n＋1）,2)＝2×3n，解得n＝0(舍去)或n＝11,∴当n＝11时，“△”的个数是“”的个数的2倍．2.解：(1)图①有2枚“”，2＝2×12，图②有8枚“”，8＝2×22，图③有18枚“”，18＝2×32，…图⑤有2×52＝50，∴第五个图形有50枚“”；(2)由(1)可得第n个图形有(2n2)枚“”，令2n2＝2018，此方程无整数解，∴没有哪个图形有2018枚“”．3.解：(1)19；【解法提示】根据题意知a4＝1＋2＋3＋4＋5＋4＝19.(2)eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1；【解法提示】an＝1＋2＋3＋…＋n＋n＋1＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)＋2n＋1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1.(3)当eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1＝43时，解得：n＝7(负值舍去)，∴第7个图形中的小黑点的个数为43个.4.解：(1)eq\f(12×5,2)，30，2n，eq\f(3n（n＋1）,2)；(2)由题意得，eq\f(3n（n＋1）,2)＝165，解得n1＝10，n2＝－11(舍去)，即最上面有10个圆圈．5.解：(1)56，eq\f(n（n＋1）,2)＋1(或eq\f(n2＋n＋2,2))；【解法提示】观察发现：第1个图案有1＋1＝2个小正方形；第2个图案有1＋2＋1＝4个小正方形；第3个图案有1＋2＋3＋1＝7个小正方形；第4个图案有1＋2＋3＋4＋1＝11个小正方形；…∴第10个图案有1＋2＋3＋4＋…＋10＋1＝56个小正方形；第n个图案有1＋2＋3＋4＋…＋n＋1＝eq\f(n（n＋1）,2)＋1个小正方形.(2)存在．理由如下：令eq\f(n（n＋1）,2)＋1＝37，解得n＝－9(舍去)，或n＝8，∴存在有37个小正方形的图案，是第8个图案．6.解：(1)1＋2＋3＋4＝eq\f(（1＋4）×4,2)＝10；(2)10＋15＝52；(3)由(1)(2)可知，eq\f(n（n－1）,2)＋eq\f(n（n＋1）,2)＝n2.【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第n个点阵图等于(1)中第n个点阵图和n－1个点阵图之和，∴n2＝eq\f(n（n－1）,2)＋eq\f(n（n＋1）,2).7.解：(1)填写下表：正方形ABCD内的点的个数1234…n分割成的三角形的个数46810…2n＋2【解法提示】观察图形发现：有1个点时，内部