必修5选修1-同步拓展上

正弦定理和余弦定 =2R（R为△ABC外接圆半径sin sin sina2b2c22bccosAb2c2a22accosBc2a2b22abcos二、难点【经典例例1：解下列三角（1）已知在△ABC中，c10,A450,C300,求a,b和（2）在△ABC中，b 3,B600,c1,求a和（3）在△ABC中，c 6,A450,a2,求b和例2：解下列三角（1）△ABC中，a23,c 6 2,B450,求b和（2）已知△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c若ac 6 2且A75，则b 332 D．6332例3：证明平行四边形各边平方和等于对例4：证明角平分2例5：(2011Ⅰ文16)在△ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD ，ADB135。2AC 326（2011abc32BC

b= ，12cos(BC)0x2y2 例7（2009

1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2 8（2009仰角分别75°，30°，于水C处测BD点的仰角60°，AC＝26（0.01km，1.414，263段为函数y=Asinx(A>0，>0)x[0，4]的图象，且图象的最高点为 3【课堂练习1（2011 yPxOB2.（2011西城二模文6）函数ysinx(xR)的部分图象 标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tanyPxOB B．C． D． 3（2011 4（2011 1（ C角Cca1b2，cosC （Ⅰ）求△ABC的周长；（）cosAC的值4 1sinsinBcos

正余弦定理的应【知识要点归纳是。，三、三角形内角和定理是，变形公式有两个，第一个是： ，第二个 【经典例1：在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC2asinA2bc)sinB2cb)sinC，2：在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c（1（20112b2（2（201 a例3：根据已知条件，判断下列三角形的4：ABCA,B,C所对的边分别为2tanC

sinAsincosAcos

sin(BAcosCA5cosACcosB3b2ac，求B26（201117）在ABCAB,C所对的边分别为a,bc且满足csinAa（I）求角C的大小；（II）3sinAcos(BAB41.（20115）在ABCAB,C所对的边分a,bc．若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B A.

的内角、、满 ， 4

(C．3

．（角化边）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形 己知asinAcsinC2asinCbsinB(Ⅰ)B；（）A75∘b2,求a,c.5（20104＋b2－c26（2010 文数）在ABCACcosB cos 证明B=C（Ⅱ）若cosA ，求sin4B 的值 1（2011 3，则AB2BC的最大值 2．（201117）（12分）在ABCABCabcCsinCcosC1sin2求sinC的值；（2）a2b24(ab8，求边c等差数【知识要点归纳一、等差数列基础知识总二、等差数列基础方法总【经典例例1：求解下列问（1）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，等于） 已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差

在等差数列{an}中，a37,a5a26，则a6 例2：设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于 D．3：在等差数列{an}a560,a1712，求数列{|an|n例4：等差数列an的前n项和为S，已知aam1a20，S2m138，则m m 例5：求解下列问例6（2010 文数17）设等差数列an满足a35，a109求an的通项公式（Ⅱ）求an的前nSn及使Sn最大的序号n的值7：设等差数列annSn，且a312,S120,S13S1S2,...S12中哪一个最大，并说明理由1.（2010重庆文数）在等差数列an中，a1a910，则a5的值为 2（2011江西文5）设{an}为等差数列，公差d=−2，Sn为其前n项和.若S10S11，则a1 3（2010 卷2文）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+•••…+a7 4．已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ 5.（2010辽宁文数14）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33，S624，则a9 6（2011 7（2009 卷Ⅱ文）已知等差数列an}中，a3a716,a4a60,求an}n8（201求数列{an}的通项公式等比数【知识要点归纳一、等比数列基础知识总1234二、等比数列基础方法总【经典例例1：判断下列说法是否正确1

2a，b，c三数成等比数列b2=ac2：解下列问题（1（2010卷1文数）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10， a4a5a6 22A． D．22 文数)已知等比数列{a}的公比为正数，且a·a=2a2，a=1，则a= n2A． 2

2 2（3（2010 例3：求解下列问（1（2009江西卷文公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832等于 （2（2010浙江文数）设s为等比数列{a}的前n项和，8aa0则S5 S S2 例4（2010 文数）已知｛an｝为等差数列，且a36，a60求｛an｝的通项公式；（）{bn}满足b18b2a1a2a3，求{bn}n例5：求解下列问1在n

和n1之间n个正数，使这n2个数依次成等比数列，求所的n个数之积数列的首项和公比q。,) 例7（2010 2，S为{a}的前n项和。记T17SnS2n,nN*. 0Tn为数列{Tn}的最大项，则n0 0

nn【课堂练1.（2011辽宁文5）若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 2（2009文若数列{a}满足：a1, 2a(nN)则 前8项的和S 设等比数列{a}的公比q1，前n项和为S，则S4 4 4设等比数列{a}的前n项和为S，若S6=3，则 = B．3

363C．3

设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于 2(8n7

7（2009辽宁卷文）等比数列an}n项和sn，已S1S3S2成等差数（1）求an}的公比q（2）a1a3＝3等差与等比的证【知识要一．证明数列是等差等比的方法和思路总例1：在数列a中，a1， 2a2n．设b

an。证明：数列b 例2：已知数列a}满足，a＝1a2, ＝anan1,nN*.令b a，证明：{b}是等比数列 ’ 3：在数列{an}a11a22，且an11q)anqan1（n2,q0（Ⅰ）设b a（nN*证明{b}是等比数列 例4：设数列{an}的前n项和Sn,已知a11,Sn14an2，证明数列{an12an}是等比例5（2011 文17）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2513后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（I）求数列b的通项公式；（II）数列b的前n项和为 ，求证：数列 5是等比数列4 4 6（201S1S3S4成等差数列时，求q的值SmSnSl成等差数列时，求证：对任意自然数kamk、ankalk例7：{a}、{b}都是各项为正的数列，对任意的nN，都有a、b2、 成等差数列，b2、 、b2成 【课堂练习在数列a中，a2， 4a3n1，nN*。证明数列an是等比数列 已知等比数列xn的各项为不等于1的正数，数列yn满足yn2loga (a0,a1)证明：yn为等差数列；（2）问数列yn的前多少项的和最大，最大值为C73OBA123x求数列{anC73OBA123x求数列的通项公式和n【知识要点归纳一、求数列的通项二、求数列n项和的方法总例1：设Sn为数列{an}的前n项和，已知下列式子，求通项公Snkn2nnN*，其中kSn2n23nan5Sna11,an12Sn(nN2（2011A．3× B．3× 例3（2009 卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655,a2a7b1 b b 2 3 n求数列{b1 b b 2 3 n若数列{a}和数列{b}满足等式：a 例4：已知数列a满足a1,a3n1 (n2)，求 5：已知数列{an}满足an12an2n，且a11an06：已知a11an12nan，求an例7：设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n1)an12nan2an1an0（n=1，2，3…，则它的通项公式是an= （1）132435

n(n11

1

4

7

(3n2)(3n23 4 n1 23 4 n1 例9：数列 ,22323

234 (k

,的前n项和Sn 例10（2012海淀二模文15）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d0， 6，且a1,a3,a91SSn

例12：（2009山东卷文）等比数列{a}的前n项和为S，已知对任意的nN，点(n, ，均在函 ybxr(b0且b1,br均为常数)n （11）当b=2时，记bn1(nN 求数列{b}的前n项和n 【课堂练1（2010 已知数列{an}中，a11,an1an3，则an 已知数列{a}中，a1,an13，则a ana 为1的等比数列。（I）求c的值；（II）an的通项公式。5.（2009卷文）已知数列{an}的前n项和求数列{an}与{bn}的通项公式

2n22n，数列{bn}n项和Tn2设ca2b，证明：当且仅当n≥3时， 6．已知数列{a}的通项公式a6n5，设

，求数列{b}n项和n n

an不等【知识要点归纳线性规【经典例a>b>0，则ac2

1 b

a若ab， 若ab0，则a2ab 例2：设(0,),[0,]，那么2的范围是 (0,5

(

,5

(0, D．(

, 4：设0x1,a0a1，比较|loga(1x|与|loga(1x|5Ax|2x1|3B

2x

,则A∩B是 0Ax1x1或2x0

3 B．x2xC．

D． 1x x

x1x 22（1）x23x

≥x|4x-（1）ax1（2）(a1)xa（1）x2(1 a（2）ax2(a1)x1例10：已知函数f(x) (a,b为常数)，且方程f(x)x120有两个实根为x13,x24axf(x设k1xf(x

(k1)x。22xy1211xy满足条件3x2y10zx2yx4y1012xy满足xy61x

则x的取值范围是 A．

B． C． D．15 22

yx 13zxyxy满足3x5y25,zx变式zx3)2y例14：设等差数列an的前n项和为Sn，若a48,a510，则S6的最小值 15yx

x

16y13x)x(0x

)的最大3x17yx22(x0)x18y2x25x2(0x5)19x1y

x

例20（2011湖南）设x,yR，则(x21)(14y2)的最小值 例21（2009 ）设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则11的最小值为 池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【课堂练若ab0，则下列不等关系中不能成立的是 1 C．|a||b D．a2 a 如果ab，那么下列不等式①a3b3；②11；③2a2b；④lgalgb其中恒成立的是 “acbd”是“ab且cd”的 B．充分不必要条 D．既不充分也不必要条x4（2008

≥2的解集是

31

1

∪ D．

1 ，1∪ ，1∪ 2 x24ax5a2y已知不等式组yx4P(xyz2xyx值 y

y若实数x，y满足不等式xy ,则x1的取值范围是 12xy21

[1 C．1 D．11,

, 2

xy50xy100x2y2xy2已知点M(x,y)在不等式组x2y10,所表示的平面区域内，则z(x1)2(y2)2的值域 yyxx

的是 22ysinx22sin

(0xyex ylog2x2logx13（2008“ A．充分不必要条 D．既不充分也不必要条14（2009重庆卷文）已知a0,b0，则112ab的最小值是 2 B． 2已知点A(m,n)在直线x2y20上，则2m4n的最小值 已知x，yR+，且x4y1，则x•y的最大值 【课堂练习】参考答【正弦定理和余弦定5534、解：（）c2a2b22abcosC14414c4ABC的周长为abc12251114

asin

，∴sinC

，∴sinA 1115 81sin2∵ac，∴AC，故A为锐角，∴cos1sin28 ∴cosACcosAcosCsinAsinC

15

15

34、解：(Ⅰ)由正弦定理asinAcsinC 2asinCbsinB,可变形 a2c2

ac2acb，即acb 2ac，由余弦定理cosB B(0,)B4◦（Ⅱ）首先sinAsin(45

30)

2 6.sinCsin60∘ 3 2

62 64bsin4由正弦定理a sin

bsin3 1.，同理c 3 sin

2 2 5、解：(Ⅰ)1

33，2abcosC.所以 .因为0<C<π，所以 33 3（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-3

A)=sinA+ sinA=3

当△ABCsinA+sinB的最大值是3=sin 因为BCB−C=0.1 341cos2 =22.从而 ，cos4B=cos22Bsin22B41cos2 所以sin(4B )sin4B cos4B

427

C12sin2C1sinC，即 sinC(2cosC2sinC1)0，由sinC0得2cosC2sinC12 2 1

3C3即sincos ，两边平方得：sin C（2）si

C10sin

cos

， C

，则由sinC377co 77cocosC4

由余弦定理得c2a2b22abcosC8

7，所以c 1 S10S11,a110,a11a110d,a1aa a17(aa)7a3、答案：C性质法∵a3a4a512，∴a44 4、答案：由a1a3a5=105得3a3105,即a335，由a2a4a6=99得3a499即a4an

，∴d2ana4n4)(2)412n，由

n20S3S

32d

a1

S61 S61

65d2

，解得d

，a9a18d7、解：设an的公差为d，则 a28da12d2 a a 即 解得 或a13da15d a1 d dSn8nnn1nn9，或Sn8nnn1nn（Ⅱ）Skkk(k1)35k＝72、答案：16，255。a11,a22a12,a32a24,a42a38,a52a416，S8

282

a(1q4 14、答案：15。对于s4 ,a4a1q,4 1 q3(1 (1q3 1q3 12 5、答案：B，设公比为q，则6 3 q3＝2，于是9

161

1 方法二：由性质可知

S32S3S9S6)S3

S6367、解：（1）依题意有a(aaq)2(aaqaq2)，由于 0，故2q2q 又q0，从而q21

4n） （2）由已知可得a

）23，故a4，从而S 8

n）

21、证明：由题设an14an3n1，得an1n1)4(annnN*。a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列．y

2log

2loga

2log

2log

1∴3d=－6d=－2y yn(n1)d33nn(n1)n2 n=12时，Sn有最大值144。∴yn12项和1443、解：SnAn2BnC，代入三点坐标，求得A=B=C=1，所以Snn2n1a3(n

2n(n【求数列的通项公式和前n1、答案：Aa8S8S76449154、解：（I）a2a2ca23c，因为aaa成等比数列，所以(2c)22(23c 解得c0或c2．当c0a1a2a3，不符合题意舍去，故c2a2a1ca3a22cn(nanan1n1)c，所以ana1[12n(c1)]2

．又a12，c2，故an2n(n1)2 n ．当n1时，上式也成立，所