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文档简介
正弦定理和余弦定 =2R(R为△ABC外接圆半径sin sin sina2b2c22bccosAb2c2a22accosBc2a2b22abcos二、难点【经典例例1:解下列三角(1)已知在△ABC中,c10,A450,C300,求a,b和(2)在△ABC中,b 3,B600,c1,求a和(3)在△ABC中,c 6,A450,a2,求b和例2:解下列三角(1)△ABC中,a23,c 6 2,B450,求b和(2)已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c若ac 6 2且A75,则b 332 D.6332例3:证明平行四边形各边平方和等于对例4:证明角平分2例5:(2011Ⅰ文16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC3BD,AD ,ADB135。2AC 326(2011abc32BC
b= ,12cos(BC)0x2y2 例7(2009
1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则|PF2 8(2009仰角分别75°,30°,于水C处测BD点的仰角60°,AC=26(0.01km,1.414,263段为函数y=Asinx(A>0,>0)x[0,4]的图象,且图象的最高点为 3【课堂练习1(2011 yPxOB2.(2011西城二模文6)函数ysinx(xR)的部分图象 标原点,P是图象的最高点,B是图象与x轴的交点,则tanyPxOB B.C. D. 3(2011 4(2011 1( C角Cca1b2,cosC (Ⅰ)求△ABC的周长;()cosAC的值4 1sinsinBcos
正余弦定理的应【知识要点归纳是。,三、三角形内角和定理是,变形公式有两个,第一个是: ,第二个 【经典例1:在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC2asinA2bc)sinB2cb)sinC,2:在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c(1(20112b2(2(201 a例3:根据已知条件,判断下列三角形的4:ABCA,B,C所对的边分别为2tanC
sinAsincosAcos
sin(BAcosCA5cosACcosB3b2ac,求B26(201117)在ABCAB,C所对的边分别为a,bc且满足csinAa(I)求角C的大小;(II)3sinAcos(BAB41.(20115)在ABCAB,C所对的边分a,bc.若acosAbsinB,则sinAcosAcos2B A.
的内角、、满 , 4
(C.3
.(角化边)在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形 己知asinAcsinC2asinCbsinB(Ⅰ)B;()A75∘b2,求a,c.5(20104+b2-c26(2010 文数)在ABCACcosB cos 证明B=C(Ⅱ)若cosA ,求sin4B 的值 1(2011 3,则AB2BC的最大值 2.(201117)(12分)在ABCABCabcCsinCcosC1sin2求sinC的值;(2)a2b24(ab8,求边c等差数【知识要点归纳一、等差数列基础知识总二、等差数列基础方法总【经典例例1:求解下列问(1)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,等于) 已知an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差
在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6 例2:设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23,a611,则S7等于 D.3:在等差数列{an}a560,a1712,求数列{|an|n例4:等差数列an的前n项和为S,已知aam1a20,S2m138,则m m 例5:求解下列问例6(2010 文数17)设等差数列an满足a35,a109求an的通项公式(Ⅱ)求an的前nSn及使Sn最大的序号n的值7:设等差数列annSn,且a312,S120,S13S1S2,...S12中哪一个最大,并说明理由1.(2010重庆文数)在等差数列an中,a1a910,则a5的值为 2(2011江西文5)设{an}为等差数列,公差d=−2,Sn为其前n项和.若S10S11,则a1 3(2010 卷2文)如果等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+•••…+a7 4.已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2a4a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( 5.(2010辽宁文数14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S33,S624,则a9 6(2011 7(2009 卷Ⅱ文)已知等差数列an}中,a3a716,a4a60,求an}n8(201求数列{an}的通项公式等比数【知识要点归纳一、等比数列基础知识总1234二、等比数列基础方法总【经典例例1:判断下列说法是否正确1
2a,b,c三数成等比数列b2=ac2:解下列问题(1(2010卷1文数)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10, a4a5a6 22A. D.22 文数)已知等比数列{a}的公比为正数,且a·a=2a2,a=1,则a= n2A. 2
2 2(3(2010 例3:求解下列问(1(2009江西卷文公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S832等于 (2(2010浙江文数)设s为等比数列{a}的前n项和,8aa0则S5 S S2 例4(2010 文数)已知{an}为等差数列,且a36,a60求{an}的通项公式;(){bn}满足b18b2a1a2a3,求{bn}n例5:求解下列问1在n
和n1之间n个正数,使这n2个数依次成等比数列,求所的n个数之积数列的首项和公比q。,) 例7(2010 2,S为{a}的前n项和。记T17SnS2n,nN*. 0Tn为数列{Tn}的最大项,则n0 0
nn【课堂练1.(2011辽宁文5)若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为 2(2009文若数列{a}满足:a1, 2a(nN)则 前8项的和S 设等比数列{a}的公比q1,前n项和为S,则S4 4 4设等比数列{a}的前n项和为S,若S6=3,则 = B.3
363C.3
设f(n)2242721023n10(nN),则f(n)等于 2(8n7
7(2009辽宁卷文)等比数列an}n项和sn,已S1S3S2成等差数(1)求an}的公比q(2)a1a3=3等差与等比的证【知识要一.证明数列是等差等比的方法和思路总例1:在数列a中,a1, 2a2n.设b
an。证明:数列b 例2:已知数列a}满足,a=1a2, =anan1,nN*.令b a,证明:{b}是等比数列 ’ 3:在数列{an}a11a22,且an11q)anqan1(n2,q0(Ⅰ)设b a(nN*证明{b}是等比数列 例4:设数列{an}的前n项和Sn,已知a11,Sn14an2,证明数列{an12an}是等比例5(2011 文17)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2513后成为等比数列bn中的b3、b4、b5(I)求数列b的通项公式;(II)数列b的前n项和为 ,求证:数列 5是等比数列4 4 6(201S1S3S4成等差数列时,求q的值SmSnSl成等差数列时,求证:对任意自然数kamk、ankalk例7:{a}、{b}都是各项为正的数列,对任意的nN,都有a、b2、 成等差数列,b2、 、b2成 【课堂练习在数列a中,a2, 4a3n1,nN*。证明数列an是等比数列 已知等比数列xn的各项为不等于1的正数,数列yn满足yn2loga (a0,a1)证明:yn为等差数列;(2)问数列yn的前多少项的和最大,最大值为C73OBA123x求数列{anC73OBA123x求数列的通项公式和n【知识要点归纳一、求数列的通项二、求数列n项和的方法总例1:设Sn为数列{an}的前n项和,已知下列式子,求通项公Snkn2nnN*,其中kSn2n23nan5Sna11,an12Sn(nN2(2011A.3× B.3× 例3(2009 卷文)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a655,a2a7b1 b b 2 3 n求数列{b1 b b 2 3 n若数列{a}和数列{b}满足等式:a 例4:已知数列a满足a1,a3n1 (n2),求 5:已知数列{an}满足an12an2n,且a11an06:已知a11an12nan,求an例7:设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n1)an12nan2an1an0(n=1,2,3…,则它的通项公式是an= (1)132435
n(n11
1
4
7
(3n2)(3n23 4 n1 23 4 n1 例9:数列 ,22323
234 (k
,的前n项和Sn 例10(2012海淀二模文15)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d0, 6,且a1,a3,a91SSn
例12:(2009山东卷文)等比数列{a}的前n项和为S,已知对任意的nN,点(n, ,均在函 ybxr(b0且b1,br均为常数)n (11)当b=2时,记bn1(nN 求数列{b}的前n项和n 【课堂练1(2010 已知数列{an}中,a11,an1an3,则an 已知数列{a}中,a1,an13,则a ana 为1的等比数列。(I)求c的值;(II)an的通项公式。5.(2009卷文)已知数列{an}的前n项和求数列{an}与{bn}的通项公式
2n22n,数列{bn}n项和Tn2设ca2b,证明:当且仅当n≥3时, 6.已知数列{a}的通项公式a6n5,设
,求数列{b}n项和n n
an不等【知识要点归纳线性规【经典例a>b>0,则ac2
1 b
a若ab, 若ab0,则a2ab 例2:设(0,),[0,],那么2的范围是 (0,5
(
,5
(0, D.(
, 4:设0x1,a0a1,比较|loga(1x|与|loga(1x|5Ax|2x1|3B
2x
,则A∩B是 0Ax1x1或2x0
3 B.x2xC.
D. 1x x
x1x 22(1)x23x
≥x|4x-(1)ax1(2)(a1)xa(1)x2(1 a(2)ax2(a1)x1例10:已知函数f(x) (a,b为常数),且方程f(x)x120有两个实根为x13,x24axf(x设k1xf(x
(k1)x。22xy1211xy满足条件3x2y10zx2yx4y1012xy满足xy61x
则x的取值范围是 A.
B. C. D.15 22
yx 13zxyxy满足3x5y25,zx变式zx3)2y例14:设等差数列an的前n项和为Sn,若a48,a510,则S6的最小值 15yx
x
16y13x)x(0x
)的最大3x17yx22(x0)x18y2x25x2(0x5)19x1y
x
例20(2011湖南)设x,yR,则(x21)(14y2)的最小值 例21(2009 )设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项,则11的最小值为 池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?【课堂练若ab0,则下列不等关系中不能成立的是 1 C.|a||b D.a2 a 如果ab,那么下列不等式①a3b3;②11;③2a2b;④lgalgb其中恒成立的是 “acbd”是“ab且cd”的 B.充分不必要条 D.既不充分也不必要条x4(2008
≥2的解集是
31
1
∪ D.
1 ,1∪ ,1∪ 2 x24ax5a2y已知不等式组yx4P(xyz2xyx值 y
y若实数x,y满足不等式xy ,则x1的取值范围是 12xy21
[1 C.1 D.11,
, 2
xy50xy100x2y2xy2已知点M(x,y)在不等式组x2y10,所表示的平面区域内,则z(x1)2(y2)2的值域 yyxx
的是 22ysinx22sin
(0xyex ylog2x2logx13(2008“ A.充分不必要条 D.既不充分也不必要条14(2009重庆卷文)已知a0,b0,则112ab的最小值是 2 B. 2已知点A(m,n)在直线x2y20上,则2m4n的最小值 已知x,yR+,且x4y1,则x•y的最大值 【课堂练习】参考答【正弦定理和余弦定5534、解:()c2a2b22abcosC14414c4ABC的周长为abc12251114
asin
,∴sinC
,∴sinA 1115 81sin2∵ac,∴AC,故A为锐角,∴cos1sin28 ∴cosACcosAcosCsinAsinC
15
15
34、解:(Ⅰ)由正弦定理asinAcsinC 2asinCbsinB,可变形 a2c2
ac2acb,即acb 2ac,由余弦定理cosB B(0,)B4◦(Ⅱ)首先sinAsin(45
30)
2 6.sinCsin60∘ 3 2
62 64bsin4由正弦定理a sin
bsin3 1.,同理c 3 sin
2 2 5、解:(Ⅰ)1
33,2abcosC.所以 .因为0<C<π,所以 33 3(Ⅱ)解:由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-3
A)=sinA+ sinA=3
当△ABCsinA+sinB的最大值是3=sin 因为BCB−C=0.1 341cos2 =22.从而 ,cos4B=cos22Bsin22B41cos2 所以sin(4B )sin4B cos4B
427
C12sin2C1sinC,即 sinC(2cosC2sinC1)0,由sinC0得2cosC2sinC12 2 1
3C3即sincos ,两边平方得:sin C(2)si
C10sin
cos
, C
,则由sinC377co 77cocosC4
由余弦定理得c2a2b22abcosC8
7,所以c 1 S10S11,a110,a11a110d,a1aa a17(aa)7a3、答案:C性质法∵a3a4a512,∴a44 4、答案:由a1a3a5=105得3a3105,即a335,由a2a4a6=99得3a499即a4an
,∴d2ana4n4)(2)412n,由
n20S3S
32d
a1
S61 S61
65d2
,解得d
,a9a18d7、解:设an的公差为d,则 a28da12d2 a a 即 解得 或a13da15d a1 d dSn8nnn1nn9,或Sn8nnn1nn(Ⅱ)Skkk(k1)35k=72、答案:16,255。a11,a22a12,a32a24,a42a38,a52a416,S8
282
a(1q4 14、答案:15。对于s4 ,a4a1q,4 1 q3(1 (1q3 1q3 12 5、答案:B,设公比为q,则6 3 q3=2,于是9
161
1 方法二:由性质可知
S32S3S9S6)S3
S6367、解:(1)依题意有a(aaq)2(aaqaq2),由于 0,故2q2q 又q0,从而q21
4n) (2)由已知可得a
)23,故a4,从而S 8
n)
21、证明:由题设an14an3n1,得an1n1)4(annnN*。a111,所以数列ann是首项为1,且公比为4的等比数列.y
2log
2loga
2log
2log
1∴3d=-6d=-2y yn(n1)d33nn(n1)n2 n=12时,Sn有最大值144。∴yn12项和1443、解:SnAn2BnC,代入三点坐标,求得A=B=C=1,所以Snn2n1a3(n
2n(n【求数列的通项公式和前n1、答案:Aa8S8S76449154、解:(I)a2a2ca23c,因为aaa成等比数列,所以(2c)22(23c 解得c0或c2.当c0a1a2a3,不符合题意舍去,故c2a2a1ca3a22cn(nanan1n1)c,所以ana1[12n(c1)]2
.又a12,c2,故an2n(n1)2 n .当n1时,上式也成立,所
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