函数零点的个数问题

全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数y=f(x)QeD),我们把方律(x)=0的实数根X称为函数y=f(X)(xeD)的零点2、函数零点存在性定理：设函就x)在闭区I'小,b］上连续，且f(a)f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点xe(a,b)，使0得f(x)=0。0(1)f(x)在［a,b］上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提(2)零点存在性定理中的几个〃不一定〃(假设f(x)连续)①若f(a)f(b)<0,则f(x)的零点不一定只有一个，可以有多个②若f(a)f(b)>0,那么f&)在［a,b］不一定有零点③若f(x)在［a,b］有零点，则f(a)f(b)不一定必须异号3、若f(x)在［a,b］上是单调函数且连续，则f(a)f(b)<0nf(x)在(a,b)的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y=f(x),则f(x)的零点即为满足方程f(x)=0的根，若f(x)=g(x)-h(x)，则方程可转变为g(x)=h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x),h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。(详见方法技巧)二、方法与技巧:1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程lnx+x=0，无法直接求出根，构造函数f（x）=lnx+x，由f（1）＞0,f『］＜0即可判定其零点必在［1,1］中12）12）2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数(故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含X的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察)，另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧以及作图时速度与精度的平衡作图问题详见1.7函数的图像)3、在高中阶段主要考察三个方面：(1)零点所在区间一一零点存在性定理，(2)二次方程根分布问题，(3)数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第(3)个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。三、例题精析：例「直线y=a与函数y=x3-3X的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为().A.(-2,2)B.[-2,2]C.L,+8)D.(―叫―21思路：考虑数形结合，先做出y=X3-3X的图像，y'=3x2-3=3(x-1)(x+1)，令y>0可解得：x<-1或X>1,故y=X3-3X在(-8,-1),(1,+8)单调递增，在(-1,1)单调递减，函数的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2，做出草图。而y=a为一条水平线，通过图像可得，y=a介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：ae(-2,2)^案：A小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角色,然后数形结合，即可求出参数范围。全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)例2:设函数/(J=%2+2x-2ln(X+1)，若关于％的方程fG)=x2+%+a在[0,2]上恰有两个相异实根，则实数a的取值范围是思路：方程等价于：x2+2x_2ln(x+1)=x2+x+ana=x一2ln(x+1)，即函数y=a与g(x)=x-2ln(x+1)的图像恰有两个交、、.点，分析g(x)的单调性并作出草图：\g'(x)=1-二=M...令g,(x)>0解得：一x+1x+1-Hx>1g(x)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，g(1)=1-21n2g(0)=0,gG)=2-2ln3，由图像可得，水平线y=a位于g(1),g(2)之间时，恰好与(x)有两个不同的交点。.•・1-2ln2<a<2-2ln3答案：1-2ln2<a<2-2ln3小炼有话说(1)本题中的方程为x2+2x-2ln(x+1)=x2+x+a，在构造函数时，进行了x与a的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含x所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于x的函数易于作出图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为a=x-2ln(x+1),构造函数g(x)=x-2ln(x+1)并进行数形结合。(2)在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意能否取到边界值。例3：已知函数f(x)=!kx+2,x<0(keR),若函数y=f(x)+k有三个零点，贝U[lnx,x>0实数k的取值范围是()A.kA.k<2B.-1<k<0C.-2<k<-1D.k<-2思路：函数y=/G)+上有三个零点，等价于方程f(x)=-k有三个不同实数根，进而等价于f(x)与y=-k图像有三个不同交点，作出f(x)的图像，则k的正负会导致f(x)图像不同，且会影响尸-k的位置，所以按k>0,k<0进行分类讨论,然后通过图像求出k的范围为k<-2。答案：D小炼有话说：(1)本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零群方程的根o函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。(2左题所求k在图像中扮演两个角色一方面决定f(x)左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与x轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。例4：已知函数f(x)满足f(x)=f(3x)，当xJ,3),f(x)=lnx，若在区间［1,9)内，函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点，则实数〃的取值范围是()B.1n31[B.1n31[9,3e)1n31[9，2e)(1n31n3)思路：f(x^=f(3思路：f(x^=f(3x)nf=f(xl3J，当xe[3,9)时，f(1=f(X]=呜，所l3J3以f(JI]r"x<3Iln—,3<x<9[3,而g(x)=f(x)一ax有三个不同零点oy=f(x)与J=ax有三个不同交点，如图所示，可得直线y=ax应在图中两条虚线之间，所以答案：B答案：B小炼有话说：本题有以下两个亮点。(1)如何利用f(x)=fH)已知x」,3),f(x)的解析式求xe[3,9),f(x)的解13J析式。(2)参数a的作用为直线y=ax的斜率，故数形结合求出三个交点时a的范围例5：已知函数f(x)是定义在(-8,0)・Q”)上的偶函数，当x>0时，’2ix-11一1,0<x<2f(x)=11f(x一2)x>2，则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为()A.4B.6C.8D.10思路：由f(x)为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当x£(0,2]时，可以利用y=2x利用图像变换作出图像，x>2时，f(x)=1f(x-2)，即自变^2量差2个单位，函数值折半，进而可作出(2,4],(4,6]，……的图像，g(x)的零点个数即为f(x)=4根的个数，即f(x)与尸4的交点个数，观察图像在x>0时，有5个交点，根据对称性可得x<0时，也有5个交点。共计10个交点答案：D小炼有话说：(1)f(x)=1f(x-2)类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个〃周期〃图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可(2)周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合。(3)巧妙利用f(x)的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决例6：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数X，满足f(-x)=-f(x)，称f(x)为〃局部奇函数”，若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的〃局部奇函数〃，则实数m的取值范围是()A.1-、芹<m<1+%，3B.1-、萨<m<2sC.-2产<m<2RD.-2%.2<m<1-%：3思路：由〃局部奇函数〃可得：4x-2m-2x+m2-3+4-x-2m-2-x+m2-3=0，整理可得：(4x+4-x)-2m(2x+2I+2m2-6=0，考虑到4x+4-x=Q+2-x)-2，从而可将2x+2-x视为整体，方程转化为：(2x+2-x)-2mQ+2-x)+2m2-8=0,利用换元设t=2x+2-x(t>2)，则问题转化为只需让方程12-2mt+2m2-8=0存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设g。)=12-2mt+2m2-8=0。(1)若方程有一个解，则有相切(切点％=m大于等于2)或相交(其中交点在x=2两侧)，即:“二0或g(2)<0,解得：m=2、：2或1-户<m<1+2[m>2\>0(2)若方程有两解，则L(2)>0，解得：m>2,—2”<m<20<m>1+邪,m<1—邪n1+J3<m<2婢，综上所述：1—J3<m<2J2m>2答案：A小炼有话说：本题借用〃局部奇函数〃概念，实质为方程的根的问题，在化简时将2x+2T视为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于2x+2T的二次方程，将问题转化为二次方程根分布问题，进行求解。例7：已知函数y=f(x)的图像为R上的一条连续不断的曲线，当x中0时，TOC\o"1-5"\h\zf'(x)+应>0，则关于x的函数g(x)=f(x)+1的零点的个数为()xxA.0B.1C.2D.0或2思路：f，(x)+9>0n对'(x)+f(x)>0A(x))>0，结合g(x)的零点个xxx数即为方程f(x)+1=0,结合条件中的不等式，可将方程化为xf(x)+1=0,可x设h(x)=xf(x)+1,即只需求出h(x)的零点个数，当x>0时，h(x)>0,即h(x)在(0,+8)上单调递增；同理可得：h(x)在(f0)上单调递减，,h(x)=h(0)=1,min故h(x)>h(0)=1>0，所以不存在零，点。答案：A

小炼有话说：(1)本题由于/(X)解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。(2)所给不等式f'(x)+虫>0呈现出f(x)轮流求导的特点，猜想可能是符合x导数的乘法法则，变形后可得(xf(x))>0，而g(x)的零点问题可利用方程进行变x形，从而与条件中的xf(x)相联系，从而构造出h(x)例8:定义域为R的偶函数f(x)满足对VxeR，有f(x+2)=f(x)-f(1)，且当xe[2,3]时，f(x)=-2x2+12x-18，若函数y=f(x)-log(x+1)在(0,+s)上至少有三个零点，则a的取值范围是(A.B.C.0,4IA.B.C.0,4I5D.04J思路：f(x+2)=f(x)-f(1)体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差f(1)，联想到周期性，考虑先求出f(1)的值，由f(x)为偶函数，可令x=-1，得f(1)=f(-1)-f(1)f(1)=0：.f(x+2)=f(x),f(x)为周期是2的周期函数已知条件中函数y=f(x)-log(x+1)有三个零点，可将零点问题转化为方程af(x)-log(x+1)=0即f(x)=log(x+1)至少有三个根，所以f(x)与y=logQ+1)有三个交点。先利用f(x)在axe[2,3]的函数解析式及周期性对称性作图通

过图像可得：。>1时，不会有3个交点，考虑0<〃<1的图像。设g(1=logx,a则y=logQ+1)=g(%+J,利用图像变换作图，通过观察可得：只需当x=2时，ay=log(x+1)的图像在f(x)上方即可，即alog(2|+1)>f(2)=一2nlog3>一2=loga-2所以-!->3n0<a<—aaaa23答案：B小炼有话说：本题有以下几个亮点：(1)f(x)的周期性的判定：f(x+2)=f(x)-f(1)可猜想与f(x)周期性有关，可带入特殊值，解出f(1)，进而判定周期，配合对称性作图(2)在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，f(x)的图像可做，且y=log(x+1)可通过图像变换做出a例9:已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当x式-1,目时，f(x)=［尸2，x［一1,1「其中%>0，若方程3f(x)=x恰有三个不同的实数［t(1-x-2),x£(1,31根，则实数的取值范围是()A.(4)IOfA.(4)IOf思路：由_S'3，2V3f(x+2)=-f(x)-4413，3V37可得D.f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为4，所解方程可视为y=f(x)与g(x)=x的交点，而用勺作用为影响y=t(1-x-2)图像直线的斜率，也绝对此段的最值(y=t)，先做出y=x的图像，再根max3据三个交点的条件作出f(x)的图像(如图)，可发现只要在x=2处，f(x)的图像高于g（x）图像且在X=6处/（X）的图像低于g（x）图像即可。所以有f(f(6)<g(6)If(2)>g(2尸f(6)=f(2)=t<2f⑵=t>—答案：B例10：（例10：（优质试题甘肃天水一中五月考）已知函数f（x）=<sin-1,x<0logx(a>0,a中1),x>0

a的图像上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（A.。金B.C.D.思路：考虑设对称点为x，-x，其中x>0，则

000A.。金B.C.D.思路：考虑设对称点为x，-x，其中x>0，则

000问题转化为方程f（x）=f（-x）至少有三个解。即sin1=logx有三个根，所以问题转aF*13化为g(x)=sin1与h（x）=1ogx有三个交点，先做出y=sina图像，通过观察可知若y=logx与其有三个交点，则0<a<1，进一步观察图像可a得：只要g（5）<h（5），则满足题意，所以(5冗、sin-vk271<log5n-2<log5nlog——<log5n—>5aaaa2aa2答案：A三、近年模拟题题目精选：1、已知f（x）是以2为周期的偶函数，当xe[0,1]时，f（x）="x，那么在区间（-1,3）内，关于％的方程f(X)=kx+k(keR)有4个根，则k的取值范围是().C.0<k<1或k=-D.0<k<1464X2+2X,X<02八，一,X>0eX2、(优质试题吉林九校联考二模，16)若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点AX2+2X,X<02八，一,X>0eX一个〃姊妹点对”((AB)与(B,A)可看作同一点对)，已知f(x)=<则f(X)的〃姊妹点对“有个3、(优质试题，天津)已知函数f(x)=\2~X)X<2，函数g(X)=b-f(2-x),1(x-2)2,x>2,其中beR，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.B.「(7A.B.「(7、c.(0，4JD.(7214,4、(优质试题，湖南)已知f(x)=\X3,X<°，若存在实数b，使函数g(x)=f(x)-b[x2,x>a有两个零点，则a的取值范围是5、(优质试题，新课标全国卷I)已知函数f(x)一ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一TOC\o"1-5"\h\z的零点x,且x>0,则a的取值范围是()00D.A.(2,+8)B.(1,+s)C.(-*-2)D.(-*-1)6、(优质试题，山东)已知函数f(x)=x-2+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.[0,1]B.[[I]C.(1.2)D.V27V27(2,+8)7、(优质试题，天津)已知函数f(x)=x2+3x,xeR，若方程f(x)-〃x-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是8、(优质试题，江苏)已知函数f"=lnx,g(x)=[0,0<x-1，则方程Ix2-4-2,x>1f(x)+g(x)=1实根的个数为TOC\o"1-5"\h\z9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)^I®一的零点x，且x>0，贝Ua的00取值范围是()A.(2,+8)